探究一元二次方程在中考中的應用

（貴州省黔東南州岑鞏縣大有鎮初級中學，貴州 黔東南 557802）

一、引言

眾所周知，中考數學對于眾多初中生來說是比較難的科目，也是占分數較大的科目之一，對于數學知識的應用與學習至關重要。對于初中生來說一元二次方程的學習由于涉及的題目較多，難度較大，學習存在一定的難度，在解一元二次方程時往往找不到合適的解題辦法，一般來說一元二次方程有固定的解題思路與方法，在中考當中考查與應用也較為固定，可能會涉及選擇題、填空題以及大題等等，是中考考試的較為熱門的考點之一，本文將一元二次方程在中考的具體應用進行探索與分析。

二、一元二次方程的定義與概念

一元二次方程一般包涵以下三個含義，第一是且有一個未知數；第二是未知數的最高次方為2，第三該方程為一個整式方程。就其含義來看，首先二次項的系數是不能為0 的，其一般式為Ax2+Bx+C=0，其中A、B、C 是已知數，并且A 不等于零。

就其性質來看，如果A、B、C 分別都為0，那這個等式就為0，那么這個方程就必有一個根等于1，如果A-B+C 等于0，且A 不等于0 的情況下，那就肯定有一個根為-1。

就不完全形式來看，包括以下幾種，C=0 時，Ax2+Bx=0，當B=0 時，那么Ax2+C=0，當B=0，C=0 時，Ax2=0。

就一元二次方程的解法來看，主要包括以下幾種，第一是開平方法，第二是求根公式法，第三是因式分解法，第四是配方法。

三、一元二次方程在中考中應用時的注意事項

第一是在判斷一個方程是否是一元二次方程時，首先要將其整理成一般的形式，再根據一元二次方程的性質與概念進行判斷。比如在一道選擇題中，給出幾個方程，讓考生判斷時，考生應該首先判斷有無A 不能等于0 的限制，其次是各個方程中是否包含兩個未知數，最后將方程進行展開后，二次項是否被消掉了，如果消掉了則不滿足條件。

第二是不能忽視方程中二次項系數不能為0 的這個隱藏條件，比如在方程（a+2）xa+3ax+1=0，其中Xa 中a 為絕對值，在這樣的條件下，求a 的值時，通過聯立方程可以得出a 的值為2，而不是正負2，由于a+2不能等于0，所以a 的值相應地也不能為-2，故該題a 的值為2.

第三應該注意的是當方程有實數根的時候，應該對方程進行判別，不能說立馬用一元二次方程的解法來求，而是應該考慮根的判別式，并且考慮到一元一次方程，并且有可能兩個實數根是相等的，也有可能是不等的。比如問當a 為何值時，(a－1) x2－2(2a+1) x+a+1=0 有實數根?就這道題的解法來看，首先這道題未說明是一元二次方程，所以在解答時，應該分兩種情況來考慮，即一元一次和一元二次方程，分為當a-1=0 和a-1 不等于0 時來進行考慮，綜合兩種情況后，當大于或等于四分之五時，該方程是有實數根的。

四、一元二次方程在中考中應用時的解題思路

從之前的分析來看，一元二次方程的解題方式大致分為四種，配方、因式分解、開平方以及球根公式法，下面將對這幾種方法進行講解。

例如三角形兩邊長分別為4 和8，第三邊是方程X2-14X+45=0 的根，則三角形的周長為（ ）。

在這道題中首先用因式分解法來求解時，可以將該方程分解為（X-5）*（X-9）=0，求出X=5 或9.由此可以看出因式分解法是解一元二次方程的最基本的方法，首先要將其轉換為一般的形式，然后再對其進行因式分解，即可得出答案。

當用配方法來對此題進行求解時，即對X2-14X+45 進行配方，得出X2-14X+72=72-45，求出X=5 或9。配方法在此題中應用時，是將二次型的系數化為1，再將其移到左邊，用開方的方式進一步求出一元二次方程的解，求出方程的根。

就一元二次方程的根的判別來看，常常也是中考中考查的重難點。例如求4X2+1=4X 根的判別，在判斷該方程有無實數根時，一種方法時直接進行求求解，另一種則是直接進行判別，當直接進行求解時，將其轉換為一般式即4X2+1-4X=0.可以求出X=二分之一，即該一元二次方程有兩個相同的實數根二分之一。

第二種解題方式是直接對根進行判別，直接用B2-4AC 的值來進行判別，在本題中B=-4，4AC=16，兩者相減為0.即該方程有兩個相等的實數根。

另一種情況時當B2-4AC 不等于0 時，則需要對其進行分類討論。當值小于0 時則無實數根，當其大于0 時，則可能有兩個實數根，在遇到具體題目時，需要對其進行仔細辨別并計算。

五、總結

綜上所述，一元二次方程是初中必學的知識點之一，也是中考必考的重難點之一，在中考中的應用來看，就包括對其進行求解，對根進行判別等多方面進行考查，就其設計的題目也較為多而繁雜，結合到數學學科中的知識、結合三角形、三角函數等多方面聯合來考察，初中數學教師應該掌握其規律，有針對性對學生在一元二次方程的求解方面進行聯系，教會學生舉一反三，能夠對其變式進行解答，從而在中考中取得良好的成績。