兩種載荷下掘進機截割頭轉子系統動力學分析*

黃志龍， 宋桂秋， 張眾超， 富佳興

(1.東北大學機械工程與自動化學院 沈陽, 110819) (2.紹興文理學院機械與電氣工程學院 紹興, 312000)

(3.天地科技股份有限公司 北京, 100013)

引 言

掘進機在機械化挖掘系統中具有特殊的地位，在地下采礦工程的重要作用使掘進機不斷向高效、節能、可靠性方向發展，然而掘進機的穩定狀態是掘進機高效和可靠性的重要影響因素[1-2]。因此許多人進行了掘進機穩定性的相關研究。Zhang 等[3]通過數值模擬研究了掘進機驅動系統在承受沖擊載荷時的動態特性。Eyyuboglu 等[4]通過實驗研究了截齒的圓周等距對具有圓柱形切割頭的懸臂式掘進機性能的影響。鄒曉陽等[5]基于現場振動測試研究了硬巖掘進機的振動特性，并用于理論建模的指導。Alvarez 等[6]使用兩個不同的掘進機切割頭來切割兩種不同類型的巖石，以研究掘進機的性能。Jiang 等[7]通過模擬和實驗研究了掘進機的巖石破碎機理，為提高掘進機的巖石切削性能提供了依據。也有研究人員運用人工神經網絡預測掘進機的性能[8-9]。Wang 等[10]建立了截割單元傳動系統的動力學模型，研究了應用于高硬度巖石下的掘進機截割單元的扭轉振動特性。Huo 等[11]建立了全斷面掘進機的刀盤系統耦合動力學模型，通過Newmark數值積分方法研究了刀盤系統的動力學特性。

掘進機穩定狀態與截齒的工作狀態有重要聯系，并且在實際工況下從銳利截齒到磨鈍截齒工作狀態的變化，使其動力學特性有較大區別，截齒磨鈍會改變掘進機截割頭的受力狀況，進而影響掘進機的穩定性[12]。由上述相關文獻研究可知，對不同截齒載荷條件下掘進機截割頭轉子系統的動力學特性研究幾乎沒有。因此筆者在前人研究的基礎上，建立了掘進機截割頭-轉子-軸承系統的彎扭耦合非線性動力學模型，對受到時變載荷下的截割頭轉子系統動態響應特性進行了分析，研究了兩種截齒載荷分別對截割頭轉子系統的動力學特性的影響，為掘進機的振動控制和動態設計提供理論基礎。

1 截割頭轉子系統的動力學模型

掘進機的懸臂系統為截割頭截割煤層提供穩定的旋轉動力。掘進機截割頭轉子系統簡化的結構示意圖如圖1所示，花鍵軸由滾動軸承支撐，截割頭由花鍵軸和殼體支撐。

圖1 截割頭轉子系統結構示意圖Fig.1 Schematic illustration of the cutting head rotor system

1.1 花鍵的非線性嚙合力

圖2給出了多自由度彎扭耦合集中質量模型，以研究截割頭轉子系統在時變外激勵下的動態行為。花鍵嚙合的局部放大圖如圖2(b～c)所示。在圖2中，質量點m1代表截割頭，花鍵軸簡化為m2～m5四個質量點;Fi為花鍵齒的嚙合力;H為鍵厚;L為鍵高;μ為齒側間隙;Li為載荷作用點到鍵根的距離;Ln為初始嚙合距離;系統沒有動態振動位移時Li=Ln;Fx,Fy分別為花鍵不對中產生在x和y方向上的合力;Fsx,Fsy為花鍵的不對中嚙合力;Ry為截割頭的升力;Rx為截割頭的橫切阻力;Mz表示截割頭的負載轉矩;Fx i,Fy i為軸承在x,y方向的支撐力。

圖2 截割頭轉子系統的動力學模型Fig.2 Dynamic model of the cutting head rotor system

圖2(a)為動力學模型，圖2(b)顯示了系統動態振動位移僅發生在x軸正向時的情況，圖2(c)顯示了系統動態振動位移發生在任意角度時的情況。

φi=2π(i-1)/z

(1)

為了便于分析，先假設不對中發生在x軸正向，此時有y=0，φ=0。則各鍵的等效嚙合距離為

Li=Ln-Scosφi

(2)

花鍵軸的傳遞扭矩T2可以表示為

(3)

其中：R為花鍵鍵根處圓的半徑;FTi為扭轉產生的每個花鍵齒的嚙合力。

根據粘彈性理論，花鍵軸上的外花鍵和截割頭上的內花鍵扭轉產生嚙合力可表示為

(4)

其中:β為每個花鍵齒的變形;θ(t)為每個花鍵齒的變形產生的扭轉角位移。

花鍵軸和切割頭在轉矩T2的作用下一起扭轉，因此每個花鍵齒的扭轉角位移θ(t)是相同的。當考慮花鍵間隙時，各鍵扭轉產生的嚙合力可改寫成如下形式[13]

(5)

其中：g[θ(t)Li]為花鍵間隙分段線性位移函數,其中考慮了花鍵間隙μ的影響;ks為花鍵的平均嚙合剛度，cs為花鍵的平均嚙合阻尼。

參照齒輪副的嚙合阻尼經驗公式，取嚙合阻尼比ξs為0.1,嚙合阻尼[14]為

(6)

其中：Mn，Mw分別為內、外花鍵副的等效質量。

動態振動位移產生的嚙合力[15]為

Fdi=(Ssinφi)ks

(7)

由以上分析可知，每個鍵齒嚙合力為

Fi=FTi+Fdi=

(8)

將各鍵齒產生的嚙合力沿坐標方向分解有

(9)

其中:φi為每個鍵齒作用力的方向與x軸正向的夾角

φi=φi+π/2

(10)

則可求得花鍵不對中而產生x，y方向的合力Fx，Fy分別為

(11)

以上是動態振動位移發生在x軸正向的時候，當花鍵嚙合發生任意角度的不對中時，相當于上述不對中繞圓點逆時針旋轉φ角，有花鍵的不對中嚙合力為

(12)

1.2 截割頭受力分析

圖3 截割頭受力分析Fig.3 Force analysis of cutting head

截割煤層時，銳利截齒和磨鈍截齒兩種條件下的截割頭載荷分別有如下形式[16]，其中銳利截齒條件下掘進機截割頭載荷為

(13)

磨鈍截齒條件下掘進機截割頭載荷為

其中：ωt+ψi為第i個截齒的位置角;nj為截割區域內的截齒數量;rj為第i個截齒的工作半徑。

1.3 軸承的振動模型

滾動軸承的外圈固定在殼體上，內圈固定在軸上。滾動體與軸承內、外圈接觸點的線速度分別為vi=ωir,vo=ωoR,式中r，R分別為軸承內外圈半徑，ωi,ωo分別為軸承內外圈角速度。軸承保持架的角速度等于滾動體的角速度，并且軸承內圈與轉軸一起運動，外圈與軸承座固結不轉動，ωo=0，ωi=ω，可得保持架的角速度為

ωd=(vi+vo)/(R+r)=ωir/(R+r)

(15)

則第i個滾動體的轉動角度αi為

αi=ωdt+2π(i-1)/Nb(i=1, 2, …,Nb)

(16)

滾動軸承的中心分別產生振動位移x和y；γ0代表軸承間隙，然后第i個滾動體和滾道之間的接觸變形可以表示[17]為

δi=xcosαi+ysinαi-γ0(i=1, 2, …,Nb)

(17)

其中：Nb為軸承滾動體數目。

根據非線性赫茲接觸理論，fi表示在滾動接觸情況下第i個滾動體和滾道之間的接觸壓力，考慮到滾動體和滾道之間的接觸只能產生法向正壓力，因此非線性赫茲力僅在δi>0成立。

H(xcosαi+ysinαi-γ0)

(18)

其中：kb表示赫茲接觸剛度;H(x)為亥維塞函數，當函數變量大于0時,函數值為1，否則為0。

軸承支撐力F在x,y方向上的非線性赫茲力分別為

1.4 掘進機截割頭轉子系統的數學模型

考慮截割頭-轉子-軸承系統的橫向和扭轉變形，則系統的位移向量為

X=[x1,y1,θ1,x2,y2,θ2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,θ5]T

(21)

其中：xi,yi(i=1，2～5)為質量點i的x和y向位移;θi(i=1，2，5)為質量點i繞z軸轉角;r1θ1,r2θ2,r5θ5分別指質量點i的位移函數。

根據圖2中的動力學模型建立了13個自由度的振動微分方程

k2x2+(k3+k2)x3-k3x4=Fx1

(k3+k2)y3-k3y4=Fy1-m3g

k3x3+(k3+k4)x4-k4x5=Fx2

(k3+k4)y4-k4y5=Fy2-m4g

其中：T1為輸入扭矩;T2為截割頭和花鍵軸之間的嚙合扭矩；k1，kh為截割頭的彎曲剛度和殼體接觸剛度；c1，ch為截割頭的彎曲阻尼和殼體接觸阻尼；k2，k3，k4為花鍵軸對應處的彎曲剛度；c2，c3，c4為花鍵軸對應處的彎曲阻尼；kt1，kt2，kt5為截割頭和花鍵軸對應質量點的扭轉剛度；ct1，ct2，ct5為截割頭和花鍵軸對應質量點的扭轉阻尼；cb1，cb2分別為兩個軸承處的阻尼。

以上方程呈現了復雜的數學模型，它是一種強非線性系統。為了更深入地研究該轉子系統動態特性，在此考慮了花鍵時變嚙合特性和彎扭耦合作用。

2 截割頭轉子系統非線性動力學分析

以EBZ200型號掘進機為例進行仿真分析，參數如表1所示。這里采用newmark-β法對系統進行數值求解。由于掘進機截割頭的旋轉速度與輸出截割力成反比。為了確保截割頭在不同條件下具有合理的截割力，下面分別討論銳利截齒和磨鈍截齒條件下截割頭的不同旋轉速度對系統動態響應。首先對銳利截齒條件下掘進機截割頭轉子系統進行仿真分析。在給定截割煤層硬度Pk=230 MPa、切削厚度h=25 mm等前提下，隨著截割轉速n的升高，耦合系統的動態響應如圖4所示。圖4中分別顯示了截割頭質量點x1方向和扭轉θ1方向上的分叉圖和三維頻譜圖。從分叉圖中看出，當截割煤層時系統在轉速n∈[15，20]內處于混沌運動和擬周期運動狀態，兩種狀態交替出現。隨著截割頭轉速的升高到n∈[21，60]，混沌運動和擬周期運動被周期性運動所代替。從三維頻譜圖中可以看出，由于系統中存在花鍵非線性嚙合力和彎扭耦合的作用，出現明顯的由轉頻fr和嚙合頻率fm組成的組合頻率成分2fm/5+fr,fm/2+5fr,fm+2fr,2fm+4fr,8fm-fr,16fm-3fr等。在截割頭質量點扭轉θ1方向上出現的高倍頻幅值較大，截割頭質量點x1方向上低倍頻幅值較大，頻率成分以低倍頻為主。因此在銳利截齒截割煤層硬度較低時，可以選擇較低轉速n>20的穩定運動區域實現低速大扭矩來提高切削厚度，同時低速可以減小截割頭磨損。

表1 EBZ200型掘進機截割頭-轉子-軸承傳動系統的參數Tab.1 Parameters of the cutting head-rotor-bearing transmission system in EBZ200 type roadheader

給定截割煤層硬度Pk=230 MPa、切削厚度h=25 mm等相同條件下對磨鈍截齒截割煤層進行仿真分析，結果如圖5所示。圖5中顯示了截齒磨鈍條件下截割頭質量點x1方向和扭轉θ1方向上的分叉圖和三維頻譜圖。對比圖4和圖5的分叉圖可以看出，在截齒磨鈍條件下的系統處于混沌運動和逆周期運動的范圍明顯增大，系統在轉速n∈[15，22]內處于混沌運動和逆周期運動狀態，在轉速n∈[23，60]內處于周期運動狀態。在圖5中轉速n=58 r/min時耦合系統出現了跳躍現象。以上分析說明,截齒磨鈍對截割頭轉子系統的穩定性影響主要體現在低轉速區域，在截割頭轉速較高時截齒磨鈍對系統穩定性影響不大。對比圖4和圖5的三維頻譜圖可以看出， 在截齒磨鈍條件下出現更多的頻率成分，如:2fr,fm/2+fr,fm/2+3fr,3fm/5+4fr,fm+2fr,3fm/2+3fr,2fm+4fr,15fm/2-6fr,15fm-8fr等。截齒磨鈍后的頻率成分依然集中在低頻區域，由于截齒磨鈍的影響，低頻區域的組合頻率成分變得更加復雜。為了更全面了解截齒磨鈍條件下截割頭轉子系統的振動響應，在圖6～8中分別給出了轉速為17, 19,50 r/min 3種情況下截割頭質量點x1方向的時域圖、頻域圖、相圖及Poincaré 截面圖。

圖4 銳利截齒條件下截割頭不同轉速的分叉圖和三維頻譜圖Fig.4 Bifurcation diagram and 3-D frequency spectrum of different speeds of the cutting head under sharp pick conditions

圖6 截齒磨鈍條件下轉速17 r/min時振動響應Fig.6 Vibration response at 17 r/min at condition of blunt picks

截齒磨鈍條件下轉速為17 r/min時的振動響應如圖6所示。從圖6(a)時域圖中看出，截割頭質量點x1方向在時域上的振動響應為非周期變化。從圖6(b)頻率譜中看出，系統除了組合頻率成分2fr,fm/2+fr等還出現連續的頻率譜成分，頻率成分較為復雜。從圖6(c) 相圖中可以看出，相平面顯示出不規則的運動。從圖6(d) Poincarè截面圖中可以看出，耦合系統呈現出不規則的離散點。由以上分析進一步驗證了系統處于混沌運動狀態。截齒磨鈍條件下轉速為19 r/min時的振動響應如圖7所示。從圖7中時域圖、頻域圖、相圖和Poincarè截面圖中看出，系統處于不規則運動狀態并在Poincarè截面形成封閉環，說明系統處于擬周期運動狀態。系統此時在低頻區域頻率成分較為復雜，如組合頻率成分fm/2+fr,fm+2fr等。截齒磨鈍條件下轉速為50 r/min時的振動響應如圖8所示。從圖8(a)時域圖中看出，截割頭質量點x1方向上振動響應均為周期運動。圖8(b)顯示了x1方向在低頻區域有間斷的轉頻成分2fr,8fr，嚙合頻率成分fm/3,3fm/5，以及組合頻率成分fm/2+fr,fm/2-3fr等。從圖8(c～d)看出系統在Poincarè截面上存在少量可數點，相圖上對應不規則的閉合曲線。綜合圖8(a～d)可說明系統處于周期運動狀態。

圖7 截齒磨鈍條件下轉速19 r/min時振動響應Fig.7 Vibration response at 19 r/min at condition of blunt picks

圖8 截齒磨鈍條件下轉速50 r/min時振動響應Fig.8 Vibration response at 50 r/min at condition of blunt picks

3 結 論

1) 銳利截齒條件下截割頭轉子系統在低轉速n∈[15，20]時處于混沌和擬周期運動狀態，提高轉速后系統處于周期運動狀態。在銳利截齒截割煤層硬度較低時，可以選擇較低轉速n>20的穩定周期運動區域實現低速大扭矩來提高切削厚度，同時低速可以減小截割頭磨損。

2) 對磨鈍截齒和銳利截齒兩種條件下的系統動態響應進行對比分析，在截齒磨鈍情條件，截割頭轉子系統的混沌和擬周期運動范圍增大，頻率成分較為復雜，頻率幅值波動明顯。應提高轉速使系統處于穩定的周期運動狀態，但轉速過高時系統的截割扭矩變小，應在提高穩定性和增加截割力之間選擇合理的轉速。截割頭轉子系統動態分析結果為掘進機的減振和動態設計提供了理論依據。