水力裂縫動態擴展的壓裂液濾失模型

羅 攀 ，王 崟 ，黃 昊 ，孫 曉 ，穆景福

（1.陜西延長石油（集團）有限責任公司研究院，陜西西安710075；2.陜西省頁巖氣勘探開發工程技術研究中心，陜西西安710075；3.中國石油長慶油田分公司采油十一廠，甘肅慶陽 745000）

水力裂縫作為壓裂液濾失模型的邊界，決定了濾失區域的大小，對濾失量具有重要影響。壓裂過程中，水力裂縫長度逐漸增加，濾失區域逐漸變大，濾失量也會逐漸增加，而通常的濾失模型計算時采取了裂縫最終達到的固定長度，濾失速度開始時最大，然后遞減，顯然，這是違背物理事實的。經典濾失理論認為濾失是一維的，并且水力裂縫邊界的長度不變，但實際濾失應該是二維甚至三維的，特別是當滲透率較高時，濾失空間的多維性更加明顯，裂縫邊界長度對濾失的影響很大。由任書泉、古法剛[1]提出的濾失模型考慮了侵入區前沿移動等多種因素，比經典濾失理論考慮的更多，更接近實際，但同樣并未考慮濾失的多維性以及裂縫長度的變化；任嵐[2]等提出了考慮壓裂液平面流動的二維濾失模型，并以差分法求得數值解，更加適合高滲地層中壓裂液濾失速度隨時間變化的動態預測，但也沒有給出裂縫長度變化對濾失速度的影響；李勇明[3]等在考慮裂縫性地層的濾失時，建立了雙重介質模型，并以正交變換求解，但同樣也未考慮濾失的多維性與裂縫邊界的動態擴展；游先勇[4]等研究了天然裂縫成簇分布的濾失規律；夏富國[5-7]等考慮天然裂縫對濾失的影響。總之，現有研究多考慮裂縫在空間的變化，但很少考慮裂縫在時間上的變化。裂縫動態擴展使濾失問題變得很復雜，但卻是不容忽略的條件，考慮后可以使現實問題得到更清晰更準確地認識。本文根據有限差分法實現了考慮裂縫動態擴展的二維壓裂液濾失模型的求解，研究了裂縫動態擴展對濾失的影響，證實了裂縫長度的變化對濾失有著重要影響。

1 濾失模型

考慮壓裂液的二維濾失和裂縫動態擴展，在矩形區域上建立二維濾失的偏微分方程。

式中：p 為地層壓力，Pa；x、y 分別為研究區域的長度和寬度，m；η 為導壓系數，m2/s；t 為濾失時間，s。

考慮到裂縫兩側的濾失情形具有對稱性，取1/4 區域進行研究，每條邊界具有不同的邊界條件（圖1）。

圖1 網格節點和邊界條件示意圖

左側邊界為對稱邊界，即該邊界上壓裂液沿 x方向的濾失速度為0，其邊界條件為：

式中： pi1，為第一列節點的壓力值，Pa； pi2，為第二列節點的壓力值，Pa；i 為x 方向上的網格節點編號。

右側邊界和上側邊界均為定壓邊界，為原始油藏壓力，其邊界條件為：

式中： pi為原始油藏壓力，Pa； pi,n為最右一列網格節點的壓力值，Pa； pm，j為最上一行網格節點的壓力值，Pa； j 為y 方向上的網格節點編號。

下側邊界的條件較為復雜，其中，水力裂縫長度的公式為：

式中：L 為水力裂縫長度，m；vel 為裂縫擴展速度，m/s； tv為裂縫擴展時間，s。

0 < x ≤L 的部分邊界對應水力裂縫，該部分邊界取定壓邊界條件：

式中： pf為裂縫內壓力，Pa。

L

綜合可得：

式中： p1，j為第一行網格節點的壓力值，Pa； p2，j為第二行網格節點的壓力值，Pa。

初始條件為整個求解域上的壓力均為原始油藏壓力，即：

求得壓力分布后，根據裂縫壁面上的壓力梯度即可得到裂縫壁面上的濾失速度：

式中：v 為濾失速度，10-3m/s；k 為滲透率，μm2；μ 為液體黏度，mPa·s。

可以得到整條裂縫上的平均濾失速度：

2 模型求解

為保證收斂性，本文采用古典五點隱式差分法對模型進行求解，離散后的方程如下所示：

式中：n、n+ 1分別為時間節點的編號； Δt 為時間步長，s；Δ x為 x 方向網格長度，m；Δ y 為 y 方向網格長度，m；為第n 個時間節點所有空間節點的壓力值，Pa。

上式共有i×j 個未知數和i×j 個方程，構成i×j 階的線性方程組，可由tn時刻的已知壓力分布求得tn+1時刻的壓力分布，如此迭代下去便能求解。

3 結果分析

考慮裂縫動態擴展后的壓力分布隨時間變化較大，特別是在裂縫擴展階段，濾失前沿不斷向油層深部推進，濾失區域不斷擴大，與定長度裂縫的濾失情況區別較大。計算所用的參數如表1 所示，圖2～4 為使用差分法編程求解得到的壓力分布。圖2 為裂縫擴展30 min 時的壓力分布，裂縫未擴展到的地方仍然為原始油藏壓力，說明擴展階段的裂縫并不是以最終長度參與濾失。

表1 計算時所取的主要參數

圖3 為裂縫擴展60 min 時的壓力分布，水力裂縫長度為30 min時的2倍，壓力分布范圍相應更大，原先 30 min 內形成的裂縫的壓力分布范圍也更大。

圖4 為裂縫擴展90 min 時的壓力分布，裂縫擴展至研究區域邊界。

由圖2～4 可以明顯看出，不同濾失時刻裂縫的壓力影響范圍不同，且裂縫越靠近初始端，對應的壓力影響范圍越大。

圖2 裂縫擴展30 min 時的壓力分布

圖3 裂縫擴展60 min 時的壓力分布

圖4 裂縫擴展90 min 時的壓力分布

考慮裂縫動態擴展后的濾失曲線與經典濾失曲線不同的是，濾失速度存在一個上升階段，這個階段對應裂縫擴展階段。隨著裂縫增長，濾失區域越來越大，因而濾失速度會變大，而裂縫停止增長后，濾失速度逐漸變小，此時的濾失速度變化規則與經典理論一致。

由圖5 可知，地層滲透率越高，裂縫擴展階段濾失速度能達到的峰值越高；地層滲透率較低時，濾失速度的峰值也較低，濾失速度變化較小，裂縫動態擴展的影響也較小。

圖5 不同滲透率地層的濾失速度變化曲線

圖6 為不同裂縫擴展速度下的濾失速度變化曲線，除了裂縫擴展速度不同，其余參數均相同。由圖可知，裂縫擴展越快，濾失速度到達峰值的時間越早，且濾失速度峰值也越高。濾失速度到達峰值對應著裂縫擴展到終點，即裂縫擴展越快濾失速度達到峰值也越早；裂縫擴展速度較慢時，不僅濾失速度達到峰值的時間晚，而且由于地層進液更充分，峰值也會較小；當裂縫擴展速度極快時，濾失速度增長期極短，濾失速度曲線與定長裂縫的濾失速度曲線非常接近。因此，在脆性大、液體推進快的地層，液體的初始濾失速度會更快，這種地層若需降低初始濾失速度，可以考慮增大液體黏度、加粉砂等措施。

4 結論

（1）裂縫動態擴展對濾失曲線有較大影響，裂縫擴展階段的濾失速度會隨濾失時間的增加而增加。

（2）地層滲透率較大和裂縫擴展速度較快時，裂縫動態擴展對濾失速度的影響更加明顯。

圖6 不同裂縫擴展速度下的濾失速度變化曲線

（3）首次建立了考慮裂縫動態擴展的濾失二維模型，相對于定長裂縫模型更接近物理實際，對認清濾失過程，指導壓裂設計具有一定意義。