初中數學教學中的變式訓練之我見

（甘肅省和政縣第五中學，甘肅 和政 731200）

數學教學從本質上來說不同于其他學科，它以培養學生邏輯思維和計算能力為主，同時它也是生活中的一個非常重要的工具.因此，作為數學教學工作者，務必以“培養學生能力”和“教會學生用數學”為主要目標去實施教學.那么如何才能做到這兩點呢？我想，應該在有限的教學時間內，加強學生辨析思維能力，通過教學中的不斷變化，讓學生真正掌握數學知識的本質，從而達到提高課堂效率且又做到對人的培養的雙重任務！下面將通過幾個案例，來談談變式訓練給課堂高效帶來的益處.

案例一八年級上冊第二章第五節“等腰三角形的軸對稱性”第二課時.

例題如圖1，在△ABC 中，AB=AC，角平分線BD、CE 相交于點O.那么OB與OC 相等嗎？請說明理由.

解OB=OC.

在△ABC 中，因為AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB（等邊對等角）.

又因為BD、CE 分別是∠ABC、∠ACB 的平分線，

所以∠1=12 ∠ABC，∠2=12 ∠ACB，

所以∠1=∠2.

在△OBC 中，因為∠1=∠2，

所以OB=OC（等角對等邊）.

變式有3 種方式：（1）條件改變，結論不變；（2）條件不變，結論改變；（3）條件和結論都改變.

下面通過第一種方式（條件改變，結論不變）對上題進行變化.

變式1 如圖1，在△ABC 中，AB=AC，兩腰上的中線BD、CE 相交于點O.那么OB 與OC 相等嗎？請說明理由.

解OB=OC.

在△ABC 中，因為AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB（等邊對等角）.

又因為BD、CE 分別是腰AC、AB 上的中線，

所以AD=DC，AE=EB.

由AB=AC，得BE=CD（等式的性質）.

在△EBC 和△DCB 中，EB=DC（已求），∠ABC=∠ACB（已求），BC=CB（公共邊），

所以△EBC ≌△DCB（SAS）.

所以∠1=∠2（全等三角形的對應角相等）.

在△OBC 中，因為∠1=∠2，

所以OB=OC（等角對等邊）.

變式2 如圖2，在△ABC 中，AB=AC，兩腰上的高BD、CE 相交于點O.那么OB 與OC 相等嗎？請說明理由.

解OB=OC.

在△ABC 中，因為AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB（等邊對等角）.

又因為BD、CE 分別是腰AC、AB 上的高，

所以∠3=∠4=90°.

在Rt △EBC 和Rt △DCB 中，

∠ABC 與∠2 互余；∠ACB 與∠1 互余，

所以∠1=∠2（等角的余角相等）.

在△OBC 中，因為∠1=∠2，

所以OB=OC（等角對等邊）.

上述兩個變式還可以用其他方法求解說明理由，這里就不細說，只看兩個變式的效果.

這里只對條件進行了改變，本題的主要設計意圖在于希望學生能通過“等角對等邊”的性質去解決有關三角形的邊長相等問題，條件給出角平分線，學生就能很容易地想到角平分線定義的使用，從而想到課堂教學中跟角有關的內容：等角對等邊.但是經過兩個變式，將角平分線變成了與其類似的中線和高，既讓學生回憶了三角形的“三線”知識，又給了學生一定的思考空間：“雖然條件改了，但是結論沒變，既然還是判斷OB 和OC 的關系，只要說明∠1=∠2，就可以解決問題.”結果很明顯，這樣的變式，既能回顧學生以前的知識，又能調動學生的積極性，還能鞏固運用本節課的主要內容，一舉三得.

本題還可以將結論進行改變.

變式3 如圖1，在△ABC 中，AB=AC，角平分線BD、CE 相交于點O.那么OD 與OE 相等嗎？請說明理由.

解OE=OD.

在△ABC 中，因為AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB（等邊對等角）.

又因為BD、CE 分別是∠ABC、∠ACB 的平分線，

所以∠1=12 ∠ABC，∠2=12 ∠ACB.

所以∠1=∠2.

在△OBC 中，因為∠1=∠2，

所以OB=OC（等角對等邊）.

在△EBC 和△DCB 中，

∠ABC=∠ACB（已求），BC=CB（公共邊），∠2=∠1，

所以△EBC ≌△DCB（ASA）.

所以CE=BD.

由OB=OC，得OE=OD（等式的性質）.

變式3 就是變式的第二種方式，條件不變，結論改變.經過上述兩次變式，學生基本能夠掌握解決此題的方法：等角對等邊.再通過此次變式，讓學生能夠充分感受數學的樂趣，在樂趣中掌握所學知識，此乃教學的真諦.

案例二八年級上冊第三章勾股定理.

例題Rt △ABC，若以三邊長為邊向外作正方形，如圖3，S1、S2、S3，則S1、S2、S3 有怎樣的關系？

分析本題通過《勾股定理》“a2+b2=c2”就可以得到面積關系S1+S2=S3.

變式1Rt △ABC，若以三邊長為直徑向外作半圓形，如圖4，S1、S2、S3，則S1、S2、S3 有怎樣的關系？

解S1=π·（a2）2=π4a2，

S2=π·（b2）2=π4b2，S3=π·（c2）2=π4c2.

因為a2+b2=c2，

所以π4a2+π4b2=π4c2.

所以S1+S2=S3.

變式2Rt △ABC，若以三邊長為斜邊向外作等腰直角三角形，如圖5，S1、S2、S3，則S1、S2、S3 有怎樣的關系？

解S1=14a2，S2=14b2，S3=14c2.

因為a2+b2=c2，所以14a2+14b2=14c2，

所以S1+S2=S3.

本題意在讓學生理解外圍圖形面積的關系與直角三角形的三邊長有關，體現勾股定理的一個應用.不過，通過對外圍圖形的改變，加強學生計算面積的能力，并提高學生分析問題的內在聯系的能力.要討論外圍面積的關系，必須通過直角三角形的三邊長以及勾股定理來轉化，思考方向還是比較固定，學生容易得出結論.其實本題還可以變式為“Rt △ABC，若以三邊長為邊向外作等邊三角形”，結論仍然成立，教師可以指導學生課后自己探究.