函數視角下對“圖形運動”的思考

毛亞玲

[摘? 要] 在函數概念體系下，“圖形運動”課分別設計了圖形“平移”概念課、“軸對稱”性質課、“旋轉”習題課三種課型，引導學生將“運動”與“對應”建立一一對應關系，讓學生感受函數思想指導下圖形運動規律的思維體系.

[關鍵詞] 函數思想;圖形運動;一一對應

與圖形運動相關的問題因其靈活多變，所以在中考中頗受出題者的青睞. 相應的與圖形運動相關的解題類文章種類繁多，大多側重于各類模型的解密、解法的提煉與推廣. 而關于圖形運動教學類的文章則零散、碎片，對三種運動方式——平移、軸對稱、旋轉的理解如何才能上升到邏輯一體的程度，還有待挖掘. “平移、軸對稱、旋轉”是三種有規律的運動，而函數是描述客觀世界運動變化規律的數學模型，從函數變化的角度去理解圖形運動是一次對數學教材“體系”認知的新嘗試，是一次追求本質的數學教學過程.

我們把圖形運動看成是一個變化過程，那這個變化過程的本質是點的運動. 相關闡述如下：對于運動前的每一個點A來說，運動后都有唯一的點A′與它對應;由于圖形運動的可逆性，運動后的每一個點A′也都有唯一的點A與之對應，所以我們說A和A′是圖形運動中的一一對應點.

下面筆者從挖掘教材中的實驗素材出發，圍繞函數的概念，談談對“平移、軸對稱、旋轉”的教學思考.

概念教學：唯一確定，一一對應

圖形的運動“平移、軸對稱、旋轉”是將平面圖形實施圖形變換，概念的形成過程就是如何定義圖形變換的過程. 那圖形從一個位置到另一個位置，圖形上的點從X到X′，是如何做到“唯一確定”“一一對應”的呢？

案例1？搖 蘇科版課標教材七年級下冊“7.3 圖形的平移”中的素材：如圖1，移動三角尺ABC到三角尺A′B′C′的位置，得到一組平行線 AB和A′B′. 如圖2，畫出線段AB向左平移4格后得到的線段A′B′.

問題1：在圖1中，如果把直尺去掉，將三角尺ABC移動8 cm，你能確定移動后的三角尺A′B′C′的位置嗎？

追問：如何保證移動后的三角尺A′B′C′的位置只有一個？

問題2：請用數學語言描述圖1中三角尺ABC是如何移動到三角尺A′B′C′的位置的.

追問1：直尺和8 cm的含義是什么？

追問2：說說圖形平移的概念.

問題3：請說出圖1中點B和點B′、點A和點A′的關系.

追問：依據是什么？為什么是一樣的？

問題4：在圖2中去掉方格紙后，畫出AB向左平移4個單位長度后得到的A′B′.

追問：畫法的依據是什么？

設計意圖? 圖形平移概念中的兩個要素——方向和距離是如何提煉、概括出來的？“問題1”通過減少條件“把直尺去掉”，讓學生感受到了平移之后的位置不能確定，接著利用唯一確定，由“問題2”從數學語言入手得到圖形平移的概念. 圖形平移和點的平移的關系是整體和局部的關系. “問題3”用整體去驗證局部，反之，“問題4”用局部還原整體，還原的過程相當于利用“對應要素”（方向、距離）找對應點的過程. 這種函數思維方式能使學生對圖形運動的理解達到一定的深度. 同樣的，對于軸對稱、旋轉的概念課，教學也是如此.

性質教學：對應元素、對應要素

案例2？搖 蘇科版課標教材八年級上冊“2.2 軸對稱的性質”中的素材：如圖3，仿照上面的操作（沿l對折紙片，扎孔，展開后標記為點A和點A′），在對折后的紙上再扎一個孔，把紙展開后記這兩個針孔為點B、點B′，連接BB′，AB，A′B′，BB′與折痕l有什么關系？再仿照上面的操作，扎孔、展開、標記、連線，圖4中的CC′與折痕l有什么關系？？搖

問題1：在圖3中，軸對稱的性質是指研究什么？

問題2：同樣的，從局部看軸對稱的性質是研究什么之間的關系？

追問：如何研究？不變性如何體現？

問題3：我們數學上的關系通常是指“位置關系”和“數量關系”. 從這兩個角度說說BB′與對稱軸l之間的關系.

追問：能證明嗎？請用文字語言闡述上述結論.

問題4：我們已經得到一組對應點的性質，接下來，我們可以繼續研究兩組對應點的性質. 在圖3中，線段AB和A′B′與折痕l之間有什么關系？

追問：你會證明嗎？請用文字語言闡述這一性質.

問題5：除了對應點、對應線段的性質，接下來還能研究什么？

設計意圖？搖 研究軸對稱的性質，即研究軸對稱運動中的不變性. “問題1”是從整體圖形看，“問題2”是從局部對應點來看，從而揭示本質. “追問”中不變性的探索依賴于核心概念里的“對應要素”. 對于軸對稱而言，這個“對應要素”就是對稱軸，通過研究對應元素BB′與對稱軸l之間的關系去體現不變性. “問題3”則通過不斷的追問得到軸對稱的性質便顯得順理成章. “問題4”“問題5”的提出是遵循研究問題的有序性原則，由一組對應點到兩組，甚至更多……研究對應元素與“對應要素”之間的關系，這種研究性質的經驗可以順延到“圖形旋轉”的教學當中，這對學生在后續圖形運動的學習中發現規律性、統一性大有幫助.

解題教學：主動從動，特殊一般

圖形旋轉的問題往往伴隨著動點問題，其中的軌跡路程、線段最值問題都是學生較難攻克的. 下面以旋轉動點最值問題為例，嘗試運用函數運動觀點，化繁為簡，揭示旋轉的本質.

案例3？搖 （1）如圖5，直線MN⊥AB，垂足為A，AB=2，點C在直線MN上運動. 將點C繞點B順時針旋轉60°后得到點D，求AD的最小值.

問題1：點C在直線MN上運動，任選C的三個位置，畫出旋轉之后點D的三個位置. 你發現了什么？

追問1：如圖6，你能證明點D的軌跡是直線嗎？

追問2：你能畫出AD的最短距離嗎？

問題2：如圖7，已知直線MN與點B，點C在直線MN上運動. 如果點C繞點B順時針旋轉α（0°<α<90°）后得到點D，從對應的角度你能得到點D的軌跡嗎？

（2）如圖8，AB=4，O為AB的中點，☉O的半徑為1. 點C是☉O上的一個動點，以CB為直角邊作等腰直角三角形CBD（點C，B，D按逆時針方向），求AD的取值范圍.

問題3：請討論點D的軌跡是通過何種途徑形成的.

問題4：如圖9，運用（1）的經驗，你能得到點D的軌跡嗎？

追問：請畫出AD取得最大值和最小值時的位置.

設計意圖？搖 這類圖形旋轉問題是近幾年比較熱門的“瓜豆原理”問題. （1）問求AD 的最小值，可轉化為求點D的運動軌跡. 通過“問題1”，直觀觀察為直線. “追問1”的探究用整體旋轉得到點C的對應點D的運動軌跡：將△ABC繞點B順時針旋轉60°，A，C的對應點分別為A′，D，∠BA′D=90°，A′B=2，則點D在與點B的距離為2的直線上，從而可證點D的軌跡是直線. “追問2”則將AD距離的最小值轉化為點到直線的距離. 在一般化的“問題2”中，局部來看，C是點，整體來看，C點就是直線MN，C點的旋轉就是直線MN的旋轉，由一一對應得到D的軌跡是直線，那如何畫出點D的軌跡呢？如圖7，利用局部特殊位置還原整體，當C是垂足時，垂足C對應垂足D，于是確定旋轉之后的直線DE. （2）問中“問題3”描述軌跡的形成時要認清“對應要素”（旋轉、位似），而“問題4”是“問題2”的變式，點C在“對應要素”（旋轉、位似）的作用下一一對應到點D. 如圖9，相應地，整體上看，就是☉O對應☉O′，圓心O按照“對應要素”（以OB為直角邊作等腰直角三角形OBO′）找到對應圓心O′，利用旋轉相似有△DBO′∽△CBO，從而有 = = .由此確定☉O′的圓心和半徑. 同樣地，“追問”轉化AD長度的取值為圓外一點到圓上點的距離最值問題. 解題是概念和性質的最終應用，函數的對應思想能將此復雜題型破解.

結束語

函數的概念是中學數學中最基本、最重要的概念，而“平移、軸對稱、旋轉”是初中數學學習中最常見的圖形變換. 運用函數概念這個普適性描述運動變化的方式去理解“平移、軸對稱、旋轉”的運動，能幫助學生認清客觀世界中的“位置關系”“數量關系”的產生過程，這是一種“全局”的數學思維方式. 初中階段的學生仍處于“直覺”思維到“理性”思維的成長期，需要教師用好教材中的活動素材去引導，讓他們在體驗、經歷中揭示運動的變化規律，領悟到用運動變化的眼光看世界的真諦.