例談線段和角的類比學(xué)習(xí)

李志東

[摘? 要] 線段和角是幾何圖形中最基本的知識(shí)，對(duì)于后續(xù)學(xué)習(xí)三角形、四邊形、多邊形，全等、相似、銳角三角函數(shù)等都起著基石和鋪墊的作用. 學(xué)生不僅要學(xué)會(huì)線段和角的知識(shí)，更要學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)它們的方法和思考它們內(nèi)在的聯(lián)系.

[關(guān)鍵詞] 線段;角;類比學(xué)習(xí)

線段的概念和角的概念的類比

滬科版七年級(jí)教材中對(duì)于線段和角都是描述性的，但可以歸納為：

1. 線段是“兩點(diǎn)一線”. “兩點(diǎn)一線”中的兩點(diǎn)是指線段的兩個(gè)端點(diǎn)，一線是指連接兩點(diǎn)的是直線.

2. 角是“兩線一點(diǎn)”. “兩線一點(diǎn)”中的兩線是指角的兩條邊（是兩條射線），一點(diǎn)是指角的頂點(diǎn).

線段的命名和角的命名的類比

1. 線段的命名是“姓+名”

第一種是姓后面跟兩個(gè)端點(diǎn)的大寫(xiě)字母，兩個(gè)端點(diǎn)的大寫(xiě)字母沒(méi)有書(shū)寫(xiě)順序的要求，如圖1：線段AB或線段BA.

第二種是姓后面跟一個(gè)小寫(xiě)的字母，如圖2：線段a.

一般地，若題目中已經(jīng)告訴了或者標(biāo)記過(guò)了某個(gè)線段，那么線段的命名就已經(jīng)確定了，如果沒(méi)有可以根據(jù)需要自己命名.

2. 角的命名也是“姓+名”

第一種是姓后面跟三個(gè)大寫(xiě)字母，頂點(diǎn)字母必須寫(xiě)在中間，另外兩個(gè)大寫(xiě)字母沒(méi)有書(shū)寫(xiě)順序的要求，如圖3：∠AOB或∠BOA.

第二種是姓后面跟一個(gè)小寫(xiě)的希臘字母或角碼或大寫(xiě)的頂點(diǎn)字母（不引起混淆的情況下），如圖4：∠α或∠1.

類似于線段，一般地，若題目中已經(jīng)告訴了或者標(biāo)記過(guò)了某個(gè)角，那么角的命名就已經(jīng)確定了，如果沒(méi)有可以根據(jù)需要自己命名.

線段條數(shù)與角個(gè)數(shù)的計(jì)算方法

的類比

在計(jì)算線段條數(shù)和計(jì)算角的個(gè)數(shù)中，同學(xué)們很容易計(jì)算錯(cuò)，一種是漏算，一種是重復(fù)計(jì)算，還有就是無(wú)從下手的. 針對(duì)這三種情況，我們可以把數(shù)線段和數(shù)角進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，做到舉一反三，觸類旁通，已經(jīng)學(xué)會(huì)的同學(xué)也可以錦上添花.

如表1、表2，類比學(xué)習(xí)數(shù)線段，我們研究數(shù)角.

與線段的計(jì)數(shù)方法類似，先選一邊為始邊，確定以這條始邊為一邊的角的個(gè)數(shù)，再依次把后面的邊看作始邊，數(shù)出角的個(gè)數(shù)，最后相加即可得角的總數(shù)（注意：向同一個(gè)方向數(shù)）. 在學(xué)習(xí)時(shí)一定要弄清楚式子中“n”“n-1”分別是什么意思，以及“2”的真實(shí)含義，重復(fù)的不算，要除以2;重復(fù)計(jì)算就不用除以2.

剛剛研究的是理論問(wèn)題，實(shí)際上現(xiàn)實(shí)生活中這樣的應(yīng)用是無(wú)處不在的，比如足球世界杯的小組賽中每個(gè)小組共比賽多少場(chǎng);NBA比賽中分東西部和主客場(chǎng)，怎么統(tǒng)計(jì)比賽的場(chǎng)次;多人相互之間握手或碰杯多少次;某路公交車有n個(gè)站點(diǎn)，售票員需要記幾種票價(jià)和準(zhǔn)備幾種車票……理論來(lái)源于生活，更重要的是學(xué)會(huì)了要能應(yīng)用于生活.

線段和角的和差表示方法類比

1. 在線段的問(wèn)題中經(jīng)常要求某條線段的長(zhǎng)度，通常可以用幾條線段之間的加減運(yùn)算得到. 如圖5：（1）AB=AC+BC，（2）AC=AB-BC，（3）BC=AB-AC.

2. 在角中，同樣會(huì)涉及求某個(gè)角的度數(shù)，也是通過(guò)幾個(gè)角之間的加減運(yùn)算得到，如圖6：（1）∠AOB=∠AOC+∠BOC，（2）∠AOC=∠AOB-∠BOC，（3）∠BOC=∠AOB-∠AOC. 通過(guò)類比的學(xué)習(xí)方法，發(fā)現(xiàn)一個(gè)線段的和差問(wèn)題，就有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的角的和差問(wèn)題.

線段和角比較大小的方法類比

1. 線段的長(zhǎng)短比較方法

方法一：觀察法，從目測(cè)直觀的角度進(jìn)行線段長(zhǎng)短的比較，適合差距比較大的線段長(zhǎng)短的比較.

方法二：度量法，從“數(shù)”的角度比較（用有刻度的直尺量出線段的長(zhǎng)度，再比較）.

方法三：疊合法，從“形”的角度比較（起點(diǎn)對(duì)齊，看終點(diǎn)）.

2. 角的大小比較方法

方法一：觀察法，從目測(cè)直觀的角度進(jìn)行角的大小比較，適合差距比較大的角的比較.

方法二：度量法，從“數(shù)”的角度比較（用量角器測(cè)量出角的度數(shù)，再比較）.

方法三：疊合法，從“形”的角度比較（頂點(diǎn)、始邊對(duì)齊，看終邊）.

線段的中點(diǎn)與角的平分線的

類比

1. 線段的中點(diǎn)與角的平分線概念的類比

（1）線段的中點(diǎn).

概念：點(diǎn)C在線段AB上且使線段AC，CB相等，這樣的點(diǎn)C叫作線段AB的中點(diǎn)（如圖7）. 這時(shí)有AC=CB= AB或AB=AC+CB=2AC=2CB.

性質(zhì)定理：因?yàn)辄c(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，所以AC=CB= AB.

由條件到結(jié)論，其中條件反映了位置關(guān)系，點(diǎn)C在線段AB上，這是隱性的，教學(xué)時(shí)要注意;結(jié)論反映了數(shù)量關(guān)系A(chǔ)C=CB= AB，其中數(shù)量關(guān)系共三個(gè)，可根據(jù)需要來(lái)寫(xiě)，不一定全寫(xiě)出來(lái).

判定定理：因?yàn)锳C=CB= AB，所以點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn).

由條件到結(jié)論，其中條件反映了兩種關(guān)系：一是位置關(guān)系，點(diǎn)C在線段AB上，這是隱性的，教學(xué)時(shí)要注意;二是數(shù)量關(guān)系A(chǔ)C=CB= AB，這里的三個(gè)等式只要有兩個(gè)成立就行了.

（2）角的平分線.

概念：射線OC在∠AOB的內(nèi)部，且使∠AOC，∠COB相等，這條射線OC叫作∠AOB的平分線（如圖8）. 這時(shí)有∠AOC=∠COB= ∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠COB.

性質(zhì)定理：因?yàn)樯渚€OC是∠AOB的平分線，所以∠AOC=∠COB= ∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠COB.

由條件到結(jié)論，其中條件反映了位置關(guān)系，即射線OC在∠AOB的內(nèi)部，這是隱性的，教學(xué)時(shí)要注意;結(jié)論反映了數(shù)量關(guān)系∠AOC=∠COB= ∠AOB，其中數(shù)量關(guān)系共三個(gè)，可根據(jù)需要來(lái)寫(xiě)，不一定全寫(xiě)出來(lái)，但教學(xué)時(shí)需要教會(huì)學(xué)生類比線段的問(wèn)題進(jìn)行思考和學(xué)習(xí).

判定定理：因?yàn)椤螦OC=∠COB= ∠AOB，所以射線OC是∠AOB的平分線.

由條件到結(jié)論，其中條件反映了兩種關(guān)系：一是位置關(guān)系，射線在角的內(nèi)部，這是隱性的，教學(xué)時(shí)要注意;二是數(shù)量關(guān)系∠AOC=∠COB= ∠AOB，這里的三個(gè)等式只要有兩個(gè)成立就行了.

通過(guò)比較兩個(gè)概念，可以發(fā)現(xiàn)共同點(diǎn). 線段的中點(diǎn)與角的平分線在核心問(wèn)題上都是一種平分，并且?guī)缀握Z(yǔ)言書(shū)寫(xiě)的格式也是一脈相承的.

2. 線段的中點(diǎn)與角的平分線知識(shí)拓展的類比

線段中涉及中點(diǎn)的知識(shí)：

（1）線段上一點(diǎn)+兩個(gè)中點(diǎn)的知識(shí).

已知：點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是線段AC，CB的中點(diǎn).

①若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)且AB=10，求PQ;

②若點(diǎn)C是線段AB上的任意點(diǎn)，AB=10，求PQ;

③若點(diǎn)C是線段AB上的任意點(diǎn)，PQ與AB的數(shù)量關(guān)系是什么，為什么？

變式一：點(diǎn)C是直線AB上任意點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是線段AC，CB的中點(diǎn)，試問(wèn)PQ與AB的數(shù)量關(guān)系，為什么？

變式二：點(diǎn)C是直線AB外任意點(diǎn)，P，Q分別是線段AC，CB的中點(diǎn)，試問(wèn)PQ與AB的數(shù)量關(guān)系，為什么？（拓展到三角形的中位線知識(shí)）

（2）線段上兩點(diǎn)+兩個(gè)中點(diǎn)的知識(shí).

已知：點(diǎn)P，Q是線段AB上兩點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是線段AP，QB的中點(diǎn)，AB=a，PQ=b，a>b，求MN.

角中涉及角的平分線的知識(shí)：

（1）一個(gè)大角內(nèi)有一條射線+兩條角平分線的知識(shí).

已知：射線OC在∠AOB內(nèi)，射線OP，OQ分別是∠AOC，∠COB的平分線.

①若射線OC是∠AOB的平分線且∠AOB=100°，求∠POQ;

②若射線OC是∠AOB內(nèi)任意射線，∠AOB=100°，求∠POQ;

③若射線OC是∠AOB內(nèi)任意射線，求∠POQ與∠AOB的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

變式：射線OC在∠AOB外，射線OP，OQ分別是∠AOC，∠COB的平分線，∠POQ與∠AOB有什么關(guān)系，為什么？

（2）一個(gè)大角內(nèi)有兩條射線+兩條角平分線的知識(shí).

已知：射線OP，OQ分別是∠AOB內(nèi)的兩條射線，射線OM，ON分別是 ∠AOP，∠BOQ的平分線，且∠AOB=α，∠POQ=β，α>β，求∠MON.

變式：射線OP，OQ分別是∠AOB外的兩條射線，射線OM，ON分別是∠AOP，∠BOQ的平分線，且∠AOB=α，∠POQ=β，α>β，求∠MON.

我們利用線段中點(diǎn)的概念類比角平分線的概念，充分了解角平分線與線段中點(diǎn)在本質(zhì)上都是一種等分，利用這個(gè)特點(diǎn)可以解決線段中點(diǎn)與角平分線的相關(guān)問(wèn)題，希望給大家?guī)?lái)一定的幫助. 處處留心皆學(xué)問(wèn)，線段和角的出題形式和書(shū)寫(xiě)格式都是非常相似的，能幫助我們舉一反三，達(dá)到事半功倍的效果.

線段中的比例、倍數(shù)關(guān)系和角

中的比例和倍數(shù)關(guān)系的類比

1. 已知：點(diǎn)C在線段AB上，BC=2AC，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，CD=4，求AB.

這是一道經(jīng)典的原型題，是在線段中點(diǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的再拓展，認(rèn)真研究后發(fā)現(xiàn)，這題條件中的倍數(shù)關(guān)系還可以改成比例問(wèn)題.

例如：“點(diǎn)C在線段AB上，BC=2AC，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，CD=4”，問(wèn)題部分難道只能求AB，能不能求BC或是AC呢？難道這個(gè)比例只能是2 ∶ 1嗎？能不能是其他的呢？帶著這些問(wèn)題可以繼續(xù)研究，為學(xué)生開(kāi)闊眼界、訓(xùn)練思維.

這就是知識(shí)的傳承性，解題的思路和格式基本上是一模一樣的，關(guān)鍵是倍數(shù)、比例的轉(zhuǎn)化，以及對(duì)要求的未知量的把握，當(dāng)然也可以改成份數(shù)問(wèn)題的研究. 一看到未知量，很多同學(xué)想到了方程，類似的也可以應(yīng)用方程的思想去完成，在教學(xué)中會(huì)發(fā)現(xiàn)建立的等式有多種，需要教師和學(xué)生反復(fù)揣摩和推敲，以到達(dá)思維嚴(yán)謹(jǐn)、格式規(guī)范、答案準(zhǔn)確.

2. 已知：射線OC在∠AOB內(nèi)，∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，∠COD=19°，求∠AOB.

比較上下兩題，它們的內(nèi)核是相似的，可見(jiàn)應(yīng)用類比學(xué)習(xí)的方法，不僅可以快速解題，更可以對(duì)試題進(jìn)行變式和推廣.

線段的分類討論和角的分類討

論問(wèn)題的類比

1. 線段的分類討論問(wèn)題

已知：點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)在一條直線上，AB=16，BC=6，（1）求AC;（2）若點(diǎn)P，Q分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，求PQ.

線段是圖形，線段中的分類討論問(wèn)題一般是將“數(shù)”和“形”相結(jié)合，注意方向，分類討論，問(wèn)題（1）就解決了. 問(wèn)題（2）是在問(wèn)題（1）的基礎(chǔ)上結(jié)合線段中點(diǎn)的知識(shí)進(jìn)行的拓展，依然是“數(shù)形”與分類討論相結(jié)合，先畫(huà)圖分類，再計(jì)算. 當(dāng)然也可以將其中的線段用字母表示，這樣就從特殊推廣到了一般.

2. 角的分類討論問(wèn)題

已知：∠AOB=100°，∠BOC=40°，（1）求∠AOC;（2）若射線OP，OQ分別是∠AOB，∠BOC的平分線，求∠POQ.

本題類比線段問(wèn)題的解題思路和解題格式，可以很快地完成，更可以推廣到一般，不僅僅是形似，更是神似. 當(dāng)然也可以在分類討論的基礎(chǔ)上涉及線段中點(diǎn)、角平分線、比例、倍數(shù)、份數(shù)問(wèn)題，這又加大了難度，更拓展了數(shù)學(xué)思維.

簡(jiǎn)化思路、訓(xùn)練思維、加深理解是類比思想的核心，本文通過(guò)類比學(xué)習(xí)線段和角的相關(guān)知識(shí)，一是可以加深學(xué)生對(duì)線段和角這兩個(gè)基本圖形的理解，二是可以讓學(xué)生理清已有知識(shí)脈絡(luò)，并進(jìn)行有機(jī)整合.