高考物理之“以戰略備戰高考”講座(３)
——模型系統化，提升“物理腦”

◇ 傅雪平

上一講，我們學會了讓知識系統化的策略.但是，僅僅建立這樣的知識結構還是不夠的，仍然需要進一步提升.物理學是一門理想化、模型化的學科，不論是學習物理知識還是解答物理問題，都離不開一個關鍵要素——物理模型.物理模型方法是研究自然科學最基本的方法.對于高考物理備考來講，運用模型來復習同樣是一種高效的備考方法.可以說，不了解和不掌握物理模型方法，就學不好物理，也不可能在高考物理中取得好成績!

1 高考物理與物理模型

1.1 命題——從模型到習題

命題者是怎樣命制一道習題的呢?這是同學們特別關心的一個問題.其實，命制一道題目的基本思路是選擇一個模型—設置一些條件—再提出一些問題，這樣就形成了一道物理題目.如果再給習題有選擇性地創設一個實際的情境，就形成了一道信息題.由此可見，習題的命制過程是一個由簡到繁的過程.

1.2 解題——從習題到模型

解題者又是怎樣解答一個問題的呢?高考中任何一道物理題的背后都一定會有一個或若干模型.解題時，我們要通過審題，抓住問題的主要因素，忽略次要因素，建立合適的物理模型.然后選擇與模型相對應的物理規律，列出方程(組)，解出方程(組)的解.最后，將解出來的結果與實際的問題相互檢驗.由此可見，解題的過程是一個由繁到簡的過程.

2 用模型來提升物理腦

2.1 運用模型來學習知識

1)用模型來建立知識

物理學中的概念、規律、公式等，都是借助一定的物理模型抽象和推導出來的.比如對于功的定義式，教材先是根據水平恒力F拉動物塊移動位移l這一情境(如圖1)得出力F做的功為W＝Fl，再進一步擴展到恒力F的方向與運動的方向成α角(如圖2)，得出功的定義式為W＝Flcosα.對于這個推導過程，其前提是將物塊看作質點.如果物塊不能看作質點，那么就會給這個公式的使用帶來麻煩.

圖1

圖2

同樣地，在得出動能定理的過程中，教材創設了一個情境：一個質量為m的物體，在與運動方向相同的恒力F的作用下發生一段位移l，速度由v1增加到v2，如圖3所示.

圖3

根據牛頓第二定律F＝ma以及運動學規律，可以得到，這就是動能定理的表達式.這個推導過程是建立在質點模型和勻變速直線運動模型兩個模型的基礎之上的.

對于動能定理，同學們還應該明確兩點：

首先，動能定理僅適用于質點，對于不能看作質點的問題，不能直接使用動能定理來求解.

其次，雖然動能定理是在勻變速直線運動模型基礎上推導出來的，但卻可以應用于曲線運動等一些復雜情況.

由此可見，物理概念與物理規律的建立和推導一般都建立在相應的物理模型之上.因此，對于概念和規律的應用也可能會受制于相應模型的條件.

2)用模型來理解知識

物理知識大都是從客觀現象中抽象出來的概念、規律，同學們掌握起來會感到比較抽象.如果僅僅從一個概念到另一個概念，從一個規律到另一個規律，往往會讓我們感到難以理解.雖然物理知識很抽象，但從客觀現象中抽象出來的物理模型往往是非常形象的.運用這些模型來理解知識，往往會有意想不到的效果.

例1下列說法正確的是( ).

A.物體在恒力作用下能做曲線運動也能做直線運動

B.物體在變力作用下一定是做曲線運動

C.物體做曲線運動，速度的大小和方向一定都會發生變化

D.兩個直線運動的合運動一定是直線運動

物體是否做曲線運動，取決于物體所受合外力方向與物體運動方向是否共線，只要兩者不共線，無論物體所受合外力是恒力還是變力，物體都做曲線運動；若兩者共線，則物體做直線運動，選項A正確，選項B錯誤；做曲線運動的物體，速度的方向一定變化，但大小不一定會變化，選項C錯誤；兩個直線運動的合運動可能是直線運動，也可能是曲線運動，選項D錯誤.故正確答案為A.

如果采用模型來分析：自由落體是恒力作用下的直線運動，平拋運動是恒力作用下的曲線運動，選項A正確；彈簧振子的運動是變力作用下的直線運動，選項B錯誤；勻速圓周運動的速度方向發生變化，但速度的大小不變，選項C錯誤.平拋運動可以看成自由落體運動與勻速直線運動的合成，這說明兩個直線運動可以合成一個曲線運動，選項D錯誤.故正確答案為A.

用模型來理解知識，實際上是用具體的事例來理解知識，更加形象，更加直觀!

2.2 用模型優化知識體系

高考復習的整個過程可以說是在不斷地優化大腦里的知識結構.既然物理知識是建立在模型之上的，模型具有抽象與形象的雙重特點，那么利用模型來對知識進行系統化會更具“物理味”!更何況，物理習題也是以模型為基礎編制的，那么以模型為載體建立的知識結構，與習題會更“親密”，解題時知識與習題更容易“對接”.

1)從多角度理解模型

一個模型，需要我們對它進行多角度的理解.比如對于“勻速直線運動”，我們可以從運動學角度來理解：勻速直線運動是指“任意相等時間內的位移都相同的運動”；也可以從動力學角度來理解：勻速直線運動是指“加速度為零的運動”或者說“合外力為零的運動”；還可以用其他不同的“物理語言”來表達勻速直線運動.

如用圖象語言來表達：勻速直線運動的“速度—時間”圖象是平行于時間軸的一條直線；“位移—時間”圖象是一條傾斜的直線；也可以用解析式來表達：速度v＝v0，加速度a＝0，位移x＝v0t.

通過對勻速直線運動這一模型的全方位理解，我們對知識的理解便能既有廣度又有深度，當遇到下面的問題時，就能很快找到解題思路.

例2一路燈距地面的高度為h，身高為l的人以速度v勻速行走，如圖4所示.試證明人的頭頂的影子做勻速運動.

圖4

要證明是某種運動，一般可以從速度、加速度、位移的規律入手，相比而言，一般證明位移的規律比較好.設t＝0時刻，人位于路燈的正下方O處，在時刻t，人走到S處，根據題意有OS＝vt，M為t時刻人頭頂影子的位置，如圖5所示.OM就是人頭頂影子在時間t內的位移.由幾何關系有

圖5

可見，頭頂影子的位移OM與時間t成正比，故人頭頂的影子做勻速運動.

2)集知識于模型一身

模型與知識不同，知識往往比較單一，但模型卻是綜合的.知識的系統化最關鍵的是找到知識之間的“聯結”，而模型恰恰是最好的“聯結點”.在復習的時候，對一個模型開展學習，相當于進行一次項目式學習，將相關的知識集中在模型上加以理解，這樣就相當于建立了以模型為中心的立體化知識結構.

下面，我們以“彈簧振子模型”為例.

例3(1)如圖6所示，彈簧振子在BC間振動，O為平衡位置，BO＝OC＝5 cm.若振子從B到C的運動時間是1 s，則下列說法正確的是( ).

圖6

A.振子從B經O到C完成一次全振動

B.振動周期是1 s，振幅是10 cm

C.經過兩次全振動，振子通過的路程是20 cm

D.從B開始經過3 s，振子通過的路程是30 cm

(2)如圖7所示，一輕質彈簧上端固定在天花板上，下端連接一物塊，物塊沿豎直方向以O點為中心點，在C、D之間做周期為T的簡諧運動.已知在t1時刻物塊的動量為p、動能為Ek.下列說法正確的是( ).

圖7

A.如果在t2時刻物塊的動量也為p，則t2－t1的最小值為T

B.如果在t2時刻物塊的動能也為Ek，則t2－t1的最小值為T

C.當物塊通過O點時，其加速度最小

D.物塊運動至C點時，其加速度最小

(3)如圖8所示，一豎直放置的輕彈簧下端固定在水平地面上，質量為m的小球從彈簧正上方高為h處自由下落到彈簧上端A點，然后壓縮彈簧到最低點C，若小球放在彈簧上可靜止在B點，小球運動過程中空氣阻力忽略不計，則下列說法正確的是( ).

圖8

A.B點位于AC連線中點的上方

B.B點位于AC連線中點的下方

C.小球在A點的回復力等于mg

D.小球在C點的回復力大于mg

通過對3個問題的求解，我們掌握了3個方面的內容：

a)對彈簧振子本身結構的理解：水平彈簧振子與兩種豎直彈簧振子.

b)對相關概念的理解：簡諧運動的概念(全振動、周期、振幅等)以及動量、動能等概念.

c)對思維方法的理解：對稱的思維方法.

通過這樣的過程，我們建構了以“彈簧振子模型”為中心的系統化知識結構，不僅體現出知識的綜合性，更重要的是表現出知識的靈活性.

3)集模型于知識系統

在進行知識系統化的時候，我們可以總結一個章節甚至整個高中物理中出現的重點模型，并將其分類，厘清關系，建立起以模型為節點的知識體系.

下面，我們以“萬有引力與航天”一章為例.

例4(1)(自轉模型)中子星是恒星演化過程的一種可能結果，它的密度很大.現有一中子星，觀測到它的自轉周期為.問該中子星的最小密度應是多少才能維持該星體的穩定，不致因自轉而瓦解.計算時星體可視為均勻球體.(引力常數G＝6.67×10－11N·m2·kg－2)

(2)(公轉模型)已知地球半徑約為6.4×106m，又知月球繞地球的運動可近似看作勻速圓周運動，估算出月球到地心的距離.(結果只保留一位有效數字)

(3)(同步衛星模型)關于地球同步衛星，下列說法正確的是( ).

A.衛星的軌道半徑可以不同

B.衛星的速率可以不同

C.衛星的質量可以不同

D.衛星的周期可以不同

(4)(近地衛星模型)地球的第一宇宙速度約為8 km·s－1，某行星的質量是地球質量的6倍，半徑是地球半徑的1.5倍，則該行星的第一宇宙速度為( ).

A.4 km·s－1B.8 km·s－1

C.16 km·s－1D.32 km·s－1

(5)(極地衛星模型)偵察衛星在地球兩極上空的圓軌道上運行，它的運行軌道距地面高度為h，要使衛星在一天時間內將地面上赤道各處在日照條件下的情況全都拍攝下來，衛星在通過赤道上空時，衛星上的攝像機至少應拍攝地面上赤道圓周的弧長是多少?設地球的半徑為R，地面處的重力加速度為g，地球自轉的周期為T.

(6)(雙星模型)兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動.現測得兩星中心距離為R，其運動周期為T，求兩星的總質量.

(7)(黑洞模型)英國《新科學家(New Scientist)》雜志評選出了2008年度世界8項科學之最，在XTEJ1650-500雙星系統中發現的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半徑約45 km，質量M和半徑R的關系滿足(其中c為光速，G為引力常量)，則該黑洞表面重力加速度的數量級為( ).

A.108m·s－2B.1010m·s－2

C.1012m·s－2D.1014m·s－2

通過對這7個模型的分析研究，我們在解決這些典型問題的過程中，建構了一個章節的系統化知識結構.

2.3 運用模型來學會解題

在高考復習中，刷題成為常態，但是題海茫茫，我們的出路在哪里?題海無涯，模型是岸!雖然物理題是無限的，但物理模型是有限的!因此要學會解題，提高解題能力，我們必須從模型入手.具體來講有兩個方面的策略.

1)一個模型“掌控”一片天

很多“形異質同”的問題，從本質上看都是同一個模型.因此，通過一個模型，我們就可以掌握一類問題的解法.

下面以流體問題中的“柱體模型”為例.

例5流體的“柱體模型”：對于流體運動，可沿流速v的方向選取一段柱形流體作微元，設在極短的時間Δt內通過某一橫截面積為S的柱形流體的長度為Δl，如圖9所示.設流體的密度為ρ，則在Δt的時間內流過該截面的流體的質量Δm＝ρSΔl＝ρSvΔt.

這個模型可以解決的問題很多，如：

圖9

(1)(風力發電機)某同學設計了一個小型風力發電機，通過葉片轉動帶動轉子(磁極)轉動，使定子(線圈)中產生電流，實現風能向電能的轉化.已知進風口直徑為D，設計的額定風速為v，風能轉化為電能的效率為η，空氣的密度為ρ.求在額定風速下發電機輸出的電功率P.

(2)(水射流)超高壓數控萬能水切割機以其神奇的切割性能在北京國際展覽中心舉行的第五屆國際機床展覽會上引起轟動，它能切割40 mm厚的鋼板、50 mm厚的大理石等材料.將普通的水加壓，使其從口徑為0.2 mm的噴嘴中以800 m·s－1～1 000 m·s－1的速度射出，這種水射流就是“水刀”.我們知道，任何材料承受的壓強都有一定限度，表1列出了一些材料所能承受的壓強的限度.

表1

設想一“水刀”的水射流橫截面積為S，垂直入射的速度v＝800 m·s－1，水射流與材料接觸后，速度變為零，且不附著在材料上，水的密度ρ＝1×103kg·m－3，則此水刀不能切割上述材料中的( ).

(3)(宇宙微粒)有一宇宙飛船，它的正對面積S＝2 m2，以v＝3×103m·s－1的相對速度飛入一宇宙微粒區.此微粒區1 m3空間中有一個微粒，每一個微粒的平均質量為m＝2×10－7kg.設微粒與飛船外殼碰撞后附著于飛船上，要使飛船速度不變，飛船的牽引力應增加( ).

A.3.6×103N B.3.6 N

C.1.2×103N D.1.2 N

(4)(氣體壓強)正方體密閉容器中有大量運動粒子，每個粒子質量為m，單位體積內粒子數量n為恒量.為簡化問題，我們假定：粒子大小可以忽略，其速率均為v，且與器壁各面碰撞的機會均等，與器壁碰撞前后瞬間，粒子速度方向都與器壁垂直，且速率不變.利用所學力學知識，導出器壁單位面積所受粒子壓力F與m、n和v的關系.

(5)(電流微觀表達式)一段橫截面積為S、長為l的直導線，單位體積內有n個自由電子，電子電荷量為e.該導線通有電流時，假設自由電子定向移動的速率均為v.

(a)求導線中的電流I.

(b)將該導線放在勻強磁場中，電流方向垂直于磁感應強度B，導線所受安培力大小為F安，導線內自由電子所受洛倫茲力大小的總和為F，推導F安＝F.

(6)(光壓)科學家設想在未來的航天事業中用太陽帆來加速星際宇宙飛船，按照光的粒子說，光由光子組成，飛船在太空中張開太陽帆，使太陽光垂直射到太陽帆上，太陽帆面積為S，太陽帆對光的反射率為100%，設太陽帆上每單位面積每秒到達n個光子，每個光子的動量為p，如飛船總質量為m.求：

(a)飛船加速度的表達式.

(b)若太陽帆面對陽光一面是黑色的，情況又如何?

2)多個模型“圍剿”一道題

高考中的綜合題一般都是由多個部分有機拼接而成，每個部分都可以建立一個模型.對于這一類問題，我們必須將多個模型組成團隊，一起來“圍剿”這道題.下面，我們來看一個問題.

例6如圖10所示，物塊A和B通過一根輕質不可伸長的細繩連接，跨放在質量不計的光滑定滑輪兩側，質量分別為mA＝2 kg、mB＝1 kg.初始時A靜止于水平地面上，B懸于空中.先將B豎直向上再舉高h＝1.8 m(未觸及滑輪)，然后由靜止釋放.一段時間后細繩繃直，A、B以大小相等的速度一起運動，之后B恰好可以和地面接觸.g取10 m·s－2.空氣阻力不計.求：

圖10

(1)B從釋放到細繩剛繃直時的運動時間t；

(2)A的最大速度v的大小；

(3)初始時B離地面的高度H.

(1)B從釋放到細繩剛繃直前做自由落體運動，有，解得t＝0.6 s.

(2)設細繩繃直前瞬間B速度大小為v0，有v0＝gt＝6 m·s－1.細繩繃直瞬間，細繩張力遠大于A、B的重力，A、B相互作用，總動量守恒，則有

繩子繃直瞬間，A、B系統獲得的速度v＝2 m·s－1.之后A做勻減速運動，所以細繩繃直瞬間的速度v即為最大速度，即A的最大速度為2 m·s－1.

(3)細繩繃直后，A、B一起運動，B恰好可以和地面接觸，說明此時A、B的速度為零，這一過程中A、B組成的系統機械能守恒，有(mA＋mB)v2＋mBgH＝mAgH.解得初始時B離地面的高度H＝0.6 m.

回顧本題的解答過程，出現的模型有：自由落體運動、完全非彈性碰撞、勻減速直線運動.解題時，需根據時空的先后順序，依次選用相應模型的規律，逐個解決，再考慮模型之間的時空關系，最后綜合得出問題的結果.

3 模型系統化要注意的兩個問題

3.1 一物可以有多個模型

物理模型都是在一定的條件下，抓住主要因素，忽略次要因素，理想化而成的.對于不同的條件，建立的模型往往并不相同.一般表現在兩個方面：

1)不同的研究目的對應不同的模型

比如，人這個研究對象在不同的問題中就可以看作不同的模型.

例7第十八屆亞運會在印度尼西亞雅加達舉行，運動會包括射箭、體操、田徑、擊劍等數十個比賽項目.下列關于運動項目的描述正確的是( ).

A.研究馬拉松運動員跑步的過程，評判比賽成績時，可將運動員視為質點

B.在雙人同步跳水運動中，以其中一名運動員為參考系，另一名運動員是相對靜止的

C.在評判擊劍運動員的比賽成績時，運動員可視為質點

D.研究體操運動員的體操動作時，可將其視為質點

馬拉松比賽時，由于路程長，運動員的大小和形狀可忽略，可以將運動員視為質點，故A正確；在雙人同步跳水運動中，兩名運動員始終保持同步，故以其中一名運動員為參考系，另一名運動員是相對靜止的，故B正確；擊劍時要注意人的肢體動作，但是看成績不看動作時，可以將運動員看作質點，故C正確；體操中主要根據人的肢體動作評分，不能忽略人的大小和形狀，因此不能看作質點，故D錯誤.

從這個例子可以看出，人能不能看成質點，關鍵是要考慮所研究的問題.

2)不同的模型對應不同的研究方法

對于同一個問題，從不同的角度可以建立不同的模型，與之對應的規律也不同.

例8從傾角為θ的斜面上O點，以初速度v0水平拋出一個小球，落至斜面A點.則從拋出開始經多長時間小球離斜面的距離最大?最大距離是多少?

解法1將小球的運動看作平拋運動.

如圖11所示，設小球拋出t時間后，當速度方向與斜面平行時，小球離斜面的距離達到最大，此時小球速度方向與初速度方向成θ角.根據“平拋運動任意時刻末速度的反向延長線經過水平位移的中點”，設圖中M點為末速度反向延長線與水平位移的交點，線段MN的長即為所求的最遠距離H.

圖11

因為平拋運動中任意時刻末速度的反向延長線經過水平位移的中點，所以由幾何關系可知最遠距離為

解法2將小球的運動看作斜拋.

如圖12所示，利用斜拋思想求解，將物體初速度v0、重力加速度g都分解成沿著斜面和垂直斜面方向的兩個分量.在垂直斜面方向上，物體做的是以vy為初速度、gy為加速度的類豎直上拋運動.物體上升到頂端的時間等于它從拋出至離斜面最遠的運動時間.可得

圖12

物體在垂直于斜面方向“上升”的最大高度H＝

通過本題我們發現，將同一現象看作不同的模型，是一題多解思路的重要來源之一!

3.2 “圍剿”與“反圍剿”

物理題的命題者用模型來編制題目，我們用模型來“圍剿”題目.但是，為了檢測出考生的真實能力，命題者往往會巧設“陷阱”，妙用“偽裝”，對我們進行“反圍剿”.

例9在豎直平面內的玩偶“過山車”滑梯由三段軌道平滑連接而成，第一段為粗糙直軌道AB，第二段為內壁光滑、外壁粗糙的圓軌道BCD，第三段為內、外側均粗糙的拋物線軌道CE，直軌道與圓軌道相切于B點，圓軌道與拋物線軌道相切于C點(切線水平)，如圖13所示，OG為圓軌道的水平半徑.小玩偶中間有孔，孔徑略大于軌道直徑.現將小玩偶穿在軌道上，在直軌上距離B點x處由靜止開始釋放.當x＝0.4 m時，小玩偶只能滑到G點.已知AB與水平面成θ＝37°，圓軌道半徑R＝0.2 m，CF＝0.8 m，EF＝1.6 m.小玩偶的質量m＝0.2 kg，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m·s－2.

(1)求小玩偶與直軌間的動摩擦因數μ；

(2)當x取值恰當，小玩偶在拋物線軌道運動時機械能損失最少，求這種情況下小玩偶在C點對圓軌道的壓力大小；

(3)要使小玩偶在圓軌道部分運動時沒有機械能損失，求x的取值范圍.

圖13

(1)從開始運動到G點，由動能定理有mg(xsinθ－Rcosθ)－μmgxcosθ＝0，得

(2)拋物線軌道上僅受重力時，機械能不損失，設此時經過C點時的速度為v，則由EF＝vCt，CF＝，可得vC＝4 m·s－1.

在C點：FN－mg＝，FN＝18 N.根據牛頓第三定律，小玩偶對圓軌道的壓力大小為18 N.

(3)設小玩偶在圓軌道最高點的最小速度為v1，當時，小玩偶經過圓軌道時，機械能守恒.從開始運動到圓軌道最高點，由動能定理可得

當玩偶在圓軌道水平直徑以下運動時，機械能也守恒，因此x2≤0.4 m，即0≤x≤0.4 m或x≥1.15 m.

命題者在本題中有一個巧妙的“偽裝”設置：小玩偶穿在軌道上做豎直平面內的圓周運動，很容易讓同學們通過等效建模，認為是一個“桿子模型”.揭開這個“偽裝”的關鍵是對“要使小玩偶在圓軌道部分運動時沒有機械能損失”這句話的理解，意味著小玩偶經過圓軌道時，與軌道的外壁沒有摩擦力的作用，也就是說沒有彈力的作用.這樣，經過圓軌道的過程，只有可能是軌道的內側對小玩偶有彈力的作用，通過等效可以建立“繩子模型”.如果能意識到這一點，我們就不會被“偽裝”迷惑!

回顧這一講，我們與同學們一起學習了如何用模型來學習物理知識，怎樣用模型來建立系統化知識，以及運用模型來解題的一些策略和兩個注意事項.概括為一點，就是希望同學們掌握運用模型來高效復習的方法.