例談兩個(gè)向量經(jīng)典不等式的活用

◇ 山東 劉玉珍

本文著重說(shuō)明如何在適當(dāng)變形、構(gòu)造向量的基礎(chǔ)上,靈活運(yùn)用向量中的兩個(gè)經(jīng)典不等式證明相關(guān)不等式以及求解函數(shù)的最值、值域問(wèn)題.

向量經(jīng)典不等式1|a·b|≤|a|·|b|,即－|a|·|b|≤a·b≤|a|·|b|,對(duì)任意向量a,b都成立.

在此應(yīng)特別注意,對(duì)于任意非零向量a,b都有a·b＝|a|·|b|?向量a,b方向相同?存在λ＞0,使得b＝λa;a·b＝－|a|·|b|?向量a,b方向相反?存在λ＜0,使得b＝λa.

例1已知sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1,證明:

證明欲證原式成立,即證|sinαcosα＋sinβ·.構(gòu)造向量

則由已知得

所以由向量不等式|a·b|≤|a|·|b|,可得

例2求f(x)＝3 1－x＋ 3＋4x的最大值.

解析

當(dāng)且僅當(dāng)a＝λb(λ＞0),即亦即x＝時(shí),不等式取等號(hào).

向量經(jīng)典不等式2||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|對(duì)任意向量a,b都成立.在此應(yīng)特別注意,對(duì)于任意非零向量a,b都有|a|＋|b|＝|a＋b|?向量a,b方向相同;|a|＋|b|＝|a－b|?向量a,b方向相反;||a|－|b||＝|a＋b|?向量a,b方向相反;||a|－|b||＝|a－b|?向量a,b方向相同.

例 3求 函 數(shù)的最小值.

解析

當(dāng)且僅當(dāng)a＝λb(λ＜0),即

亦即x＝0(此時(shí)λ＝－1)時(shí),不等式取等號(hào).

故當(dāng)x＝0時(shí),f(x)取得最小值2 3.

例4已知函數(shù)f(x)＝x2＋x＋1－,求函數(shù)f(x)的值域.

解析

若向量a,b方向相同,則a＝λb(λ＞0),即但該方程組無(wú)解,從而上述不等式中的等號(hào)取不到.

故所求函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1,1).

綜上,利用向量經(jīng)典不等式解題的關(guān)鍵在于結(jié)合構(gòu)造向量題設(shè)條件或目標(biāo)問(wèn)題中有關(guān)表達(dá)式的外在結(jié)構(gòu)特點(diǎn),側(cè)重考慮“平方和”或“之積之和”的形式等.