一道高中數學練習題的拓展與思考

◇ 貴州 柴玉輝

1 原題呈現

題目已知函數f(x)＝3x3＋2x.

(1)求f(2),f(－2),f(2)＋f(－2)的值;

(2)求f(a),f(－a),f(－a)＋f(a)的值.

【注:該題源自人教社A版高中數學《必修1》第一章第二節練習第2題】

解析

(1)f(2)＝3×23＋2×2＝28,f(－2)＝3×(－2)3＋2×(－2)＝－28,所以f(2)＋f(－2)＝0.

(2)f(a)＝3a3＋2a,f(－a)＝－3a3－2a,所以f(a)＋f(－a)＝0.

小結:因為函數f(x)＝3x3＋2x是定義在R上的奇函數,根據奇函數的性質易知:對于任意的x∈R,有f(x)＋f(－x)＝0.這是一個顯而易見的結論.

2 對原題進行變式拓展

拓展1已知函數f(x)＝3x3＋2x＋1.

(1)求f(2),f(－2),f(2)＋f(－2)的值;

(2)求f(a),f(－a),f(－a)＋f(a)的值.

解析

(1)f(2)＝3×23＋2×2＋1＝29,f(－2)＝3×(－2)3＋2×(－2)＋1＝－27,所以f(2)＋f(－2)＝2.

(2)f(a)＝3a3＋2a＋1,f(－a)＝－3a3－2a＋1,所以f(a)＋f(－a)＝2.

拓展2已知函數f(x)＝3x3＋2x＋2.

(1)求f(2),f(－2),f(2)＋f(－2)的值;

(2)求f(a),f(－a),f(－a)＋f(a)的值.

解析

(1)f(2)＝3×23＋2×2＋2＝30,f(－2)＝3×(－2)3＋2×(－2)＋2＝－26,所以f(2)＋f(－2)＝4.

(2)f(a)＝3a3＋2a＋2,f(－a)＝－3a3－2a＋2,所以f(a)＋f(－a)＝4.

拓展3已知函數f(x)＝3x3＋2x＋m(m為常數).

(1)求f(2),f(－2),f(2)＋f(－2)的值;

(2)求f(a),f(－a),f(－a)＋f(a)的值.

解析

(1)f(2)＝3×23＋2×2＋m＝28＋m,f(－2)＝3×(－2)3＋2×(－2)＋m＝－28＋m,所以f(2)＋f(－2)＝2m.

(2)f(a)＝3a3＋2a＋m,f(－a)＝－3a3－2a＋m,所以f(a)＋f(－a)＝2m.

小結:由以上拓展1,2,3,易發現當f(x)的解析式由一個奇函數與一個常數的和構成,則在f(x)的定義域內,當自變量互為相反數時,函數值之和為2f(0),即為常數的2倍.

3 結論推廣

結論若函數f(x)＝g(x)＋m滿足g(x)為奇函數,m為常數,則在f(x)的定義域內,對于任意的a,有f(a)＋f(－a)＝2m.

證明由f(x)＝g(x)＋m且g(x)為奇函數可得

4 應用舉例

例1已知函數f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R),若f(a)＝2,則f(－a)＝_______.

解析

令g(x)＝x3＋sinx,則g(x)為定義在R上的奇函數.

由上述結論有f(a)＋f(－a)＝2×1,所以f(－a)＝2×1－f(a)＝0.

例2已知函數若f(a)＝2,則f(－a)＝________.

解析

易求得函數f(x)的定義域為R,令g(x)＝則g(x)＋g(－x)＝0.所以f(a)＋f(－a)＝2×(－2)＝－4,故f(－a)＝－4－f(a)＝－6.

例3已知函數,則

解析

教材中的例題或習題,都是經過若干專家和學者反復研究、精選出來的標桿,是專家學者的智慧結晶,對我們的學習、教學、高考備考等均有重要的示范、指導作用.