從考題探究走向課堂教學

施俊

[摘? 要] 從考題探究走向課堂教學可以幫助學生強化基礎知識，促進知識融合，提升學生的解題能力，而在考題教學中應重視解法點撥、思路構建，幫助學生形成相應的解題策略，同時注意滲透解題的思想方法. 文章以一道函數與幾何綜合題為例，開展解題探究，并進行教學微設計.

[關鍵詞] 函數;幾何;教學;分類討論;數形結合

背景介紹

在中考的備考階段需要開展考題教學，利用具體的考題引導學生學習綜合題的分析方法，體驗思路的構建過程，提升學生的綜合能力. 而考題教學的難點有兩個：一是細節教學，不同于常規知識點教學，需要結合題干信息來指導學生處理問題細節，故應關注其中的關鍵點;二是思路構建教學，需要合理開展教學微設計，進行逐層剖析，循序引導學生構建解題思路. 基于上述難點，教學中建議教師立足學情，指導方法，教學微設，考題拆解.

問題呈現

問題：如圖1所示，在平面直角坐標系中已知點A（6，0），B（0，8），C（-4，0），點M為線段AC上的動點，點N為射線AB上的動點. 現點M以2個單位長度/s的速度由點C向點A方向做勻速運動，同時點N以5個單位長度/s的速度由點A向著點B方向做勻速運動，設MN與OB的交點為點P，試回答下列問題.

（1）證明 為定值;

（2）如果△BNP與△MNA相似，試求線段CM的長;

（3）如果△BNP為等腰三角形，試求CM的長.

解法點撥

上述是涉及動點的一次函數與三角形的綜合題，題設三問涉及線段比值、三角形相似、特殊圖形等問題，教學中建議采用如下方法引導學生分析問題、構建思路.

第一步：探尋問題中的已知量及特殊條件.

①已知點坐標：A（6，0），B（0，8），C（-4，0）;

②特殊條件：存在兩動點，其中點M速度v為2個單位長度/s，方向——點C→A;點N速度v為5個單位長度/s，方向——點A→B.

第二步：研究 為定值.

關注其中的特殊條件：過點N作x軸的垂線，設垂足為點H，則運動過程始終有PO∥NM，可結合該條件進行比值轉化. 根據圖形形狀，可將問題分為點M位于CO上和點M位于OA上兩種情形.

①當點M位于CO上時，點N位于線段AB上，此時恒有PO∥NM，則 = ;

②當點M位于OA上時，點N位于線段AB的延長線上，此時恒有PO∥NM，則 = .

對于上述線段比例關系，可以結合“L=vt”轉化動點條件為線段長，進而結合上述討論情形建立方程，完成求解.

第三步：研究△BNP與△MNA相似.

第（2）問分析兩個三角形相似情形下CM的長，有兩種思路：一是從頂點對應情形入手進行分類討論，二是考慮動點情形進行分類討論. 考慮到點M的位置對三角形的形狀有著較大影響，建議采用思路一，則需要討論以下兩種情形.

①當點M位于CO上時，顯然只可能是∠MNB=∠MNA=90°，則相似情形為△ BNP∽△ MNA;

②當點M位于OA上時，顯然只可能是∠NBP=∠NMA，推理可知∠PBA=∠PMO，需要分析該條件下兩個三角形能否相似.

第四步：研究△BNP為等腰三角形.

第（3）問分析計算△BNP為等腰三角形時CM的長，參考第（2）問的分類標準，討論點M的位置對三角形的影響，同時結合等腰三角形的特性進行分類，思路如下.

①當點M位于CO上時，可分BP=BN，PB=PN，NB=NP三種情形;

②當點M位于OA上時，此時∠PBN>90°，同樣需要對三種情形進行討論分析.

過程詳解

基于上述解法點撥，教學中可以引導學生按照如下過程作答，同時注意采用數形結合的策略，通過數形對照降低思維難度.

（1）如圖2，過點N作x軸的垂線，垂足為點H，根據動點條件設AN=5k，則AH=3k，CM=2k.

①當點M位于CO上時，點N位于線段AB上（見圖2），分析可知OH=6-3k，OM=4-2k，所以MH=10-5k，由圖可知PO∥NH，則 = ，代入線段長，可得 = = ;

②當點M位于OA上時，點N位于線段AB的延長線上（見圖3），此時OH=3k-6，OM=2k-4，所以MH=5k-10，由圖可知PO∥NH，則 = ，代入線段長，可得 = = .

綜上可知， 恒為定值 .

（2）討論△BNP與△MNA相似時線段CM的長，結合圖像分類求解.

①當點M位于CO上時，如圖2，此時只可能是∠MNB=∠MNA=90°，則有△ BNP∽△ MNA，同時△ MNA∽△ BOA，由相似性質可得 = ，代入線段長可得 = ，解得k= ，所以CM= ;

②當點M位于OA上時，如圖3，只可能∠NBP=∠NMA，所以∠PBA=∠PMO. 因為∠PBA=∠BNP+∠BPN，∠PMO=∠BNP+∠BAO，∠BAO>∠PBA>∠BPN，所以∠PBA≠∠PMO，與原條件存在矛盾，故該情形不成立.

綜上可知，△BNP與△MNA相似時CM的長為 .

（3）當△BNP為等腰三角形，試求CM的長，需要綜合動點及等腰三角形性質進行分析.

因為 = ，PO= NH= ·4k，所以PO=? k，BP=8- k.

①當點M位于CO上時（參考圖2），BN=10-5k，有如下三種等腰情形：

（i）若BP=BN，則有8- k=10-5k，解得k= ，所以CM= ;

（ii）若PB=PN，則有∠PNB=∠PBN，由題干條件可知∠PNB>∠BAC>∠PBN，推理與條件相矛盾，不成立;

（iii）若NB=NP，則有∠NBP=∠NPB，進一步可證△MNA為等腰三角形，則MH=AN，所以10-5k=3k，解得k= ，所以CM= .

②當點M位于OA上時（參考圖3），BN=5k-10，對如下情形進行分析：

（i）若BP=BN，則有8- k=5k-10，解得k= ，所以CM= ;

（ii）若PB=PN或NB=NP，由于∠PBN>90°，所以該種情形不成立.

綜上可知，如果△BNP為等腰三角形，則CM的長可為 、 或 .

教學微設

基于考題進行微設計是考題探究的重要環節，可以引導學生逐步剖析考題，理解問題結構，促進知識應用，下面結合上述考題的第（1）問進行微設計.

環節1：讀題識圖，基礎應用.

問題：如圖4，已知點A（6，0），B（0，8），C（-4，0），點M和N分別為線段AC和射線AB上的動點. 現點M為2個單位長度/s的速度由點C向點A方向做勻速運動，同時點N以5個單位長度/s的速度由點A向著點B方向做勻速運動，設MN與OB的交點為點P.

設問1：結合圖像理解題干信息，描述動點運動過程;

設問2：分析點M在AC上的位置是否對形成的圖形有影響？

設計解讀：該問主要是引導學生理解題干的動點條件，整體把握圖形變化，教學中可以聯系物理中的運動公式，使學生明白設定時間可將其中的速度條件轉化為線段長.

環節2：分類討論，條件處理.

問題：過點N作x軸的垂線，垂足為點H，設AN=5k.

設問1：點M運動到CO上時，分析PO與NM的位置關系，計算OH，OM和MH的長;

設問2：點M運動到OA上時，分析其中是否存在平行關系，并計算OH，OM和MH的長.

設計解讀：該環節是基于上述分類討論的問題拆分，其目的有兩個：一是引導學生根據動點M的位置來分析圖形，結合所設動點條件進行線段長計算，二是引導學生掌握分類討論的思想方法，提升學生的數學思維.

環節3：綜合應用，能力提升.

設問：試分析點M的位置是否影響 的值，并說明理由.

設計解讀：該環節主要是引導學生分類討論點M的位置，結合上述所推導的線段長條件進行比值計算，從而確定 始終為定值，掌握轉化的解法思路.

上述三個教學環節緊密相扣，同時又獨立設問，通過層層遞進的方式引導學生理解問題、提取條件、構建思路，逐步形成求解綜合問題的解題策略. 教學中教師需注意滲透數學的思想方法，提升學生的數學素養.

總結反思

上述對一道函數與幾何綜合題開展解法思路教學探究以及微設計，其目的在于引導學生掌握類型問題的解法以及解題思路的構建過程，提升學生的解題能力，培養學生的數學思想. 另外在教學中提出以下兩點建議.

建議一：以問題為驅動，由“變”到“不變”.

上述問題屬于典型的函數動點問題，設問層次性強，強調動點與圖形的變化，該類問題的解題方法雖有不同，但總體思想是一致的，即由“變”的條件提取“不變”的性質. 解析時需要合理對動態情形進行分類，充分挖掘其中的恒定關系，如上述問題中的幾何平行、相似、線段動態參量. 實際教學中建議以問題為驅動，引導學生剖析隱含在動態變化中的圖形特性，認識動態問題的本質，提升學生思維水平.

建議二：以方法為引領，由“結論”到“過程”.

考題教學的最終目的是引導學生思考，提升解題能力，因此在教學中不應過多地專注考題的結果，而應注重考題教學的過程，包括審題過程、方法確定過程、思路構建過程、考題反思過程等. 建議以考題為媒介，以教材知識為基礎，利用知識結構和發展規律，由淺入深地進行深化分析，形成相應的解題策略. 教學中建議采用問題探究的方式，引導學生經歷問題的探究過程，深入認識數學思想與解題方法融合的過程.