注重“消元”思維訓練 發展學生數學素養

葉媛媛

[摘? 要] “消元”作為一種重要的數學思想方法，貫穿在整個初高中的數學學習中，也是近幾年中高考的命題熱點，其地位不言而喻. 文章結合七年級學生的學情特征，針對七年級教學，就“消元”思維訓練要達到的層次目標和日常教學抓手進行簡單的探討.

[關鍵詞] 消元;層次目標;教學抓手

時下，“核心素養”“立德樹人”等教育理念和目標成了我們日常教學和教研的研討主題. 數學核心素養的教學直指學生數學能力的培養. 學生數學能力是否得到發展，在很大程度上反映了學科核心素養教學的有效性. 學生數學能力的培養，往往回歸到數學思想方法的教學. “消元”作為一種重要的數學思想方法，貫穿整個初高中的數學學習，其地位不言而喻. 這一點，從近幾年的福建數學中考試題就可以看出端倪. 因此，學生如果能夠具備“消元”意識，掌握相關方法，或許就能像我們期許的那樣，在數學之路走得更遠. 那我們該怎么做呢？其實，“消元”的思維訓練在學生剛入初中時就應著手進行. 在此，筆者針對七年級學生的數學教學，就如何進行相關訓練，談幾點自己的心得. 簡言之，就是做到“兩個明確”，找準“兩個抓手”.

做到“兩個明確”

1. 明確七年級學生的學情特征

正所謂“知己知彼，百戰百勝”. 要想在“消元”思維訓練中取得預期的效果，我們就要明確七年級學生的學情特征. 學生在七年級的學習中需要完成從數到式的過渡. 小學階段的數學較為具體形象，初中數學開始往抽象發展. 抽象思維要求學生學會從數學的角度發現問題和提出問題，并綜合運用數學知識解決相關問題，這對學生的要求較高，而“參數”恰好又是一個很抽象的東西，所以學生遇到相關問題時普遍會覺得困難.

教學上的難點，往往也是思維的生長點. “含參”類題目雖然難度較大，但是如果學生在解決此類題目的過程中，能夠獲得良好的數學體驗和成就感，就能逐漸建立解決此類問題的信心，這也是在七年級進行“消元”思維訓練得天獨厚的優勢. 因此，作為教師，我們要 善于利用這些思維的生長點，在教學中把握好節奏，由淺入深、由易到難，層層推進.

2. 明確“消元”思維訓練要達成的三個層次目標

對于“消元”，如果我們能夠明確“消元”思維訓練要達成的層次目標，就能在日常教學中有的放矢、事半功倍.

第一層次：學生初步擁有“消元”意識，在遇到含參問題時能夠從“消元”的角度尋找解題突破口. 培養學生的“消元”意識，其實是要求學生初步學會從數學的角度發現問題，嘗試運用數學的思維方式來思考和解決問題，這是發展學生應用意識的前提.？搖

第二層次：學生掌握有效的“消元”方法. 在人教版教材中明確提到“將未知數的個數由多化少、逐一解決的思想，叫作消元思想”，也就是說學生在“消元”過程中，要明確一個原則——由多化少、逐一解決. 把握住這個原則，學生就能獲得分析和解決含未知數問題的一些基本方法.

第三層次：“無中生有”——學生在遇到問題時通過主動設元的方式尋求解題途徑. 如果題目條件含有未知數，學生能夠捕捉到相關信息，并順著“消元”這條路走下去，這其實可以通過長年累月的訓練和積累達成，只是學生在這個過程中收獲得更多的是方法，還停留在技能形成層面，屬于前兩個層次. “無中生有”，顧名思義，就是題目條件不含未知數或者情境新穎，表面與“消元”關聯不大. 在這種情況下，學生還能主動設元，探索解題方向，就意味著學生的推理能力、數學建模、應用意識和創新思維等數學素養，都得到了一定的發展.

找準“兩個抓手”

明確了七年級學生的學情特征和“消元”思維訓練要達成的三個層次目標，我們就可以立足于日常教學，從兩方面入手：典型章節教學和典型題目剖析.

1. 精心設計典型章節教學

七年級要想有效培養學生的“消元”思維，應特別注意兩個章節的教學：“一元一次方程”和“二元一次方程（組）”.

初中階段正式涉及“消元”的教學內容應該是“一元一次方程”，只是教材內容沒有明確出現類似“消元”的字詞. 學生在這個章節的學習中需要掌握三個內容：一元一次方程的概念，解一元一次方程的依據及步驟，列方程解決實際問題. 由于小學已經學過“簡易方程”，很多學生自然會把“一元一次方程”的學習視為“簡易方程”的規范和延伸，但是教師在教學時，絕不能只停留在這個層面. 如果我們在教學過程中有意識地引導學生去感悟——解一元一次方程就是“消元”，列方程解決實際問題其實是一個“從無到有”，先設元再消元的過程——那么，我們就能在孩子的心中埋下一顆“消元”的種子，為日后的教學做好準備. 因此，在進行這個章節的教學設計時，我們應精選恰當時機拋出兩個問題：通過“設元”解決問題的優勢在哪里？什么情況下可以通過“設元”解決問題？前者可以通過與小學的算術方法進行對比，讓學生感悟;后者則需讓學生明白一個原則——當題目中含有未知量時，即可“設元”. 如果這類引導能夠反復出現在章節教學中，我們就成功把握住了一個培養學生“消元”意識的契機.

如果“一元一次方程”幫助學生勾勒出了“消元”的雛形，那么“二元一次方程（組）”的教學就應該是“消元”學習中濃墨重彩的一筆. 在本章節教材中（人教版七年級下冊教材91頁）明確提出了“未知數的個數由多化少、逐一解決的思想，叫作消元思想”. 這句話統領了后續“代入消元法”和“加減消元法”的教學. 但是從以往學習效果來看，大部分學生往往只記住了“代入”和“加減”兩個詞，解題技能是掌握了，卻忽略了“消元”的本質. “消元”二字對學生而言如同蜻蜓點水、雁過無痕. 想要最大限度地發揮這部分內容的教學價值，就必須讓學生對“消元”印象深刻，這意味著我們在進行教學設計時，必須突出代入消元法和加減消元法內含的“消元”本質. 結合自身的實踐探索和教學效果，筆者建議將“代入消元法”的第一課時分為以下四個步驟來幫助學生感悟“消元”思想.

首先，拋磚引玉. 對于一個結構特征明顯的二元一次方程組，學生在沒有學習特定解法的情況下，完全能夠自行求解，只是大部分學生在求解過程中依賴的是感覺和經驗. 以求解二元一次方程組y=x-1①，x+y=1②.為例，學生馬上能夠想到將①式代入②式，他們的心中已有“代入”，卻無“消元”. 這個時候教師只需要適時地提點一句：“你們知道將①式代入②式這件事有一個什么‘高大上的名稱嗎？”便能引發學生的興趣和思考，從而引出“消元”這個主題.

其次，剝繭抽絲. 上述例題的解題過程并不復雜，學生在解題的時候心中只有一個念頭——“把未知數解出來”——只是他們并不知道正在做的事就是“消元”. 可見，學生早已具備簡單的消元技能，教師要做的就是引導他們反思總結. 因此，教師可以通過層層追問的方式，引導學生思考：“為什么會想到將①式代入②式？”“化簡后得到的是什么？”“與原方程組比，有何區別？”……最后，撥云見日，剝離出解題步驟背后的指導思想——消元，讓這兩個字在他們心中留下不可磨滅的印象.

再次，融會貫通. 總結歸納是思維上的點撥，“消元”的價值主要還是體現在解題過程中. 要訓練學生的“消元”思維，讓他們體會解方程的本質就是消元，配套練習的設置就顯得尤為重要. 作為“代入消元法”的第一課時，除了相應的題型外，我們還應該有意識地設置一些題目來增加本節課的深度. 例如，解二元一次方程組x+y=1①，2x+y=2②.學生在獨立完成、合作討論的基礎上一般會得到三種解法：選擇①式或②式變形，代入另一個方程求解;將①式與②式相減求解;將①式整體代入②式求解. 第一種方法就是本節課所學內容，不需要贅述. 后面兩種方法卻是寶貴的課堂資源，可以借機引導學生思考：“這樣做可不可行？”“為什么會想到這樣做？”“用意是什么？”……有了這樣的分析，學生就能進一步感受到解方程的本質就是“消元”，不管是代入消元法，還是后續要學的加減消元法，只是“消元”的策略不同而已. 那么，只要能達到“消元”的目的，將未知數由多變少，無論采用何種方式，都是可行的. 有了這樣直指本質的剖析，后續加減消元法的教學也就水到渠成了.

最后，畫龍點睛. 完成上述教學步驟后，授課教師可以讓學生回歸教材，翻閱課本91頁至92頁，標記出自己覺得重要的內容. 相信還有一部分孩子會漏了“消元思想”的相關描述，此時，教師再重申一下它的地位，能讓更多孩子印象深刻.

有了這樣的教學過程，相信學生對于代入消元法的感悟，就不僅僅只是停留在技能層面.？搖“消元”的種子一旦在學生心中生根發芽，在相關題目中，他們就能迅速判斷出解題方向，體驗獲得成功的樂趣，建立信心.

2. 利用典型題目滲透“消元”訓練

涉及“消元”的題目紛繁復雜，在七年級比較典型的大致有兩類：一是題目條件含有多個未知數，需要通過消元解決問題;二是題目沒有直接給出未知數，但是通過設元能夠大大縮短思維鏈條，優化解題過程.

對于前者，教師在分析題目時應從題目特征和解題策略兩個角度引導. 題目特征：此類題目的共性是含有多個未知數，這些未知數往往能夠通過已知條件構建等量關系，并借助代換等方式實現化歸和統一. 解題策略：學生可以通過觀察結構特征、挖掘已知條件、分析題目設問等方式找到消元的順序和途徑，達成“消元”目的. 因為此類題目“消元”的指向性比較明確，教師可以通過變式訓練等形式在日常教學中滲透，幫助學生達成“消元”過程自動化、程序化，從技能層面進行固化.

第二類題目是消元訓練中的重難點，此類題目情境豐富，指向性不明確，對于學生而言，最難的就是“我怎么能想到要設未知數？”因此，在遇到此類題目時，教師要舍得花時間讓學生充分經歷解題過程，并通過對比等方式豐富學生的體驗內容，幫助他們感悟“設元”解決問題的優越性，體會數學的魅力. 現在舉一個例子加以說明：現對某商品降價20%促銷，為了使銷售總金額不變，銷售量要比按原價銷售時增加百分之幾？

這道題學生很輕易就能設出銷售量增加的百分比為x，并尋找到等量關系：原售價×原銷量=現售價×現銷量. 但是售價和銷量題目均未給出，學生進行到列方程這一步就會遇到困難，用小學的算術方法也無法解決. 在講解這道題時，教師可以讓學生進行多種嘗試，最后將原售價設為a，原銷量設為b，列出方程ab=（1-20%）a（1+x）b（a≠0且b≠0），再根據等式的性質化簡得到1=（1-20%）（1+x），進而完成解答. 有了這樣的過程體驗，學生就能充分感受到“設元”解決問題的優越性，只有當他們心中有了這樣的感受——“哇！這種方法真是太棒了！”——才會愿意去模仿和嘗試.

學生愿意嘗試只是開端，教師必須指導學生明白：只要題目含有未知量就能“設元”;參數的個數可以不唯一;所設的“元”最終不一定能求解出來，卻能幫助我們梳理題目條件，簡化思維過程;當題干中有一些特殊的條件，如比例關系、倍數關系等，往往能通過“設元”解決問題……這些總結能夠幫助學生明確什么問題情境適合“設元”求解.？搖

總之，“消元”思想是學生能力形成的必備環節，如果我們在初中起始階段就能未雨綢繆，幫助學生打好基礎、樹立信心，那么隨著教學的推進，學生或許就能像我們期望的那樣在能力形成的路上越走越順，在素養發展的路上越走越好！