函數創新性問題賞析

◇ 浙江 王茂聰

函數是數學大廈的基石,也是高中數學的核心內容.高考對函數的要求一向很高,除了要求考生掌握基本問題的解法外,往往還滲透一些創新性問題,這類問題既考查了考生融會貫通的綜合能力,同時也檢驗了考生勇于探究的學習品質.這類問題新穎獨特,本文列舉幾例,與大家共賞.

1 三次函數拐點的應用

三次函數是最常見的高次函數,也是高考命題經常涉及的函數.而三次函數拐點的概念,在中學教材中未曾提及,題目中給出函數的概念,并要求學生利用這個概念解決相關問題,可以全面考查學生的學習力.

例1對于三次函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0),給出如下定義:

設f′(x)是函數y＝f(x)的導數,f″(x)是函數f′(x)的導數,若方程f″(x)＝0有實數解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數y＝f(x)的“拐點”.

某同學經過探究發現:任何一個三次函數都有“拐點”;任何一個三次函數都有對稱中心,且“拐點”就是對稱中心.給定函數

請你根據上面探究結果,計算

解析

故f″(x)＝2x－1.

令f″(x)＝0可得,所以函數f(x)的拐點即對稱中心為(),若x1＋x2＝1,則

所以

點評

本題屬于背景新穎的材料分析題,要求考生從材料中讀取有關信息,解決問題.本題既考查了導數的應用,又考查了三次函數的對稱性,題干創新獨特,能靈活考查學生利用數學知識解題的本質,即轉化思想.

2 抽象函數值的大小比較

抽象函數是高中函數的難點,與抽象函數有關的不等式問題一般會涉及函數的單調性,而抽象函數的單調性又與導數有著密切的聯系,于是這種綜合性極強并要求考生具有構造思想的數學問題應運而生.

例2設函數f(x)的導函數為f′(x),對任意x∈R都有f(x)＞f′(x)成立,則( ).

A.3f(ln 2)＜2f(ln 3)

B.3f(l n 2)＝2f(l n 3)

C.3f(ln 2)＞2f(ln 3)

D.3f(l n 2)與2f(l n 3)的大小不確定

解析

由題意對任意x∈R都有f(x)＞f′(x),所以g′(x)＜0,即g(x)在R上單調遞減.

又由l n 2＜l n 3,可知g(l n 2)＞g(l n 3),即

點評

抽象函數值的大小比較既是一類新穎題,又是一類難題.恰當構造函數,并利用函數的單調性比大小是解決這類問題的通法.本題求解的關鍵是利用已知條件構造恰當函數,考查了對數運算公式的應用.

3 新定義函數問題

新定義問題是數學中最常見的創新題,新定義函數問題給出一個函數的新名稱,同時給出該函數獨特的性質,要求考生利用新函數的新性質去解決相關問題.

例3若函數f(x)是定義域D內的某個區間I上的增函數,且在I上是減函數,則稱y＝f(x)是I上的“單反減函數”,已知f(x)＝l nx,.

(1)判斷f(x)在(0,1]上是否是“單反減函數”;

(2)若g(x)是[1,＋∞)上的“單反減函數”,求實數a的取值范圍.

解析

(1)由于f(x)＝l nx在(0,1)上是增函數,且,因為

所以x∈(0,1)時,F′(x)＞0,F(x)為增函數,所以f(x)在(0,1)上不是“單反減函數”.

因為g(x)是[1,＋∞)上的“單反減函數”,則g′(x)≥0在[1,＋∞)上恒成立,所以g′(1)≥0,即在[1,＋∞)上是減函數,所以G′(x)≤0在[1,＋∞)上恒成立,即在[1,＋∞)上恒成立,即axaxl nx－4≤0在[1,＋∞)上恒成立.

令p(x)＝ax－axl nx－4,求導得

p′(x)＝－alnx≤0,

故p(x)＝ax－axl nx－4在[1,＋∞)上是減函數,pmax(x)＝p(1),由p(1)≤0得a≤4.

綜上,a的取值范圍為[0,4].

點評

本題的新穎之處是給出新定義“單反減函數”,考查學生對新定義的認識;其次,本題需要利用導數解決新定義函數的有關問題,考查新定義的應用.本題表面上看是函數新問題,但解決此問題的方法還是研究函數單調性的老方法——導數法.可謂“以舊破新”.

創新,是一個民族的靈魂,也是數學的靈魂.數學教育要創新,數學問題也要創新,這是中學數學發展的必由之路,也是培養數學創新思維的有效途徑之一.