把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進(jìn)有效建模
——以“植樹問題”的教學(xué)為例

林素琴

（廈門市高殿中心小學(xué)，福建 廈門 361000）

“植樹問題”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容，小學(xué)階段的植樹模型是由“植樹問題”進(jìn)一步抽象而來的。重點(diǎn)是研究當(dāng)兩端都栽，一端栽一端不栽和兩端都不栽這三種情況下棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系。為了讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和理解上述不同情況下棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系，一般情況下老師們會(huì)采用化歸的思想方法解決植樹問題，但在教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)這看似簡(jiǎn)單的植樹問題，學(xué)生卻始終難于理解，以致到最后只是死記硬背關(guān)系，并不能真正理解建構(gòu)這一模型，在運(yùn)用知識(shí)解決問題時(shí)也就顯得生搬硬套。在教學(xué)時(shí)，該如何才能真正讓學(xué)生建構(gòu)起植樹模型，并靈活地運(yùn)用模型解決生活實(shí)際問題？聽完俞震強(qiáng)老師的“植樹問題”一課，筆者有了以下的想法。

一、回歸知識(shí)本源，感知模型

數(shù)學(xué)知識(shí)具有很強(qiáng)的系統(tǒng)性和聯(lián)系性，很多新知識(shí)都是在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上形成和發(fā)展起來的。前面學(xué)習(xí)的知識(shí)往往是后面知識(shí)的基礎(chǔ)，后面的知識(shí)是前面知識(shí)的發(fā)展、延伸。“植樹問題”就是除法意義在生活中的實(shí)踐延伸。因此，為了讓學(xué)生更好地理解和掌握植樹模型，在教學(xué)中我們應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的整體性，調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生找到植樹問題的本源，理解和領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系與不同，進(jìn)而初步建立模型。如俞老師的“植樹問題”教學(xué)片段：

黑板上呈現(xiàn)：

1.20米，每5米一段，一共可分幾段？

2.20米路，每5米栽一棵樹，一共可栽幾棵？

讓學(xué)生獨(dú)立思考，列式解決

第一題生列式：20÷5=4（段）

師：為什么要用除法算？

生：因?yàn)檫@是平均分

師：你們的意思是說5米一段，5米一段，也就是說把20米進(jìn)行了平均分，所以要用除法算，是嗎？（板書：平均分）

第二題生列式：20÷5=4（棵）

俞老師從除法的意義入手，直接出示兩道題，讓學(xué)生獨(dú)立思考，自主列式，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，理解了5米一段，5米一段，就是把20米進(jìn)行平均分，要用除法計(jì)算。在學(xué)生提取出除法意義知識(shí)的基礎(chǔ)上，學(xué)生很輕松地理解“每5米種一棵”也是每5米一段，是平均分的問題，要用除法計(jì)算。俞老師通過這一簡(jiǎn)單而富有智慧的設(shè)計(jì)，成功地建立起新舊知識(shí)的聯(lián)系，把植樹問題轉(zhuǎn)化成學(xué)生好理解、會(huì)運(yùn)用的除法問題來解決，讓植樹問題回歸除法意義的本源，使學(xué)生在頭腦中初步建立起一個(gè)模型，要求段數(shù)，用除法，這是一個(gè)平均分的問題。

二、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，建構(gòu)模型

在生活中，植樹問題披著形形色色的外衣，存在著復(fù)雜多樣的情況，如安裝路燈、鋸木頭、走樓梯、敲鐘等，學(xué)生常常會(huì)被這些美麗的外表所迷惑，找不到問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。我們?cè)撊绾问箤W(xué)生能透過外衣看到問題的本質(zhì)？在建構(gòu)模型時(shí)，我們就必須從復(fù)雜的現(xiàn)象中抽象出植樹問題的本質(zhì)，借助適當(dāng)?shù)姆绞椒椒◣椭鷮W(xué)生理解植樹問題的本質(zhì)，進(jìn)而真正有效地建構(gòu)模型。如俞老師教學(xué)“植樹問題”片段：

（一）借助幾何直觀，理解模型

20÷5=4（棵）

師問：是否同意4棵（引導(dǎo)學(xué)生思考質(zhì)疑）

讓學(xué)生動(dòng)手在線段上“種樹”

師再帶領(lǐng)全班同學(xué)一起在線段的點(diǎn)上“種”上了5棵樹，并列出算式：20÷5=4 4+1=5

請(qǐng)同學(xué)們比較這兩個(gè)題目，它們相同嗎？有什么不同？

生：第一題的幾段是平均分

師：什么是段？

生：段是兩棵樹之間的部分。

師：第二題也是平均分，只不過種樹時(shí)我們是把樹種在什么地方的？

生：點(diǎn)上

師：對(duì)，種樹時(shí)，樹是種點(diǎn)上的（板書：點(diǎn)）

師：那點(diǎn)和段有什么不同？一段有幾個(gè)點(diǎn)？兩段有幾個(gè)點(diǎn)？點(diǎn)和段有什么關(guān)系？三段、四段、十段呢？

經(jīng)過老師的追問和點(diǎn)撥，學(xué)生總結(jié)出：“段+1=點(diǎn)”這一關(guān)系

教師引導(dǎo)學(xué)生思考質(zhì)疑，出現(xiàn)不同想法將本課推向高潮，這也正是知識(shí)的生長點(diǎn)，即第二道的植樹問題相比原來的除法到底有何不同呢？由于數(shù)學(xué)問題的抽象性，許多學(xué)生無法快速準(zhǔn)確的把握植樹問題的本質(zhì)，明晰不同。這時(shí)，俞老師借助幾何直觀，首先把20米長的路抽象成一條線段，再讓學(xué)生親自在線段上“種”樹，在“種”樹的過程中，學(xué)生已然親自感受到“種”樹是種在點(diǎn)上，是隔一段在段的點(diǎn)上種一棵，而不是一段一棵；在學(xué)生已經(jīng)有所感知但還有點(diǎn)模糊不清時(shí)，俞老師又一次讓學(xué)生觀察圖形，徹底理清什么是段？什么是點(diǎn)？這一過程讓學(xué)生明白了植樹問題中的間隔其實(shí)就是“段”，種的樹就是線段中的“點(diǎn)”，明白了植樹問題的本質(zhì)，就是段與點(diǎn)之間的關(guān)系，最后總結(jié)出：“段+1=點(diǎn)”，進(jìn)而建構(gòu)起植樹問題的一般模型，即“間隔數(shù)+1=棵數(shù)”。整個(gè)過程，學(xué)生親身參與、思考、發(fā)現(xiàn)，直觀易懂，深入本質(zhì)，在頭腦中有效建構(gòu)模型。

（二）運(yùn)用變式對(duì)比，豐富模型

植樹模型除了“間隔數(shù)+1=棵數(shù)”即“段+1=點(diǎn)”這一模型之外，還有兩種特殊的模型，即一端栽一端不栽和兩端都不栽。俞老師教學(xué)片段如下：

師：解決了剛剛的植樹問題，知道了植樹問題是研究平均分的“點(diǎn)”，現(xiàn)在問題又來了，某某同學(xué)扛著5棵數(shù)準(zhǔn)備去種，突然發(fā)現(xiàn)其中一端被一棟房子擋住了，怎么辦？

生：剩下一棵，帶回來

從圖上看就是，其中一端的一個(gè)點(diǎn)不種，剛好一段一個(gè)點(diǎn)，一一對(duì)應(yīng)

總結(jié)：一端栽一端不栽是“段=點(diǎn)”

師：某某同學(xué)也扛著5棵數(shù)去種，兩端都被房子擋住了，怎么辦？

生：兩頭都不種，只種3棵就夠了

從圖上看就是，一段一個(gè)點(diǎn)，最后一段不能加點(diǎn)

總結(jié)：兩端都不栽是“段-1=點(diǎn)”

植樹模型之豐富和復(fù)雜，有些老師考慮到學(xué)生接受量的問題，一節(jié)課只教學(xué)第一個(gè)模型，扎實(shí)基礎(chǔ)，這無可非議。但為了讓學(xué)生能系統(tǒng)地掌握知識(shí)，靈活準(zhǔn)確地運(yùn)用模型，在合理選擇教學(xué)方法，保證教學(xué)質(zhì)量的情況下，大部分老師會(huì)將這三種情況整合，而俞老師也是這樣設(shè)計(jì)的。但這三種情況俞老師又不像大部分老師一樣并列著教。因?yàn)椋?0米長的路旁植樹，兩端都不栽或一端栽一端不栽根本不符合實(shí)際，除非碰到一些特殊的情況導(dǎo)致一端不能栽或兩端都不能栽。所以俞老師從生活實(shí)際出發(fā)，將一般模型（兩端都栽）進(jìn)行改變，一頭被房子擋住了，兩頭都被房子擋住了，怎么辦？根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，加之前面已經(jīng)建構(gòu)好的模型——兩端都栽是“段+1=點(diǎn)”，學(xué)生借助圖形可以很容易地就理解并總結(jié)出：一端栽一端不栽是“段=點(diǎn)”即“間隔數(shù)=棵數(shù)”，而兩端都不栽則是“段-1=點(diǎn)”即“間隔數(shù)-1=棵數(shù)”，進(jìn)而豐富了植樹模型，方便學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識(shí)。

三、解決實(shí)際問題，活用模型

數(shù)學(xué)來源于生活，也將用于生活。新課程理念強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)教學(xué)要從學(xué)生已有的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程。真正成功的建模是以學(xué)生能靈活運(yùn)用模型為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的。因此，植樹模型的真正建構(gòu)，需要把植樹問題延伸到生活中去，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)比分析，真正把握問題的本質(zhì)，從而靈活地運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型解決問題。這是幫助學(xué)生有效建模的重要環(huán)節(jié)。如俞震強(qiáng)老師“植樹問題”教學(xué)片段：

師：除了植樹人把樹植在點(diǎn)上之外，還有什么人把什么事情也是放在平均分的點(diǎn)上的？

生：每隔10厘米放一個(gè)杯子，工地上工人打樹樁，每隔幾米一盞路燈，縫扣子，鋸木頭等等

師引導(dǎo)分析：同學(xué)們說的那么多生活問題，什么是段？什么是點(diǎn)？屬于哪一模型？

解決問題

（一）基礎(chǔ)鞏固（正向套用模型）

例：在一條全長2km的街道兩旁安裝路燈（兩端都要裝），每隔50m安一盞。共裝幾盞？

（二）提升拓展（逆向活用模型）

例：同濟(jì)橋的一邊，每隔10米有一盞路燈（兩端都有），一共有13盞燈。同濟(jì)橋有多長？

上述過程，俞老師通過“還有什么人做什么事，也是放在平均分的點(diǎn)上的？”這一極具思維含量的問題，抓住植樹模型的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生思考尋找生活中的植樹問題，深刻體會(huì)生活中的植樹問題形形色色。學(xué)生唯有抓住其本質(zhì)，抽象出每一具體問題中的“段”與“點(diǎn)”，才能順利地運(yùn)用植樹模型來解決生活問題。這樣讓學(xué)生充分溝通數(shù)學(xué)與生活間的聯(lián)系，拓寬學(xué)生的思路，培養(yǎng)了學(xué)生的思維，使學(xué)生更加深刻地理解“點(diǎn)”與“段”之間的內(nèi)在關(guān)系，真正有效地建構(gòu)植樹模型。

建模在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要，有效的建模能幫助學(xué)生真正體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。但建模不是簡(jiǎn)單的告訴學(xué)生公式法則，解題步驟，讓學(xué)生死記硬背，生搬硬套。真正有效的建模要抓住模型的本質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷模型建構(gòu)的過程，進(jìn)而理解模型，掌握模型，最后，靈活地運(yùn)用模型解決問題。