利用向量法證明線面平行或垂直

廖樞華

[摘要]證明線面平行或垂直是高考數學的常考題型，向量法是證明線面平行或垂直的常見方法.在利用直線的方向向量證明線面平行或垂直時，容易出現易漏點造成答題不嚴謹而失分.而對于計算能力不強的學生，法向量的求解也是易錯點.為此，可采用避免求法向量的向量法進行證明.

[關鍵詞]向量法;線面平行;線面垂直

[中圖分類號]G633.6

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（ 2020） 35-0026-02

在空間幾何體中利用向量法證明線面平行或垂直是高中數學中非常常見的問題.在證明線面平行或垂直的過程中，大多數學生會利用直線的方向向量與平面的法向量之間的關系進行判定.利用這種方法容易出現疏漏和法向量求解錯誤的問題.下面，筆者通過舉例說明其易漏點，同時講解更優質的解法.

一、易漏點

在證明線面平行時，學生都可以計算出直線的方向向量與平面的法向量垂直，然后直接得出線面平行的結論.這種寫法漏掉了兩個步驟.

[例1]已知正方體ABCD -A，B，C，D，的棱長為2，F是DD，的中點，求證FC1∥平面ADE.

二、避免求解法向量的向量法

在采用向量法證明線面平行或垂直時，很多學生因為平面的法向量求解錯誤而導致證明失敗，特別是遇上動點問題時，平面的法向量求解成為眾多學生的難題.因此，在這兩種證明的過程中若能避免求平面的法向量，那求證過程就會變得簡單.證明線面平行可以采用平面向量基本定理，證明線面垂直可以根據線面垂直的定義直接證明線線垂直而得.

1.使用平面向量基本定理證明線面平行

例1中通過求平面ADE的—個法向量為n=（0，一1，2），證明FC1⊥n，即可證明FC1∥平面ADE.若是使用平面向量基本定理證明線面平行，只需要在乎面ADE中任意選擇兩個向量，使得直線FC1構成的向量能用這兩個向量的線性關系唯一表示，

使用平面向量基本定理證明線面平行可以避免求平面的法向量，特別是含參數的平面法向量特別難求時.

2.向量法中使用線面垂直的定義證明線面垂直

向量法中，只需要證明直線的方向向量與平面的法向量共線，就可以證明線面垂直，事實上，若是需要證明線面垂直，說明直線一定垂直于平面.我們只需要證明直線的方向向量分別垂直平面內兩條不相交的直線的方向向量即可.

[例3]如圖3，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側棱PA上底面ABCD，且PA= AD=2，H，F分別是線段AB，PD的中點.證明：PD⊥平面AHF.

向量法中，用線面垂直的定義證明線面垂直可以避免平面法向量的求解，其計算步驟簡單易算，在證明直線的方向向量與平面的法向量共線的方法中，求解平面的法向量是多余的，因為要證的直線的方向向量實際上已經是平面的法向量了，

以上是筆者在平時教學和批改作業中遇到的學生解題問題及處理方法，在此作為教學筆記一起共勉.

（責任編輯陳 昕）