例談數(shù)列中的奇偶項(xiàng)問題

◇ 李文東

數(shù)列的奇偶項(xiàng)是指數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)，高考和模擬題中經(jīng)常出現(xiàn)按奇偶項(xiàng)分類求和的數(shù)列問題，這類題目對(duì)大部分學(xué)生來說難度較大，究其原因，主要是學(xué)生解題時(shí)缺乏思路.本文針對(duì)這一問題進(jìn)行歸納總結(jié)，希望幫助同學(xué)們找到解題思路，以快速解決此類問題.

1 奇偶項(xiàng)數(shù)列的等差等比數(shù)列的證明

本題是按等比數(shù)列的定義來證明，證明過程中要注意下標(biāo)的變化和適用范圍.

例2(2014年全國卷Ⅰ理17)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù).

(1)證明：an＋2－an＝λ；

(2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列，并說明理由.

(1)由題設(shè)anan＋1＝λSn－1，得an＋1an＋2＝λSn＋1－1，兩式相減，得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an≠0，所以an＋2－an＝λ.

(2)由題設(shè)a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1，由(1)知a3＝λ＋1.

假設(shè){an}為等差數(shù)列，則a1，a2，a3成等差數(shù)列，所以a1＋a3＝2a2，解得λ＝4.

下面證明λ＝4時(shí)，{an}為等差數(shù)列.由an＋2－an＝4知，數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列{a2m－1}是首項(xiàng)為1、公差為4的等差數(shù)列，即a2m－1＝4m－3，令n＝2m－1，則m＝，所以an＝2n－1(n為奇數(shù)).

數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列{a2m}是首項(xiàng)為3、公差為4的等差數(shù)列，即a2m＝4m－1，令n＝2m，則所以an＝2n－1(n為偶數(shù))，所以an＝2n－1(n∈N?)，an＋1－an＝2.

因此，存在λ＝4，使得{an}為等差數(shù)列.

由an＋2－an＝λ，知數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成一個(gè)公差為λ的等差數(shù)列，從而可以分別求出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，然后再證明{an}為等差數(shù)列.

2 奇偶項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和

類型1an＋1＋an＝f(n)，于是an＋1＋an＋2＝f(n＋1)，從而an＋2－an＝f(n＋1)－f(n).特別地，若f(n)＝an＋b(a，b為常數(shù))，則an＋2－an＝a，即數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成一個(gè)公差為a的等差數(shù)列.

例3已知數(shù)列{an}滿足an＋1＋an＝4n－3(n∈N?).

(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a1的值；

(2)當(dāng)a1＝2時(shí)，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則

由an＋1＋an＝4n－3，得

兩式相減，得an＋2－an＝4，由a2＋a1＝1，a1＝2，得a2＝－1，所以數(shù)列{a2n－1}是首項(xiàng)為a1＝2、公差為4的等差數(shù)列，數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為a2＝－1、公差為4的等差數(shù)列，所以

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＝2n，an－1＝2n－7.

本例中由于數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式可分別求出，因此方法1對(duì)n分奇偶項(xiàng)討論并且每一種情況按奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)組合進(jìn)行求和；方法2基于an＋1＋an＝4n－3的一個(gè)整體運(yùn)用，將相鄰兩項(xiàng)組合后首先求得數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)的和，進(jìn)而得到n為偶數(shù)時(shí)的Sn，而當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，利用Sn＝Sn＋1－an＋1來求.當(dāng)然這里還是需要知道an＋1，這兩種方法是求解奇偶項(xiàng)數(shù)列前n項(xiàng)和的兩個(gè)基本策略.數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的問題實(shí)質(zhì)上是將一個(gè)數(shù)列分成兩個(gè)新的數(shù)列進(jìn)行考查，易搞錯(cuò)的是新數(shù)列與原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)、公差、公比的判定.

例4已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2n＝n－an，a2n＋1＝an＋1，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求S100.

由題意a2n＋a2n＋1＝n＋1，于是

我們只需要求出a100即可，由于a2n＝n－an，a2n＋1＝an＋1，故a100＝50－a50，a50＝25－a25，a25＝a12＋1，a12＝6－a6，a6＝3－a3，a3＝a1＋1＝2，得a100＝31，從而

本題采用鄰項(xiàng)結(jié)合、整體求解，關(guān)鍵是求出a100，這根據(jù)條件一步步倒推容易得出.

①中小型第三方物流企業(yè)，根據(jù)中國物流與采購聯(lián)合會(huì)和全國物流標(biāo)準(zhǔn)化技術(shù)委員會(huì)協(xié)助制定的《物流企業(yè)分類與評(píng)估指標(biāo)》，認(rèn)為中小物流企業(yè)的內(nèi)涵所謂中小型物流企業(yè)，是根據(jù)企業(yè)固定資產(chǎn)年?duì)I業(yè)額、年上繳利稅和企業(yè)員工規(guī)模劃分的一類企業(yè)形態(tài)[5]。當(dāng)前一般指那些固定資產(chǎn)1000萬元以下、年?duì)I業(yè)額數(shù)百萬至數(shù)千萬、企業(yè)員工500人以下的為中小型物流企業(yè)。多數(shù)為單向型物流企業(yè)，它僅僅承擔(dān)和完成某一項(xiàng)或少數(shù)幾項(xiàng)物流功能[6]。

類型2an＋1·an＝f(n)，于是an＋1·an＋2＝f(n＋1)，從而.特別地，若f(n)＝a·qn(a，q為非零常數(shù))，則＝q，即數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成一個(gè)公比為q的等比數(shù)列.

例5已知數(shù)列{an}中

(1)求證：數(shù)列{a2n}與{a2n－1}都是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

類型3an＋1＋(－1)nan＝f(n)，于是當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＋1－an＝f(n)，n為偶數(shù)時(shí)，an＋1＋an＝f(n)；從而當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n＋1為偶數(shù)，故

于是

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n＋1為奇數(shù)，故

于是

特別地，若f(n)＝an＋b(a，b為常數(shù))，則

bn＝a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝f(4n－2)－f(4n－3)＋f(4n－1)＋f(4n－2)＝8an＋2b－2a，可見數(shù)列{bn}是一個(gè)首項(xiàng)為6a＋2b、公差為8a的等差數(shù)列.

例6(2012年全國卷Ⅰ理16)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項(xiàng)和為______.

方法1由題意得f(n)＝2n－1，于是當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)an＋2＋an＝f(n＋1)－f(n)＝2，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)an＋2＋an＝f(n＋1)＋f(n)＝4n.故

方法2bn＝a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n是一個(gè)首項(xiàng)為10，公差為16的等差數(shù)列，于是

由題目分析知當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＋2＋an＝an＋2＋an＋4＝2，從而an＋4＝an，若a1＝1，則a4n－3＝1，又a4n－3＋a4n－1＝2，故a4n－1＝1，于是當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)an＝1，an＋1－an＝2n－1，于是當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)an＝2n－2，即本題是一道填空題，故假設(shè)a1＝1也不失為一種有效的辦法.

3 通項(xiàng)含有(－1)n的數(shù)列的單調(diào)性問題

例7已知數(shù)列{an}(n∈N?)滿足a1＝1－3k，an＝4n－1－3an－1(n≥2，k∈R).

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，求k的取值范圍.

數(shù)列的單調(diào)性問題，本質(zhì)上是an＋1－an＞0(或an＋1－an＜0)的不等式恒成立問題，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式中含(－1)n，就需對(duì)n進(jìn)行奇偶性討論，確定(－1)n的值再分離變量轉(zhuǎn)化為數(shù)列最值問題.