2019年全國卷Ⅱ對“導數及其應用”的考查

◇ 甘肅 馬生才

全國卷Ⅱ對于導數知識的定位是“導數是研究函數性態的工具”,即導數不僅可用來研究單調性以及與之相關的極值,更強調在單調性基礎上研究函數的圖象特征,以及與之相關的方程與不等式問題,導數工具性體現的是函數研究的思維深化.同時全國卷Ⅱ研究的函數類型更豐富,將高等數學初等化,強調與高等數學的銜接.

1 關注理科卷中的考查

例1(2019年全國卷Ⅱ)已知函數

(1)討論f(x)的單調性,并證明f(x)有且僅有兩個零點;

(2)設x0是f(x)的一個零點,證明曲線y＝l nx在點A(x0,l nx0)處的切線也是曲線y＝ex的切線.

解析

(1)函數f(x)的定義域為(0,1)∪(1,＋∞).

綜上,f(x)有且僅有兩個零點.

(2)方法1因為,所以點B(－l nx0,在曲線y＝ex上.由題設知f(x0)＝0,即lnx0＝

又曲線y＝ex在點處切線的斜率是,曲線y＝lnx在點A(x0,l nx0)處切線的斜率也是,故曲線y＝l nx在點A(x0,l nx0)處的切線也是曲線y＝ex的切線.

方法2因為x0是f(x)的一個零點,所以f(x0)＝0,所以.

對y＝l nx求導得,所以曲線y＝l nx在點A(x0,l nx0)處的切線方程為x0),即,消去lnx0得切線方程為.

對y＝ex求導得y′＝ex,所以曲線y＝ex在點處的切線方程為lnx0),即,消去lnx0得切線方程為.

綜上,曲線y＝l nx在點A(x0,l nx0)處的切線方程,與曲線y＝ex在點處的切線方程相同.故曲線y＝l nx在點A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y＝ex的切線.

點評

第1)問應注意以下兩點:1)若寫成f(x)在其定義域0,1)∪1,＋∞)上單調遞增,則錯誤;2)也可根據函數零點存在性定理以及f(x)在0,1)上單調遞增,證明f(x)在0,1)上有唯一零點.第2)問解法1的關鍵是說明兩個斜率相等,解法2的關鍵是說明曲線y＝l nx在點A(x0,l nx0)處的切線方程與曲線y＝ex在點處的切線方程相同.

2 關注文科卷中的考查

例2(2019年全國卷Ⅱ)已知函數f(x)＝(x－1)l nx－x－1.證明:

(1)f(x)存在唯一的極值點;

(2)f(x)＝0有且僅有兩個實根,且兩個實根互為倒數.

證明(1)函數f(x)的定義域為(0,＋∞).因為f′(x)＝,又因為函數y＝lnx和在(0,＋∞)上均遞增,所以f′(x)在(0,＋∞)上遞增.

因此,f(x)存在唯一的極值點(其中x0為該函數的極小值點).

(2)由(1)知f(x0)＜f(1)＝－2,又f(e2)＝e2－3＞0,所以根據函數的零點存在性定理以及f(x)在(x0,＋∞)上單調遞增可知:函數f(x)在(x0,＋∞)上存在唯一零點,即方程f(x)＝0在(x0,＋∞)內存在唯一實根,記作α.

由α＞x0＞1得所以結合函數f(x)在(0,x0)上單調遞減可知是方程f(x)＝0在(0,x0)內的唯一實根.

綜上,f(x)＝0有且僅有兩個實根,且互為倒數.

點評

本題第1)問解析中要說明f′(x)在0,＋∞)上單調遞增,也可以利用二次求導:因為在0,＋∞)上恒成立,所以f′(x)在0,＋∞)上單調遞增.第2)問的關鍵是說明方程f(x)＝0在區間0,x0)和(x0,＋∞)內各存在唯一實根,且互為倒數.

3 歸納總結

當導函數的零點不可直接求解時,可考慮函數的單調性與函數零點存在性定理的綜合運用:

若函數f(x)在區間[m,n]上單調遞增(或者遞減),且f(m)f(n)＜0,則必存在唯一的x0∈(m,n),使得f(x0)＝0.

綜上,“導數及其應用”部分,全國卷側重考查利用導數研究函數圖象的特征,考查要求高,多在壓軸題的位置出現.全國卷基本上每年都會考查導數的幾何意義中的切線問題,近幾年基本上都在解答題中通過切線研究曲線中的參數,強調解方程.