算子幾何-算術平均值不等式的推廣

宋 園

（滁州職業技術學院，安徽滁州 239000）

1 引言

用B（H）表示可分Hilbert空間H上所有線性算子生成的代數.設自伴算子A∈B（H），如果對于任意給定的x∈H，都有（Ax，x）≥0，則 A 稱為是正的.設 A，B∈B（H）且 A，B 為自伴算子，B-A≥0表示 B-A 為正算子，記為B≥A，BA＞0表示B-A為可逆正算子，記為B＞A.

設A，B為可逆正算子，定義A，B的幾何均值A#B和相對算子熵為S（A|B）分別為[1-3]：

設 a，b＞0，眾所周知，有

這是著名的幾何-算術平均值不等式.這個不等式在有界線性算子所組成的非交換代數上的形式如下[3]：設A，B為可逆正算子，則

最近，Zou和Jiang在文獻[4]中得到了不等式（1）的一個改進：

其中

關于不等式（2）的一些應用和變形可參見文獻[5，6].本文將給出不等式（2）的一個推廣.

2 主要結果

這里將給出本文的主要結果及其證明過程，為了得到結果，需要如下的引理.

引理 2.1[7]設 a，b＞0，當 0≤x≤1 時，

對于一般的正算子B，可令B=B+εI，重復上面的過程，然后再令ε趨于零.這就完成了證明.

注2.1 假設A為可逆正算子，令C=A1/2，由定理2.2可得不等式（2），所以定理2.2是不等式（2）的一個推廣.