關于坐標系中特殊角的處理策略探究

王久平

[摘? 要] 初中數學中有一類較為特殊的問題，坐標系中設定了特殊角，探究動點存在性

或函數解析式. 在解題時需要對其中的特殊角進行處理，一般處理思路有兩種：一是利用特殊角對應的三角函數值來推導直線斜率，二是利用特殊角構造特殊模型. 文章將深入探究坐標系中的特殊角問題，總結處理策略，結合實例應用分析.

[關鍵詞] 坐標系;特殊角;三角函數;特殊圖形;思想方法

背景綜述

在幾何中存在一些諸如30°，45°，60°，90°的角，我們將其稱之為特殊角，其特殊之處主要體現在這些角的三角函數值上. 對于一般的角度，難以直接計算出對應角的三角函數值，但這些特殊角則可以，如sin30°= ，cos45°= ，tan60°= 等. 而當坐標系中出現特殊角時，一般有兩種考查視角：一是三角函數視角，考查特殊角的三角函數與直線斜率之間的聯系;二是圖形構建視角，考查利用特殊角來構建特殊的圖形進而挖掘特殊圖形的特征. 下面對坐標系中的特殊角進行深入探究，總結相應的解題策略.

引例呈現

引例? 如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，已知直線AB的函數表達式為y= x，點M（2，1）是直線AB上的一點，現將直線AB繞著點M順時針旋轉45°，得到了直線CD，試求直線CD的函數表達式.

解析：該問題屬于旋轉問題，關鍵條件為旋轉角為特殊的45°角，求直線CD的函數表達式，可以通過確定其斜率或直線上不與M相重合的點來求解，有以下兩種思路.

思路一：利用特殊角的三角函數值.

過點M作x軸的平行線，與y軸相交于點N，如圖2. 則tan∠OMN=tanα= ，tan∠CMN= ，由圖像可知直線CD的函數為單調遞減函數，則其斜率kCD<0，所以直線CD的函數表達式為y=- （x-2）+1，化簡可得y=- x+ .

思路二：利用特殊角構建特殊圖形.

題干設定直線AB和CD的夾角為45°，則可以通過作垂線構建等腰直角三角形，具體如下. 過點O作OP⊥AB，與CD的交點設為P，分別過點M，P作x軸的垂線，垂足分別為點E和F，如圖3，則△OPM為等腰直角三角形，△PFO和△OEM為直角三角形.

由條件可證△OEM≌△PFO，由全等性質可得PF=OE=2，OF=ME=1，所以點P的坐標為（-1，2），綜合點P和M的坐標可解得直線CD的函數表達式為y= - x+ .

對于該種思路，除了可以作AB的垂線來構造等腰直角三角形外，還可以通過作CD的垂線來構造等腰直角三角形，構造時充分利用其中的特殊角即可.

方法歸納

從引例可以看出直角坐標系中的特殊角有著極高的應用價值，是挖掘題干條件、串聯斜率關系構建特殊圖形的關鍵. 當問題中給出了幾何特殊角時，有以下兩種處理思路.

思路一：利用特殊角求三角函數值，利用三角函數值化“角度條件”為“直線斜率k”，由斜率的符號可分為兩種類型，但基本關系不變，對于直線y=kx+b，直線與x軸的夾角存在固定關系，即tanα=k. 以k>0為例，如圖4，點P（x1，y1）和Q（x2，y2）是直線y=kx+b上的兩點，則tanα=k= ，同時tanα= ，因此可由特殊角求直線斜率，串聯直線上點坐標、斜率、垂線長的關系.

思路二：利用特殊角可以構造特殊圖形，如構造直角三角形、等腰直角三角形、等邊三角形、矩形等. 實際解題時可以充分借助特殊圖形之間的相似或全等關系，挖掘問題中的等量關系. 教師在該思路的解題教學中需要提升學生的轉化、構造技巧，總結常見的幾何模型，如上述引例中的三垂直全等模型.

應用探究

上述所探究的坐標系中特殊角的應用思路在實際解題時有著廣泛的應用，解題時需要充分把握問題條件，結合圖形特征確定使用特殊角的轉化策略，下面結合實例深入探究.

應用探究一：特殊角的三角函數轉化

坐標系中出現特殊角度時，可以聯系特殊角的三角函數值與直線斜率的關系來進行解題突破，基本思路是確定相關直線表達式，聯立曲線函數進行關鍵點推導，可拓展到求幾何面積、周長等問題中.

例1? （2020年遼陽市?？季恚┤鐖D5所示，直線y=x-3與坐標軸相交于點A和B，過點B的拋物線y= x2+bx+c與直線y=x-3的另一交點為E（8，5），且與坐標的x軸交于點C和D.

（1）試求拋物線的函數解析式;

（2）點M是拋物線上的一點，若當∠MBE=75°時，求點M的橫坐標.

解析：（1）由點坐標可求得拋物線的函數解析式為y= x2-x-3.

（2）雖然題干所給角度為75°，不屬于特殊角，但可將其視為45°+30°，同時點M的位置有兩種情形，分別進行討論.

①當點M位于直線BE的上方時，如圖6，由于∠MBE=75°，∠OBE=45°，則∠OBM=30°，可推知直線BM與坐標x軸的夾角為60°，所以直線BM的斜率k=

-tan60°=- ，可求得直線BM的函數解析式為y=- x-3. 聯立直線BM與拋物線的解析式可解得x1=0和x2=4-4 ，所以點M的橫坐標為4-4 .

②當點M位于直線BE的下方時，如圖7，過點B作BF∥x軸，則∠EBF=45°，由于∠MBE=75°，則∠MBF=30°，即直線BM與x軸的夾角為30°，所以直線BM的斜率k=-tan30°=- ，又知點B的坐標為（0，-3），可求得直線BM的函數解析式為y=- x-3. 聯立直線BM與拋物線的解析式可解得x1=0和x2=4- ，所以點M的橫坐標為4- .

綜上可知，若當∠MBE=75°時，點M的橫坐標為4-4 或4- .

評析? 上述題干設定的角度為75°，屬于一般角度，但若作x軸的平行線，則可以將角度分割為45°和30°，顯然均為特殊的角度，后續就可以結合直線與x軸的夾角進行斜率轉化. 對于涉及坐標系的特殊角問題，需要關注問題的多種情形，采用分類討論方法進行全面探究.

應用探究二：特殊角的特殊模型構建

利用坐標系中的特殊角可以構建特殊的幾何模型，由模型的特殊性質則可以進一步挖掘隱含條件，構建解題思路. 常見的特殊角模型有45°角的等腰直角三角形，60°角的等邊三角形，90°角的隱圓模型或直角模型等.

例2? （2020年深圳市龍崗區?？季砀木帲┤鐖D8所示，已知反比例函數y= ·（x>0）的圖像經過點A（3，4），試分析在反比例函數圖像上是否存在一點P，使得∠POA=45°？若存在，請求出點P的坐標;若不存在，請說明理由.

解析：本題目屬于反比例函數與一次函數相交問題，分析特殊角是否存在，可采用“假設——驗證”的思路. 利用45°角來構造等腰直角三角形，利用三角形的特殊性質來求解.

過點A作y軸的垂線，設垂足為點E，將直線OA繞點O順時針旋轉90°得到了直線OA′，過點A′作x軸的垂線，垂足為點F，連接AA′，與OP的交點設為K，如圖9，則點K為線段AA′的中點.

分析可知△AOE≌△A′OF，則OF=OE=4，A′F=AE=3，點A′的坐標為（4，-3）. 反比例函數y= （x>0）的圖像經過點A（3，4），則其解析式為y= ，在Rt△A′OA中使用勾股定理可得OA=5. 由點A和A′的坐標可推知線段AA′的中點K ， ，所以直線OK的解析式為y= x，聯立直線OK與反比例函數的解析式，可解得x=2 或x=-2 ，由于點P位于第一象限，則點P的坐標為2 ， .

綜上可知，在反比例函數圖像上存在一點P，使得∠POA=45°，點P的坐標為2 ， .

評析? 上述題目考查了反比例函數圖像特征、一次函數等知識，解題突破時充分利用45°角構建了等腰直角三角形，利用模型的勾股定理、腰長相等等性質來推理相關線段長，逐步完成了點P坐標的推導.

總結思考

本文對坐標系中的特殊角進行了探究，實則是對函數與幾何問題中特殊角轉化策略的實例探究，其中的兩種策略涉及了三角函數與斜率關系、特殊角構建特殊圖形等知識，對于學生的知識綜合和模型構建能力有著較高的要求，下面提出兩點建議.

建議一：關注知識綜合，總結關聯點

綜合性問題的突破過程中必然要利用眾多的基礎知識，如何將這些知識進行串聯是解題的關鍵，這對于上述坐標系中的特殊角問題同樣重要. 教學中教師要引導學生關注知識綜合，關注知識間的聯系點. 如上述例題中直線斜率與三角函數的關系、三角函數與直角三角形的關聯，實際教學可從基本的定義概念入手，挖掘知識間的關聯點，構建相應的知識體系，使學生深刻理解教材內容.

建議二：重視思想方法，靈活運用解題

上述總結的特殊角的兩種處理策略中滲透著數學的轉化思想和模型思想，即可將特殊角條件轉化為斜率條件，也可以依托特殊角構造特殊模型，因此學習特殊角問題的處理方法，就應重視其中的數學思想方法. 教學中教師應引導學生關注解題策略中隱含的數學思想，理解對應的思想內涵，掌握運用數學思想構建解題思路的技巧，通過思想方法教學來拓展學生思維，從思想上提升學生的解題能力.