不等式問題求解中的常見誤區分

◇ 劉 洋

“會而不對，對而不全”是解答不等式問題中常見現象，出現此類情況，除了計算出錯外，主要原因是忽視性質定理成立的條件、問題類型混淆、變形不等價、考慮問題不全面等.下面就不等式問題的求解中經常出現的誤區進行分析.

1 忽視性質、定理成立的條件

數學中的性質、定理都存在其適用的條件，解題中如果沒有考慮這些條件，而盲目應用，則容易出現錯解.

錯因分析均值不等式的應用中應具備“正、定、等”三個條件.在上述求解方法中，將函數變形后雖然具備“正、定”兩個條件，但等號成立的條件并不存在，故最小值取不到4.

此類情況可借助“對號”函數的性質求解.

在應用均值不等式求最值時，若不滿足正或定的條件，可通過提取負號、添項、拆項等變形方式，構造出符合條件的結構.

2 混淆問題的類型

某些不等式問題，雖然形式相似，但本質不同，求解中如果不注意區別，則容易出現錯解.

例2(1)不等式x2＋(a－4)x＋4－2a≤0在[1，2]內恒成立，則a的取值范圍是_________.

(2)不等式x2＋(a－4)x＋4－2a≤0的解集為[1，2]，則a的值為_________.

(3)不等式x2＋(a－4)x＋4－2a≤0在[1，2]內有解，則a的取值范圍是________.

錯解本例中的三個問題，形式相近，因此部分學生將其視為相同的問題，采用相同的處理方法，即

錯因分析問題(1)屬于不等式恒成立，問題(2)屬于不等式恰成立，問題(3)屬于不等式能成立，三類問題形似質異.上述解法只適用于問題(1).對于問題(2)和(3)可采用如下方法處理.

(2)不等式x2＋(a－4)x＋4－2a≤0的解集為[1，2]，則1和2為方程x2＋(a－4)x＋4－2a＝0的兩個根，故由根與系數的關系得4－a＝3，解得a＝1.

(3)不等式x2＋(a－4)x＋4－2a≤0在[1，2]內有解，則有f(1)≤0或f(2)≤0，又f(2)＝0恒成立，所以a的取值范圍是R.

另外，對于不等式恒成立、能成立問題，也可通過求函數的最值來處理，求解方式包括直接求最值或分離參數后求最值.

3 遺漏隱含條件

充分利用題目所給的已知條件是順利、準確解題的關鍵.題目條件有些是直接的，有些是隱含的，對于隱含條件，則需要我們透徹挖掘.

三角函數是周期函數，同一函數值與多個自變量的值對應，處理此類問題時要仔細分析，避免漏解.

4 變形不等價

“化歸轉化”是解答數學問題的重要思想，不等式問題也不例外，轉化的方向是陌生化熟悉、煩瑣化簡捷、未知化已知等.在轉化的過程中如果出現變形不等價，則容易出現錯解.

例4若不等式ex－t(x＋1)≥0恒成立，則t的取值范圍是________.

綜上，t∈(－∞，1].

錯因分析本題屬于不等式恒成立問題，上面的解法中采用了分離參數法，此方法是解答不等式恒成立問題的常用方法.錯解的原因是在參數分離的過程中變形不等價，即在不等式兩邊同除x＋1時，沒有考慮其正負.

若x＝－1，不等式ex－t(x＋1)≥0恒成立.若x＞－1，則原不等式等價于

若x＜－1，則原不等式等價于因為，故t≥0.

綜上，t的取值范圍是[0，1].

當然本題也可直接利用導數求不等式左側函數的最值，此處不再贅述.

5 忽視對不同情況的討論

與不等式有關的問題中常涉及多個變量，而這些變量的范圍往往并未明確給出，因此問題的求解中要對變量的可能取值進行分類討論，討論中要做到分類視角明確、不重不漏.

例5已知p＋q＞0，證明(n為偶數).

錯解將欲證不等式作差變形得

因為n為偶數，所以(pq)n＞0，pn－qn和pn－1－qn－1的符號相同，所以

錯因分析因為條件中只給出p＋q＞0，而p，q的正負情況是不確定的，所以當n為偶數時，pn－qn和pn－1－qn－1的符號可能不同，因此要分p＞0，q＞0以及二者中有一個為負的情況進行討論.

將欲證不等式作差變形得

當p＞0，q＞0時，(pq)n＞0，(pn－qn)(pn－1－qn－1)≥0，所以

當p，q中有一個為負值時，不妨設p＞0，q＜0，因為p＋q＞0，所以p＞|q|.又因為n為偶數，所以(pq)n＞0，(pn－qn)(pn－1－qn－1)≥0，所以

總之，在不等式問題的求解中遇到的易錯點不只是本文所述情況，同學們在平時的解題訓練中要注意歸納總結易錯點，找到錯誤根源，方可以不變應萬變.