巧用拼圖實(shí)驗(yàn) 感悟數(shù)形結(jié)合
——以蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊(cè)“整式乘法與因式分解”為例

■焦倩玉

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊(cè)第九章“整式乘法與因式分解”中，一個(gè)非常重要的思想是用不同的方法計(jì)算同一塊圖形的面積，那么它們是相等的。通過(guò)這個(gè)思想推演證實(shí)了這一章的法則和公式。課標(biāo)要求學(xué)生能推導(dǎo)乘法公式（a+b）（a-b）＝a2-b2，（a±b）2＝a2±2ab+b2，了解公式的幾何背景，能利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算；反過(guò)來(lái)，也能利用公式法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解。

“整式乘法與因式分解”這一章中，“整式乘法”和“因式分解”是兩種互逆變形，“整式乘法”的最終結(jié)果是“和”的形式，“因式分解”的最終結(jié)果是“積”的形式，學(xué)生容易混淆。

筆者在學(xué)生完成此章的學(xué)習(xí)之后，開(kāi)展了一節(jié)拼圖實(shí)驗(yàn)的教學(xué)，期望學(xué)生通過(guò)拼圖實(shí)驗(yàn)，探索拼圖與整式乘法、因式分解之間的內(nèi)在關(guān)系，弄清這兩種變形的互逆關(guān)系及各自的功能，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法，發(fā)展幾何直觀和推理能力。

一、教學(xué)實(shí)錄

實(shí)驗(yàn)工具：A型紙片（邊長(zhǎng)為a的正方形）、B型紙片（邊長(zhǎng)為b的正方形）、C型紙片（長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形）各若干。

1.操作與發(fā)現(xiàn)。

用1張A型紙片、1張B型紙片、2張C型紙片拼成如圖1的正方形。計(jì)算整個(gè)圖形的面積。

于是，可得整式乘法（a+b）2＝a2+2ab+b2，因式分解a2+2ab+b2＝（a＋b）2。

將1張B型紙片按如圖2的方法放置于1張A型紙片上。計(jì)算陰影部分的面積。

生1：陰影部分面積是大正方形面積剪去小正方形面積，即a2-b2。

生2：把未被覆蓋部分剪開(kāi)（如圖3），重新拼圖。這個(gè)新的長(zhǎng)方形的面積為（a+b）（a-b）。

生3：把陰影部分剪成兩個(gè)一樣的梯形（如圖4），每個(gè)梯形的上底是b，下底是a，高是（ab），總面積是

于是，可得整式乘法（a+b）（a-b）=a2-b2，因式分解a2-b2=（a+b）（a-b）。

【教學(xué)說(shuō)明】課標(biāo)要求學(xué)生借助圖形直觀發(fā)現(xiàn)整式乘法，了解公式的幾何背景。借助圖形直觀，經(jīng)歷“由形到數(shù)”，學(xué)生易于發(fā)現(xiàn)結(jié)論。使用不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，分別對(duì)應(yīng)“整式乘法”結(jié)果“和”的形式和“因式分解”結(jié)果“積”的形式。

2.操作與思考。

用1張A型紙片、4張B型紙片、4張C型紙片拼成一個(gè)正方形。計(jì)算它的面積。

生4：因?yàn)橐匆粋€(gè)正方形，所以它的長(zhǎng)和寬應(yīng)該相等。我將唯一的A型紙片放在左上角。跟A連接的只能是C，它們都有共同的邊a，所以我分別在A的右側(cè)和下側(cè)放了一張C，于是就發(fā)現(xiàn)此時(shí)的右下角缺了一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，自然需要放一張B型紙片。現(xiàn)在我還剩下2張C型紙片和3張B型紙片，重復(fù)剛剛的過(guò)程，在這個(gè)新的正方形右側(cè)和下側(cè)放一張C，最后再把剩余的3張B型紙片補(bǔ)上就好了。

師：說(shuō)得非常清晰！拼圖的關(guān)鍵是相互連接的邊長(zhǎng)度相同。

由這個(gè)拼圖，可得整式乘法（a+2b）2=a2+4ab+4b2，因式分解a2+4ab+4b2=（a+2b）2。

取1張A型紙片、2張B型紙片、若干張C型紙片，使其拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。計(jì)算它的面積。

師：這與上一題有什么不同之處？

生5：我們不知道C型紙片的具體數(shù)量。

生6：雖然題目的條件沒(méi)有說(shuō)，但是由于A型紙片和B型紙片的邊長(zhǎng)都不相等，所以無(wú)法連接。只能在空白處補(bǔ)上3張C型紙片。

由這個(gè)拼圖，可得整式乘法（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2，因式分解a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）。

分別取若干張A型、B型、C型3種紙片，使其拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，并計(jì)算（a+b）（a+3b）。

師：讀完題后，你有什么想法？

生7：要計(jì)算（a+b）（a+3b），表明這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a+3b，寬為a+b。跟上一個(gè)拼圖相比，寬不變，長(zhǎng)多了b，再在右側(cè)添加1張C型紙片和1張B型紙片。

于是，得到整式乘法（a+b）（a+3b）=a2+4ab＋

3b2。

分別取若干張A型、B型、C型3種紙片，使其拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，并將多項(xiàng)式a2+10ab+9b2分解因式。

師：你可以不用動(dòng)手拼圖就得到答案嗎？

生8：（a+b）（a+9b）。我發(fā)現(xiàn)這3道題的多項(xiàng)式分別為a2+3ab+2b2、a2+4ab+3b2、a2+10ab+9b2，觀察得到ab項(xiàng)的系數(shù)都比b2項(xiàng)的系數(shù)大1。而這個(gè)矩形的長(zhǎng)每增加b，C型紙片和B型紙片同時(shí)增加，保持C型紙片一直比B型紙片多一張。

師：非常棒！他已經(jīng)自覺(jué)地將數(shù)和形結(jié)合起來(lái)看了，關(guān)注到了多項(xiàng)式的系數(shù)與拼圖之間的聯(lián)系。

于是，得到因式分解a2+10ab+9b2=（a=b）·（a+9b）。

【教學(xué)說(shuō)明】在操作與思考中設(shè)置了4個(gè)不同的問(wèn)題。問(wèn)題1明確紙片數(shù)量，要求拼一個(gè)正方形。問(wèn)題2需要學(xué)生自己確定紙片的數(shù)量拼一個(gè)長(zhǎng)方形。這兩個(gè)問(wèn)題都是“由形到數(shù)”。問(wèn)題3計(jì)算兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，這兩個(gè)多項(xiàng)式分別對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。問(wèn)題4將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式，這個(gè)多項(xiàng)式每一項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)不同類型紙片的數(shù)量。這兩個(gè)問(wèn)題都是“由數(shù)到形”。

3.拓展與延伸

有A型紙片、B型紙片、C型紙片各10張。從中取若干張紙片（每種紙片至少取1張），把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形（所拼的圖中既不能有縫隙，也不能有重合部分）。你覺(jué)得可以拼出多少種不同的正方形？

（小組討論，成果匯報(bào)。）

問(wèn)題的關(guān)鍵是使用的3種類型的紙片中，使用最多的同一種紙片不能超過(guò)10張。假設(shè)a的系數(shù)為m，b的系數(shù)為n，使用完全平方公式將（ma+nb）2進(jìn)行展開(kāi)，得到m2a2+2mnab+n2b2，分別觀察a2、ab、b2的系數(shù)m2、2mn、n2，只要它們小于等于10即可。故按順序找出6種情況如下表：

?

【教學(xué)說(shuō)明】拓展與延伸對(duì)學(xué)生提出了更高的要求，即不動(dòng)手拼圖，只借助多項(xiàng)式的系數(shù)和不同類型紙片之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系得到結(jié)果。由于紙片的數(shù)量是有限的，這就限制了多項(xiàng)式的系數(shù)的大小。再融合分類討論的思想，有邏輯地列出問(wèn)題的完整答案。

二、教后反思

筆者引導(dǎo)學(xué)生利用3種不同類型的紙片拼圖，再現(xiàn)整式乘法與因式分解的情境。筆者通過(guò)弱化條件或改變條件與結(jié)論，問(wèn)題設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，引發(fā)學(xué)生深入思考。隨著紙片的數(shù)量不斷增加，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：如果給定數(shù)量的紙片能夠拼成一個(gè)矩形，那么從整體和部分兩個(gè)角度計(jì)算這個(gè)圖形的面積可以得到一個(gè)整式乘法公式，同時(shí)與紙片面積一樣的多項(xiàng)式就能分解因式。學(xué)生感悟數(shù)量關(guān)系與圖形性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化，加深了對(duì)拼圖與整式乘法和因式分解之間關(guān)系的理解。

“讓學(xué)生獲得適應(yīng)未來(lái)生存與發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)只有個(gè)體在親歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中才能獲得。在本節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課中，學(xué)生不斷從事拼圖、計(jì)算面積等活動(dòng)，通過(guò)獨(dú)立思考、合作交流，并輔以歸納總結(jié)和提升，有助于自身基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的形成。總之，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)本質(zhì)上是一種解決問(wèn)題的活動(dòng)。教師是活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者與合作者，學(xué)生才是活動(dòng)的主人。要想學(xué)生真正參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中來(lái)，教師要精心設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生在探索中獲得真知，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)。