解答高考不等式客觀題的特殊方法

◇ 唐 俊

不等式是高中數(shù)學的基礎模塊，也是高考重點考查內容，且多以客觀題的形式出現(xiàn)，常結合函數(shù)、數(shù)列等知識點，考查視角主要涉及解不等式、比較代數(shù)式的大小等.下面結合近年高考題或模考題，針對不等式問題的解答，提出幾種特殊方法.

1 觀察法

解不等式問題通常結合與其對應的方程，求解方程的根，而有些方程是含有指數(shù)或對數(shù)函數(shù)的超越方程，其根無法利用常規(guī)方式求解，故可采用觀察法，得出所求不等式的解集.

例1(2020年北京卷)已知函數(shù)f(x)＝2xx－1，則不等式f(x)＞0的解集是( ).

A.(－1，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C.(0，1) D.(－∞，0)∪(1，＋∞)

令f(x)＝0，即2x－x－1＝0，此方程為超越方程，無法直接求解，利用觀察法可得其根為0，1，結合函數(shù)y＝2x與y＝x＋1的圖象特征，可知該方程沒有其他根，所以不等式f(x)＞0的解集為x＜0或x＞1，故選D.

應用觀察法求方程的根時，要結合函數(shù)特征，若方程中含有指數(shù)函數(shù)，可利用0，1等特殊點進行驗證；若方程中含有對數(shù)函數(shù)，可用1或與對數(shù)函數(shù)的底數(shù)有關的數(shù)值進行驗證.在利用觀察法得出方程的根后，判斷是否含有其他根時，要結合函數(shù)零點的存在定理或唯一性定理.

2 數(shù)形結合法

在解答與函數(shù)有關的不等式問題時，若函數(shù)的圖象能夠準確描繪出，或能快速找出相應函數(shù)之間的位置關系，則可利用數(shù)形結合法求解.

例2已知函數(shù)若f(x)＞f(x＋1)，則x的取值范圍是_________.

函數(shù)f(x)是由冪函數(shù)及一次函數(shù)構成的分段函數(shù)，其分段點為1.f(x＋1)的圖象可由f(x)的圖象向左平移一個單位得到，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)f(x)(虛線)和f(x＋1)(實線)的圖象，如圖1所示.結合圖象可知，f(x)＞f(x＋1)的解集為(0，1].

圖1

應用數(shù)形結合法解不等式，關鍵在于找到不同函數(shù)圖象之間的位置關系.如本題中將向左平移一個單位，f(x)與f(x＋1)的位置關系是在區(qū)間(0，1)，f(x)在f(x＋1)的上方；在區(qū)間(1，＋∞)，f(x)在f(x＋1)的下方.這一關系的準確利用是求解此不等式的關鍵.類似地，y＝x－1與y＝lnx，y＝x＋1與y＝ex，以及y＝x與y＝sinx等關系，在相關不等式問題的求解中均有重要的應用.

3 單調性法

單調性法是處理不等式問題的重要方法，即利用題目所給關系式的結構特征，構造相關函數(shù)，再判斷函數(shù)的單調性，進而利用函數(shù)的單調性進行大小關系的判斷.

例3(2020年全國卷Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b則( ).

A.a＞2bB.a＜2b

C.a＞b2D.a＜b2

由2a＋log2a＝4b＋2log4b變形，可得

設函數(shù)f(x)＝2x＋log2x(x＞0)，易判斷f(x)在區(qū)間(0，＋∞)內單調遞增，所以a＜2b.故選B.

應用此方法解題的關鍵是將所給關系式左右兩端構造成同構式，從而引入相應函數(shù)，再判斷函數(shù)的單調性.本題中所構造函數(shù)的單調性可利用基本初等函數(shù)的單調性進行判斷，對于較復雜的函數(shù)的單調性，可利用導數(shù)判斷.

4 賦值法

賦值法，即通過代入特殊值進行檢驗，排除錯誤選項.此方法是處理不等式性質問題的簡捷方法.

本題可以直接利用不等式的性質進行一一驗證，但利用賦值法更顯“小題小做”的優(yōu)勢.在應用此方法解題中，要注意所選特殊值不能“以偏概全”，例如，已知a＞b，判斷的大小關系，若a，b均取正數(shù)或均取負數(shù)，可得，但a＞0，b＜0時，則有

5 借值法

借值法是指借助中間值求解問題，在解答比較大小的不等式問題時，可通過選取中間值搭建橋梁，將待比較的數(shù)與中間值進行比較，從而判斷出大小關系.

例5已知x＝lnπ，y＝log52，z＝則( ).

A.x＜y＜zB.z＜x＜y

C.z＜y＜xD.y＜z＜x

對于不易直接應用作差或作商比較大小的問題，可通過尋找中間值，如0，，1等.本題易得出0＜y＜1，0＜z＜1，故可考慮借助值進行比較，比較過程中要準確應用常數(shù)與對數(shù)式、常數(shù)與指數(shù)式之間的轉化關系.

6 放縮變換法

即利用所給的條件，或基本不等式的性質將待比較的代數(shù)式進行放大或縮小后，再比較大小.

例6(2020年全國卷Ⅲ)已知55＜84，134＜85，設a＝log53，b＝log85，c＝log138，則( ).

A.a＜b＜cB.b＜a＜c

C.b＜c＜aD.c＜a＜b

本題在求解過程中利用了均值不等式及不等式的性質進行放縮.此方法的應用要注意放縮工具的選擇，放縮要適度.另外在比較a，b的大小關系時，也可利用作差法，即

總之，與不等式有關的問題雖然常考常新，但萬變不離其宗，只要我們把握相應的解題技能，即可以靜制動.

鏈接練習

1.已知a＞b，則下列不等關系正確的是( ).

A.ln(a－b)＞0 B.3a＜3b

C.a3－b3＞0 D.|a|＞|b|

2.已知函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，且對于?x∈(－∞，＋∞)，有f(－x)＋f(x)＝0.當x≥0時，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2).若f(x－1)≤f(x)對?x∈(－∞，＋∞)都成立，則實數(shù)a的取值范圍是( ).

3.(2020年全國卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，則( ).

A.ln(y－x＋1)＞0 B.ln(y－x＋1)＜0

C.ln|x－y|＞0 D.ln|x－y|＜0

4.已知函數(shù)則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為( ).

A.(－1，0]B.[－1，1]

C.(－1，1]D.(－1，2]

鏈接練習參考答案

1.C.2.B.3.A.4.C.