對一道南京鹽城一模試題的解法研究

李瑞華

[摘要]2020年南京鹽城一模試題第14題是以函數、絕對值為背景設置的填空壓軸題，融合函數、導數、絕對值于一體，涉及數形結合、等價轉化等數學思想.運用定點法巧解該題，是基于解題扎實功底的，是解題經驗的積累所致.

[關鍵詞]定點;切線;數形結合

[中圖分類號]G633.6

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（2020）35-0022-02

運算求解能力是數學核心素養之一.對于一道有難度的試題，如何在有限時間內，運用所學知識及所掌握的方法快速正確地求解，是師生共同面對的問題.筆者根據南京鹽城一模試題第14題（填空壓軸題）淺談自己的一點想法.

一、題目呈現及分析

一模是高三四次大考中的重要一環.一模試題的難度適中，貼近高考.南京鹽城一模試題第14題是填空題的最后一道題，是填空題的壓軸題，有一定的難度.

記F（x）= x²+x+1一e^x（x≤1），則F'（x）=2x+ 1-e^x（x≤1），由F'（x）<0得x<0，由F'（x）>0得02 +x+1≥ex對任意x≤l恒成立.

[點評]解法二的求解過程分為三個大的邏輯段：（1）分母不為0對任意x≤1恒成立，求得實數a的大致范圍并確定分母的正負號幫助去絕對值符號;（2）引入兩個函數g（x）= x²—2ax+1（x≤1）和h（x）=e^x（x≤1），并觀察出g（0）=h（0）=1，將條件轉化為函數不等式g（x）≥h（x）對任意x≤1恒成立，進而轉化為g（x）和h（x）在x=0處有相同的切線，即g'（0）=h'（0）;（3）用導數得到切線的斜率，求出a并檢驗.上述三個邏輯段中，最關鍵的是第二個邏輯段，定點的發現是解題的突破口，

解法一和解法二都是抓住函數的定點切入，解法一用極值點的性質，解法二用切線的斜率，解法二中的易錯點是對不等式F'（x）<0的求解.如果不知道F'（x）=0有2個不等根，那么會造成F'（x）<0的解為0

本題是在泰勒展開式的基礎上命題，按照泰勒展開式應有e^x≥0.5x²+x+1對任意x≥0恒成立，本題調整了二次項系數和定義域，并改變了不等號的方向，使得題目獨立成為一個有難度的新題.

綜上，通過觀察式子的特征，找到函數恒過的定點，巧用定點，完成了試題的求解，教師在平時的教學，要善于總結，要引導學生進行反思與提煉，讓學生認識到知識與方法的聯系，幫助學生建立起對一類問題的整體認知，生成一類問題的基本解法，這樣，才能讓學生做到舉一反三、觸類旁通，才能培養和提升學生的運算求解能力.

（責任編輯 陳昕）