動能定理的巧導與妙用

◇ 羅倩敏

動能定理是物體運動狀態與過程的橋梁，是力與運動的關聯樞紐，可以說一切簡單或復雜的情境問題，幾乎都要用到動能定理.因此，動能定理是中學物理的“脊梁”，也是高考命題的重點與集結地.那么，如何復習好動能定理呢?筆者認為應抓住動能定理的“雙令箭”——巧導與妙用.

1 動能定理的巧導

物體所受合外力做的功等于物體動能的變化，稱為動能定理.設物體的初速度為v，末速度為vt，其質量為m，所受合外力為F，合外力做功為W，則動能定理表達式為，現由特殊到一般巧妙推導如下.

1.1 恒力作用下的直線運動——替代法

當物體的初速度與恒力方向在同一直線上時，物體必做勻變速直線運動.設物體沿力F方向上的位移為x，物體的加速度為a，則W＝Fx，由牛頓第二定律得F＝ma，由運動學公式，聯立整理得證.

1.2 恒力作用下的曲線運動——分解法

當物體的初速度與恒力不在同一直線時，物體必做勻變速曲線運動，如圖1所示，將物體的初速度分別沿垂直和平行于F方向分解，設沿力F方向上的位移為x，物體的加速度為a，有W＝Fx，F＝ma，而，聯立整理得證.

圖1

1.3 變力作用的曲線運動——極限法

圖2

當物體在變力作用下做曲線運動時，采用極限分割法，軌跡如圖2所示，設從起點A到終點B有無數分割點為1，2，3，…，n，各點對應的動能分別為Ek1，Ek2，Ek3，…，Ekn，由于無限分割，每兩點間間距很小，可看成勻變速曲線運動，設每兩點間的合外力做功分別為W1，W2，W3，…，Wn＋1，A到B外力做的總功為W，根據前面的分析有，將以上各式相加有得證.

1.4 任意力作用的一般運動——微積分法

當物體在任意力作用下做一般運動時，可用微積分法，軌跡如圖3所示，設合外力為F，在力F方向上的微元位移為dx，對應做功為dW，則有

圖3

動能定理的研究對象是單個物體，無論物體是受恒力還是變力，無論物體是做直線運動還是曲線運動，其證明的基本思想都是牛頓第二定律與運動學規律相結合，巧妙運用分解法、極限法、微積法，達成化曲為直、化變為恒、化復雜為簡單的思維效果.

2 動能定理的妙用

2.1 妙用動能定理推導機械能守恒與功能關系

1)當物體系只有重力(彈簧彈力)做功時，動能和勢能相互轉化，機械能總量保持不變.或者物體系除重力(彈簧彈力)做功外，其他力都不做功，機械能總量不變.

對物體和地球組成的系統，設物體由初位置1到末位置2，其動能、重力勢能、彈性勢能分別為Ek1、EpG1、EpN1和Ek2、EpG2、EpN2，對物體由動能定理得WG＋WN＝Ek2－Ek1，而WG＝EpG1－EpG2，WN＝EpN1－EpN2，聯立以上各式整理得Ek1＋EpG1＋EpN1＝Ek2＋EpG2＋EpN2，即E2＝E1，機械能守恒得證.

2)物體系除重力(彈簧彈力)做功外，其他力做功W其他等于物體系機械能的變化ΔE.

對物體和地球組成的系統，設物體由初位置1到末位置2，其動能、重力勢能、彈性勢能分別為Ek1、EpG1、EpN1和Ek2、EpG2、EpN2，對物體由動能定理可得WG＋WN＋W其他＝Ek2－Ek1，而WG＝EpG1－EpG2，WN＝EpN1－EpN2，聯立以上各式得

當物體系只有重力或彈簧彈力(統稱為保守力，保守力做功只與物體的始末位置有關，與路徑無關)做功時，機械能守恒；若除了重力或彈簧彈力做功外，還有其他力(統稱為非保守力，亦稱耗散力，非保守力特點是其做功與路徑有關，如摩擦力等)做功W其他，則有W其他＝E2－E1＝ΔE.

2.2 妙用動能定理求解多運動過程問題

1)往返問題——單物體在摩擦力作用下的曲線運動

例1一個物體從斜面上高h處由靜止滑下并緊接著在水平面上滑行一段距離后停止，測得停止處相對開始運動處的水平距離為s，如圖4所示，不考慮物體滑至斜面底端時機械能的損失，并設斜面與水平面對物體的動摩擦因數相同.求動摩擦因數μ.若物體在水平面運動的動能與其位移的關系如圖5所示，求物體的質量m.

圖4

設斜面傾角為α，對物體全過程由動能定理得mgh－μmghcotα－μmg(shcotα)＝0，即有.在水平面上由動能定理有－μmgx0＝0－Ek0，聯立可得

圖5

例2如圖6所示，AB和CD為兩個斜面，其下端分別與一光滑圓弧面相切，PH為整個軌道的對稱軸，圓弧所對圓心角為120°，半徑為R＝2 m，整個裝置處在豎直向下的勻強電場E中.一帶正電(電荷量為q，且有Eq＝mg)物體在離弧底H高h＝3 m處以v＝4 m·s－1的速度沿斜面運動，物體與斜面間的動摩擦因數μ＝0.02.求物體在AB與CD兩斜面上運動的總路程s.(g取10 m·s－2)

圖6

物體經過多次往返后，到D或B點速度為零，由幾何關系知CD延長線與DB的夾角為60°，全程由動能定理得

由已知有Eq＝mg，聯立代入解得s＝240 m.

2)板塊問題——雙物體在摩擦力作用下的相對運動

例3如圖7所示，長為L，質量為m1的木板A置于光滑水平面上，在A板上表面左端有一質量為m2的物塊B，B與A之間的動摩擦因數為μ，A和B一起以相同的速度v0向右運動，在A與豎直墻壁碰撞過程中無機械能損失，要使B一直不從A上掉下來，木板B的長度L應滿足什么條件(用m1、m2、v0、μ表示).

圖7

若m1＞m2，碰撞后的總動量方向向左，以向左為正方向，根據系統動量守恒有m1v0－m2v0＝(m1＋m2)v，當相對靜止時B剛好在A板右端，根據功能關系得

若m1＝m2，最后系統總動量為零，都靜止在水平面上，且B在A的右端，有m1v0－m2v0＝0，

若m1＜m2，則A與墻壁發生多次碰撞，每次碰撞后總動量方向都向右，而B相對于A始終向右運動，最后A靜止在靠近墻壁處，B靜止在A的右端，同理有，聯立解得

2.3 妙用動能定理求解變力做功問題

1)機車恒功率啟動——變力直線運動

例4質量為500 t的機車以恒定的功率由靜止出發，經5 min行駛s＝2.25 km，速度達到最大值54 km·h－1，設阻力恒定且g取10 m·s－2.求機車的功率P.

2)圓周運動——變力曲線運動

例5如圖8所示，質量為m的物體被一根穿過光滑小孔的細繩牽引在光滑的水平面上做勻速圓周運動，拉力為某個值F時轉動半徑為R，當拉力逐漸減小到F/4時，物體仍做勻速圓周運動，半徑為2R，則外力對物體所做的功的大小是多少?

圖8

對m，由動能定理有，由牛頓第二定律得，聯立可得W＝，即外力對物體做負功，大小是

例6如圖9所示，質量m＝1.0 kg的物體以v0＝10 m·s－1的初速度從水平面的某點向右運動并沖上半徑R＝1.0 m的豎直光滑半圓環上，物體與水平面間的動摩擦因數μ＝0.5，g取10 m·s－2.

圖9

(1)如果物體從某點出發后在半圓軌道運動途中離開軌道，求出發點到N點的距離x的取值范圍.

(2)設出發點到N點的距離為x，物體從M點飛出后，落到水平面時落點到N點的距離為y，通過計算畫出y2隨x變化的關系圖象.

(3)若半圓軌道粗糙，物體從距離N點x＝2 m處出發恰好能從M點離開軌道，求物體在半圓軌道上克服摩擦力做的功W.

(1)當物體恰好從M點飛出時，有mg＝.從出發點到M點由動能定理有

聯立解得xmin＝5 m.

當物體剛好至與圓心等高處速度為0時，有

解得xmax＝8 m，綜上得所求的范圍為5 m≤x＜8 m.

(2)物體從M點飛出落到N點所在平面上，由平拋運動規律有

(3)物體恰好從M點飛出時有，從出發點到M點，由動能定理有

圖10

聯立解得W＝15 J.

3)關聯體問題——變力作用下的平動和轉動

例7一輛車通過一根跨過定滑輪的繩PQ提升井中質量為m的物體，如圖11所示.繩的P端拴在車后的掛鉤上，Q端拴在物體上，設繩的總長不變，繩的質量、定滑輪的質量和尺寸、滑輪上的摩擦都忽略不計.開始時車在A點，左右兩側繩都已繃緊并且是豎直的，左側繩長為H.提升時車加速向左運動，沿水平方向從A經過B駛向C.設A到B的距離也為H，車經過B點時的速度為vB.求車由A移到B的過程中，繩Q端的拉力對物體做的功.

圖11

例8一光滑輕桿下端用鉸鏈固定，桿的某點緊靠在質量為m、高為h的長方體上，長方體置于光滑水平地面上，若桿以角速度ω沿逆時針方向勻速轉動，在桿從與水平方向成角α到成角β的過程中，如圖12所示，求桿對長方體做的功W和長方體獲得的平均加速度a.

圖12

桿與水平面成角α時，桿和物體的觸點位置繞軸轉動的切向速度，長方體運動的速度為u1，由運動的合成可知，聯立可得.同理當桿與水平方向成角β時長方體運動的速度，對長方體由動能定理有W＝，聯立解得由于運動的時間，則長方體獲得的加速度為，聯立解得

4)連續體問題——多質點變力作用下的直線運動

例9某噴灌裝置的示意圖如圖13所示，水泵從深H的井中抽水，通過距地面h的龍頭噴出，已知水以相同的速率從龍頭噴出，Δt時間內噴出水的質量為m，水離開龍頭的水平距離為R.不計空氣阻力，重力加速度為g，求水泵工作時的輸出功率P.若將靠近龍頭處的豎直擋板插下擋住出水，結果出來的水豎直下流，那么，水對擋板的壓力是多少?已知水的密度為ρ，出水口的橫截面積為S.

圖13

設Δt時間內噴出質量為m的水，設從龍頭噴出水的速度為v，由動能定理可得PΔt－，由平拋運動規律可知R＝vt，，聯立得

對長度Δx的微元水，其質量為Δm＝ρSΔx，當速度由v到0，作用點位移為，由動能定理可得，聯立整理得由牛頓第三定律得水對擋板的壓力

例10在顯像管的電子槍中，從熾熱的金屬絲中不斷放出的電子進入電壓為U的加速電場.設其初速度為零，經加速后形成橫截面積為S、電流為I的電子束.已知電子的電荷量為e、質量為m，則在剛射出加速電場時，求一小段長為Δl的電子束內的電子個數.

5)宏觀天體與微觀粒子問題——近心運動和離心運動

例11天宮一號是我國研發的一個目標飛行器，目的是作為其他飛行器的接合點，是中國空間實驗室的雛形，于北京時間2011年9月29日21時16分03秒發射升空.

(1)若萬有引力常量為G，地球質量為MD，地球半徑為RD，發射天宮一號的速度必須大于第一宇宙速度，試推導第一宇宙速度的表達式；若RD＝6 370 km，g取9.8 m·s－2，求第一宇宙速度的值；

(2)若質量為m的衛星在地球赤道附近由西向東發射出去剛好在近地軌道運行，設地球自轉的周期為TD.求發射該衛星所做的功(用字母表達)；

(3)若萬有引力常量為G，中心天體的質量為M，質量為m的物體距中心天體r時具有的引力勢能為(以無窮遠處勢能為0).①求第二宇宙速度的值；②若把地球繞太陽公轉的軌道近似認為是圓，且不計其他星體對飛行物體的作用力，地球的公轉速度為29.8 km·s－1，求第三宇宙速度.

聯立解得v3＝16.7 km·s－1.

例12氫原子的核外電子看成繞核做圓周運動，已知電子電荷量為e，質量為m，靜電力常量為k.當一個電子從距核較近的r1軌道吸收一定頻率的光子能量ΔE躍遷到距核較遠的r2軌道做圓周運動時，該過程中電子的電勢能變化了多少?

聯立解得電子電勢增加

使用動能定理必須經歷“三定一看一判”，“三定”即定對象、定初末狀態(低速)、定參考系(慣性參考系)，“一看”即看運動軌跡，“一判”即判斷過程中做功情況.妙用動能定理體現在單物體、多物體、多過程、曲線運動和變力作用等問題中.對于板塊多物體問題要隔離分別使用動能定理；對于關聯體要靈活選取對象分析，注意物體間速度關聯；對于多過程往返運動要分清保守力與非保守力，明確其做功特點；對于變力要分析變力功的特點；對于連續體問題要選擇微元或個體分析，注意質心位移；對于離心或近心圓運動，要選其中心為參考系.