非線性Pochhammer-Chree方程解的研究

邱立軍（江蘇聯合職業技術學院鹽城機電分院，江蘇鹽城 224000）

1 引言

微分方程在科學研究和工程應用中得到廣泛的使用，可以通過方程的解來描述不同的現象結果，但由于微分方程的計算過程中往往會忽視大部分有用的信息，從而導致不能準確描述實際現象，例如彈力力學[1].而非線性方程則可以通過偏微分與誤差估計等方式求出精確解，在流體力學、空間離子等領域具有重大的應用[2，3].例如，在非壓縮或接近條件下，描述彈性桿的縱向形變波傳播可用非線性的Pochhammer-Chree方程（非線性P-C方程）表示為utt-uttxx-當p=3或5時，它表示了質點兩種不同結構[1].特別當p=3時，即

表示的縱向形變孤立波相互作用是非彈性的.此外，求非線性方程的精確解也逐漸出現許多方法，如（G′/G）方法、F-展開法、齊次平衡法、反散射方法、EXP-函數法等等[4-8].EXP-函數法已經被廣泛應用于求解非線性發展方程.本文通過運用EXP-函數法求解方程（1），包括孤波解、周期解，從而豐富了EXP-函數法在求解非線性方程的精確解中的應用.

2 EXP-函數法求解的方法簡述

EXP-函數法求解非線性偏微分方程的一般步驟如下：考慮非線性偏微分方程

其中x，t為變量，u為因變量.為了求方程（2）的行波解，作變換

其中c為待定常數.將式（3）代入方程（2）中，可將（2）式化為一個常微分方程

假設方程（2）的解 u（ξ）可以表示為 exp（ξ）的有限冪級數，即

其中f，g，p，q是待定正整數；an，bm是待定常數.為了確定f和p的關系，平衡方程（4）的非線性項和最高階偏導數項的最高次；同理平衡方程（4）的非線性項和最高階偏導數項的最低次，便得到g和q的關系.再把f和p，g和q取一些特殊值，就可以將方程（4）的左邊化為 exp（nξ）的多項式.再令含 exp（nξ）（其中 n=0，±1，±2，…）項的系數為零，得到相應的一組代數方程組，應用數學軟件Maple求解這個代數方程組，可求出待定系數an，bm（n，m=0，±1，±2，…）.將這些結果代入式（5）便得到方程（2）用exp（nξ）表示的行波解的一般形式.

3 非線性Pochhammer-Chree方程的精確解

利用EXP-函數法求解方程（1）的精確解，將式（3）代入方程（1）得到下列常微分方程

設方程（6）的解可以表示為式（5）的形式，則為了確定 f，g，p，q 之間的關系，首先平衡（6）式中 u（4）和 u2u″的最高次，由（5）式可得

其中 Ai是常數，比較（7）和（8）式，令 f+5p=3f+3p，得 p=f.

再平衡（6）式中 u（4）和 u2u″的最低次，由（5）式可得

其中 Bi是常數，比較（9）和（10）式，令 -（g+5q）=-（3g+3q），得 g=q.

3.1 情形Ⅰ

令 p=f=1，q=g=1，則由（5）式，得

其中 ai，bi為待定常數.將（11）式代入方程（6），并利用 Maple計算得到

3.2 情形Ⅱ

圖1 兩雙曲函數解u23的波形圖（其中 c=0.5，-10≤t≤15，-2≤x≤2）

圖2 兩雙曲函數解u23的波形圖（其中 c=1.5，-6≤t≤2，-6≤x≤2）

圖3 兩雙曲函數解u29的波形圖（其中 3≤t≤9，-9≤x≤15）

圖4 兩雙曲函數解u45的波形圖（其中 a2=0.5，-8≤t≤5，-5≤x≤5）

當參數 b0滿足（54）時，解（51）為兩個孤立波解

3.3 情形Ⅲ

令 p=f=3，q=g=3，則由（5）式，得

4 結論

利用EXP-函數法結合齊次平衡法原理，并借助數學軟件再次研究了p=3時的非線性Pochhammer-Chree方程.本文首先求出了方程的指數函數解，再將其中一些參數取特殊值，就可以把指數函數解化為雙曲函數解.通過比較，解（42）、（43）、（68）、（69）的結構與文獻[1]、[4]中的解的結構相同；同時還出現了大量與現有文獻中解的結構不相同的解，表明本文不僅進一步證明了文獻中精確解的有效性，而且豐富了相關文獻中解的類型.