最值難入手 轉化顯威力

◇ 安徽 蔡 赫 汪庭斌

最值問題一直是高考的熱點內容,幾乎每年必考,且常考常新.這類問題最能考查考生的綜合素質,體現出高考的區分度.解決這類問題往往需要學生具備多方面的數學核心素養,包括數學邏輯推理、數學運算、數學建模等,故這類問題常作為壓軸題型出現.而且此類問題,考生并不能通過大量的訓練(也就是題海戰術)獲得解決思路,需要一定的數學思想作為引導.本文旨在為學生解決最值問題提供一些通用可行的方法,為高三二輪專題復習中函數壓軸小題的解決提供一些解題方向.為達到這個目的,筆者特選取了一道典型的高考真題,從三個角度(函數、幾何、不等式)進行解題.在不同的解題角度里,又以不同的方法切入,充分考慮到不同學生的基礎與水平.另外,為體現高考選拔的要求,以及初等數學與高等數學的銜接,本文使用了函數的凹凸性作為其中一種解法,并對凹凸性的定義給出了解釋.

試題(2018年全國卷Ⅰ理)已知函數f(x)＝2sinx＋sin 2x,則f(x)的最小值是________.

分析本題是一道最值問題,但不同于以往的單元或多元最值問題,而是以三角函數為載體,在問題解決上既可以從函數角度入手,也可以從三角函數性質入手,還可以從圖象入手,體現了高考試題入口寬的特點.

相關知識對于函數問題,尤其是涉及三角函數,要養成分析其性質的習慣(奇偶性、周期性、單調性等),從周期性入手,利用誘導公式得f(x＋2π)＝2sin(x＋2π)＋sin 2(x＋2π)＝2sinx＋sin 2x,即f(x＋2π)＝f(x),故f(x)的周期為2π;從奇偶性入手,有f(－x)＝－f(x)(x∈R),為奇函數,故根據奇函數性質可以得到fmax(x)＋fmin(x)＝0,再結合三角函數的正負號,綜合以上性質,我們只需要考慮[0,內的函數性質.

1 函數角度

轉化為同角,化歸為一元函數,利用導數來求解.

思路1利用二倍角公式,化歸為同角問題.

解法1由題可得f′(x)＝2cosx＋2cos 2x(0≤利用二倍角公式和因式分解,可得f′(x)＝2(cosx＋1)(2cosx－1).在內,cosx＋1＞0恒成立,故f′(x)的符號只和2cosx－1的符號有關,結合圖象很快得到在內f′(x)＞0,在內f′(x)＜0,故時,f(x)取得最大值由奇偶性可知f(x)最小值為.

思路2利用半角公式,化歸為同角問題.

解法2由題可得f(x)＝2sinx(1＋cosx),又,則f(x)可變形為再利用平方代換和萬能公式代換即可化為一個角的函數關系這里的次數過高,為防止計算和求導出錯,采用換元法后再求導,其實也是一種轉化和化歸的思想.令故可得這樣就化歸為很典型的求導求最值問題,學生就可以自行解決了.求得導數為時,所以時,y取最大值則f(x)取最大值由以上分析知最小值為.

思路3利用弦切互換,化歸為同角問題.

解法3分子分母同時除以,得

原函數f(x)＝2sinx(1＋cosx)即可化歸為

下面再利用換元法即可化歸為常見的一元函數求最值問題,利用導數即可解決.令,則0≤,則

思路4利用平方代換,化歸為同角問題.

解法4f(x)＝2sinx(1＋cosx),則

再令t＝cosx,t∈[0,1],則可轉化成函數y＝4(1－t2)(1＋t)2(0≤t≤1),下面即是常規的利用導數求最值問題,求導得

以上這幾種方法均是從函數角度入手,利用代數變形等手段,將問題轉化為常規的一元函數問題,可以說是解決最值問題的通法,教師應該多輔以此方面的訓練,以便學生理解掌握此類通法.

2 幾何角度

化歸為圖形,幾何法求解.

思路5引入變量,化歸為線性(非線性)規劃問題.

解法5在此令m＝sinx,n＝1＋cosx,則有如下關系:m2＋(n－1)2＝1,其中0≤m≤1,1≤n≤2,設z＝2mn,這樣問題就化歸為如下問題:已知求z＝2mn的最值問題.可進一步換元,即已知求z＝2xy的最值,這是學生常做的一種非線性規劃問題.由圖1可知,當雙曲線圓x2＋(y－1)2＝1在第一象限相切時z取最大值,聯立得消去y得x4－2zx＋z2＝0,此方程在0≤x≤1內只有一個解,令g(x)＝x4－2zx＋z2,求導得g′(x)＝4x3－2z,令導數為0可得解得z＝因此f(x)的最大值為最小值為.

圖1

思路6利用單位圓,化歸為面積問題.

解法6利用三角函數的定義,在單位圓上取一些特殊的點,將的表達式轉換為面積問題.如圖2,以原點為圓心作一個單位圓,在此圓上取三個點A(－1,0),B(cosx,sinx),C(cosx,－sinx),則有BC＝2sinx,A到BC的距離為1＋cosx,因此有

故f(x)＝2S△ABC,這樣就將問題轉化為求△ABC面積的最值問題,而圓的內接三角形中,正三角形面積最大,這個圓的半徑為1,其內接正三角形邊長用正弦定理即可求出,設其邊長為a,由正弦定理可知則故其面積為則f(x)最大值為所求最小值為.

圖2

以上方法是尋找代數表達式背后的幾何背景,這需要合理的聯想和一定的技巧,再加上一些經驗的積累.以本題來說,從f(x)的表達式中的乘積關系聯想到幾何中的面積表示,再從三角函數聯想到單位圓,最后通過一些合理的構造得到一個△ABC,并且其面積剛好和f(x)有關,最終將問題解決.

3 不等式角度

轉化為等式,化歸為定值,不等式法求解.

思路7利用半角公式,化歸為不等式問題(借助均值不等式).

解法7根據前面方法2的分析,可知f2(x)＝對這個式子進行拆分湊出可以使用均值不等式的形式

思路8利用數字1,化歸為不等式問題(借助柯西不等式和基本不等式).

解法8由題意可知

再利用基本不等式得

思路9利用函數的凹凸性,化歸為不等式問題(借助琴生不等式).

解法9這里先給出函數凹凸性的導數判斷法:對于實數集上的函數y＝f(x),若它的二階導數存在,且在區間[a,b]上f″(x)＞0,就稱這個函數在區間[a,b]上為凸函數,反之為凹函數.

琴生不等式定義:若f(x)在區間[a,b]上為凸函數,則對任意的x1,x2,x3,…,x n∈(a,b),有不等式當且僅當x1＝x2＝…＝x n時等號成立.反之若f(x)在區間[a,b]上為凹函數,則對任意的x1,x2,x3,…,x n∈ (a,b),有不等式,當且僅當x1＝x2＝…＝x n時等號成立.

利用凸函數定義易判斷在[0,π]上,y＝sinx為凸函數,我們先對題目的函數解析式f(x)＝2sinx＋sin 2x進行轉化變形(這里我們利用誘導公式)可得f(x)＝sinx＋sinx＋sin(π－2x),再利用琴生不等式可以得到如下的不等式:

當x＝π－2x時,即時取等號,故可求出f(x)的最大值為,故所求最小值為.

以上的幾種方法均是從不等式角度入手來解決最值問題,通過合理的變形、配湊將表達式轉化為可以使用一些常見不等式的形式,由于其構造的技巧性較強、局限性也較大,需要長期的經驗和技巧積累、扎實的數學基本功和對數學式子的敏銳直覺.

本文所述的三種視角(函數、幾何、不等式)是高中階段解決最值以及范圍問題的三大方向,一般情況下,如果題目只涉及一元變量,我們常用的就是函數思想,將問題化歸為一元函數問題,其中可能會利用一些代數變形等手段進行轉換;如果涉及的是二元甚至更多元的情況,我們優先考慮能否將多元轉化為一元,再化歸為函數問題;如果上述兩種方法行不通或者求解過程太過復雜,再考慮利用幾何和不等式手段來解決問題.不論是哪種手段都需要轉化和化歸思想作為引導,可謂是最值問題難入手、轉化化歸顯威力、函數變形是通法,幾何、不等式來輔助.