Zygmund型空間上的加權微分復合算子

秦 春

（懷化學院初等教育部，湖南懷化 418008）

1 引言

設D為復平面C上的單位圓盤，H（D）表示D上的全純函數全體，S（D）表示D上的全純自映射全體.對任意的正實數α，定義

稱為Zygmund-型空間.易知Zygmund-型空間在范數

下為Banach空間.當α=1時，Z1=Z稱為經典的Zygmund空間.

令 φ∈S（D），u∈H（D），定義 H（D）上的加權微分復合算子為：

Cowen.C，Maccluer.B在文[1]中研究了解析函數空間上復合算子Cφ的相關內容.葉善力在文[2]中研究了經典的Zygmund空間上的微分復合算子DCφ的有界性.劉超、侯曉陽在文[3]中研究了經典的Besov空間到經典的Zygmund空間上的加權復合算子Cφ，u的有界性和緊性.陸恒與張太忠在文[4]中研究了α-Zygmund空間到β-Bloch空間上的加權復合算子Cφ，u的有界性和緊性.陳偉與許毅在文[5]中研究了經典的Besov空間到Zygmund-型空間上的加權微分復合算子的有界性和緊性.劉永民和于燕燕在文[6]中研究了經典的Hardy空間到Zygmund-型空間上的加權微分復合算子的有界性和緊性.更多不同空間上加權微分復合算子的相關結果見文[7-13].

2 主要結果

定理 1 令 0＜α，β＜∞，n∈N*，u∈H（D），φ∈S（D），則為有界算子的充分必要條件是

定理 2 令 0＜α，β＜∞，n∈N*，u∈H（D），φ∈S（D），則∶Zα→Zβ為緊算子的充分必要條件是為有界算子，并且

3 定理的證明

在證明之前，給出所需引理和相關推論.

引理 1[14]如果 f∈Bα，α＞0，那么

引理 2 如果 f∈Zα，那么 f′∈Bα.

推論 1 如果 f∈Zα，α＞0，那么

引理 3[15]設 α＞1，β＞1，u，φ∈H（D），且如果

那么

定理2的論證：首先證明充分性.對Zα中任意有界序列｛fk｝，有fk在D的緊子集上一致收斂于0.由引理4可知，只23需證明‖Dnφ，ufk‖β→0，k→∞.下面不妨設‖fk‖α＜1.

由（4）式、（5）式及（6）式可知，?ε＞0，?δ∈（0，1），s.t.，當 0＜|φ（z）|＜1 時，有：

從而｛fk（z ｝）在D的緊子集上一致收斂于0.結合引理2與（17）式，得到：

故

從而（4）式得證.對（5）式和（6）式，分別取（12）式和（13）式定義檢測函數，采用同樣的方法，可知結論成立.