深入解讀模型，實例應用探究

陸婷

[摘? 要] 角平分線是初中數學的重要知識，以角平分線為基礎可以構建相應的解題模型，可提升解題效率，因此開展角平分線的聯想模型探究具有現實意義. 文章對角平分線的四個模型進行解讀，結合實例加以探究，并提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 角平分線;模型;雙垂直;等腰三角形;平行等腰;三角形內心

背景綜述

角平分線是初中幾何的重要定義，利用角平分線定理可以進行幾何推理、完成幾何證明、求解線段長等. 角平分線定理看似簡單，但其背后隱含的角相等、等線段長，甚至垂直關系可以構建相應的復合模型. 因此，在實際解題時，若出現角平分線，則可以考慮利用角平分線的性質定理，綜合其他幾何知識來構建相應的模型，利用模型的特殊性來簡化解題過程.

模型探究

以角平分線為基礎構建幾何模型有著極高的應用價值，常用的模型有雙垂直模型、等腰三角形模型、全等三角形模型、三角形內心模型等，下面結合實例開展角平分線聯想模型探究.

1. 模型一：雙垂直模型

雙垂直模型，顧名思義，該模型中含有兩條垂線，兩組垂直關系. 其構建策略為：角平分線+邊的垂線 雙垂直，即利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等來作垂線. 具體如下：如圖1，點P在∠MON的平分線上，過點P作兩邊的垂線，即PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分別為A，B，則易知PA=PB.

實際解題時，若已知角平分線上的點到角一邊的垂線，則可以過該點作另一邊的垂線，從而構造雙垂線模型，利用模型來推理垂線段相等.

例1？搖 如圖2，在△ABC中，AB=10，AC=8，∠BAC=45°，AD為∠BAC的平分線，過點D作AB的垂線，垂足為E，則DE的長為__________.

解析？搖 AD為∠BAC的平分線，可以結合角平分線來構建雙垂線模型，利用模型中的等線段來解題，具體如下. 過點D作AC的垂線，垂足為F，再過點C作AB的垂線，垂足為M，分析可知DF=DE. 因為∠BAC=45°，AC=8，所以CM=AM=4 . 由等面積法可知S = AB·CM=S +S =20 ，而S +S = AB·DE+ AC·DF= （AB+AC）·DE=20 ，解得DE= .

評析？搖 雙垂直模型的核心是角平分線的性質定理，即其中的雙垂線段相等. 例1在已知一邊垂線的情況下通過作另一邊的垂線構建了雙垂線模型，為后續(xù)的等面積轉化得方程提供了條件. 因此，在實際解題時需充分利用圖形中的角平分線，合理添加輔助線來建模.

2. 模型二：等腰三角形模型

從整體上觀察角平分線，可將角平分線視為兩條邊的對稱軸，利用該特點可以作角平分線的垂線來構建等腰三角形模型. 基本的構建策略為：角平分線+角平分線的垂線 等腰三角形，即過角平分線上的任意一點作其垂線，垂線與角的兩邊可形成等腰三角形. 作圖如下：如圖3，取∠MON平分線OQ上一點P，過點P作OQ的垂線，垂線與角兩邊的交點分別為A和B，則△ABO為等腰三角形，且AO=BO. 在該模型中，OP為底邊AB的垂直平分線，點P為底邊AB的中點.

解題時需要關注其中的角平分線，可以通過作輔助線的方式來構建等腰三角形模型，如（圖3）延長AP與角的另一邊交于點B，則可以形成封閉的三角形. 該模型中存在多個顯著特征：垂直平分→AB⊥OP，AP=BP;等角等邊→AO=BO，∠AOP=∠BOP. 可利用其中的特殊條件推理全等三角形.

例2？搖 如圖4，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AD為∠BAC的平分線，BD⊥AD，BD=2，則AE的長為__________.

解析？搖 △ABC為等腰直角三角形，以其內角平分線為基礎構建了直角三角形ABD，求AE的長，可以把握其中的角平分線，通過添加輔助線來構建等腰三角形，利用等腰三角形模型求解.

延長BD與AC的延長線交于點F，則△ABF為等腰三角形，且∠ABF=∠AFB. 由于AD為BF的垂直平分線，所以BD=FD，BF=2BD. 進一步可證∠EAC=∠FBC，結合AC=BC，∠ACE=∠BCF=90°，得△ACE≌△BCF. 所以AE=BF=2BD=4，即AE的長為4.

評析？搖 上述在求解線段長的時候采用了全等轉化的方法，但實際上構建等腰三角形、利用三角形中的垂直平分才是解題的核心. 圖形構造是重要的解題策略，也是一種解題思想，對于涉及角平分線的問題，在構造圖形時需要把握其中的等角特性.

3. 模型三：平行等腰模型

利用圖形中的角平分線也可以構建平行四邊形，利用平行四邊形的特性來轉化問題. 模型構建的基本策略為：角平分線+平行線 平行等腰模型，即分別過角平分線上的一點作兩條邊的平行線，則與角兩邊所形成的四邊形為平行四邊形，同時形成了兩個等腰三角形. 如圖5，取∠MON平分線上一點P，過點P分別作ON和OM的平行線PA和PB，則四邊形AOBP為平行四邊形，同時△AOP和△BOP為等腰三角形.

實際解題時，可以充分利用角平分線的“平分角”特性來構建平行四邊形，利用特殊圖形的性質來推理計算. 同時，結合其中的平行和等角，可證明模型中的等腰三角形.

例3？搖 如圖6，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，點E和點F分別在BD和AD上. 已知EF∥AB，且DE=CD，試證明EF=AC.

解析？搖 題干中有角平分線和平行線，要證明EF=CD，可以利用平行等腰模型，即過點C作AB的平行線，與AD的延長線交于點M，如圖7，則△ACM為等腰三角形，且AC=CM. 因為EF∥AB，所以CM∥EF. 所以∠3=∠M. 進一步可證△CDM≌△EDF，所以EF=CM. 所以EF=AC.

評析？搖 上述在證明線段相等時，充分利用了角平分線中的平行等腰模型，通過作平行線構建了等腰三角形，并利用其中的平行關系證明了三角形全等，從而建立了兩線段之間的長度關系. 平行等腰模型中隱含著轉化思想，學習模型時應充分把握其中的思想內涵.

4. 模型四：三角形內心模型

三角形三個內角的平分線的交點稱為三角形的內心，根據該內容可知，解析涉及角平分線的三角形問題時，可以構建三角形內心模型，借助三角形內心的性質來解題. 模型構建的基本策略為：角平分線+角平分線 三角形內心. 如圖8，已知BP為∠ABC的平分線的情況下，可以作∠ACB的平分線，設兩平分線的交點為P，再過點P作PM⊥BC，垂足為M，則PM的長就等于點P到△ABC三條邊的距離.

實際解題時除了可以利用內心到三角形三邊的距離相等特性外，還可以從等面積角度出發(fā)，構建面積模型. 以圖8為例，有S = （AB+AC+BC）·PM，同時通過等角轉化可得∠BPC=90°+ ∠A.

例4？搖 如圖9，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8. ∠BAC的平分線和∠ACB的平分線交于點E，過點E作EF∥BC，交AC于點F，則EF的長為__________.

解析？搖 題目已知三角形兩個內角的平分線，要求出EF的長，顯然可以利用角平分線中的三角形內心模型. 過點E分別作AB，BC，AC的垂線，設垂足分別為D，M，N. 由三角形內心的性質可知DE=ME=NE，結合∠ABC=90°，可證四邊形DBME為正方形. 由勾股定理可知AC=10，sin∠ACB= ，設BD=BM=x，則AD=AN=6-x，MC=NC=8-x. 因為AN+NC=AC，所以6-x+8-x=10，解得x=2. 所以BD=BM=DE=EN=2. 因為EF∥MC，所以sin∠AFE=sin∠ACB= . 所以EF= = .

評析？搖 上述圖形的顯著特點是設定了三角形兩個內角的平分線相交，顯然聯想角平分線的三角形內心模型解題更為簡潔. 三角形的內心模型不僅體現了圓與三角形的內切關系，也隱含著垂直、相等、平分等幾何特性，實際解題時合理利用可以有效轉化問題，構建解題思路.

教學思考

上述對角平分線開展了聯想模型探究，并結合實例詳細解析了其中的四種常用模型，下面提出兩點教學建議.

1. 開展知識拓展，提升學生思維

角平分線屬于較為基礎的幾何定義，但上述結合關聯知識進行聯想拓展形成了四個重要的幾何模型，其探究思路具有一定的參考價值. 教學中，可以以教材中的基本定義為出發(fā)點，引導學生從關聯知識入手開展定義拓展，總結相應的模型，如聯想中點模型、相似模型、全等模型等，通過拓展探究促進學生的思維發(fā)展.

2. 應用強化模型，形成解題策略

在模型拓展教學中，需要充分利用引例來幫助學生理解模型，掌握模型的構建方法和使用策略，提升學生的模型應用能力. 一般幾何模型具有多種策略，所依據的原理也不相同，以上述角平分模型為例，包括雙垂直、等腰三角形模型等，教學中有必要引導學生對模型進行歸納，總結選用模型的思路，形成相應的解題策略.