基于統(tǒng)計(jì)學(xué)原理的非壽險(xiǎn)精算應(yīng)用探討

楊 鑫， 藺 琳

（大連財(cái)經(jīng)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧大連 116000）

1 引言

非壽險(xiǎn)精算是建立在風(fēng)險(xiǎn)理論基礎(chǔ)上的一門現(xiàn)代精算學(xué)技術(shù)，是以現(xiàn)代數(shù)學(xué)和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)為基礎(chǔ)，結(jié)合經(jīng)濟(jì)學(xué)、保險(xiǎn)學(xué)和心理學(xué)等[1]，對非壽險(xiǎn)經(jīng)營活動(dòng)的各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行數(shù)量分析和研究的學(xué)科，其主要內(nèi)容包括預(yù)測損失趨勢和分布、計(jì)算保費(fèi)、提取準(zhǔn)備金以及再保險(xiǎn)安排等方面的理論、方法和技術(shù)[2，3].其中非壽險(xiǎn)精算損失，歸根結(jié)底是為了根據(jù)損失厘定保費(fèi)、提取準(zhǔn)備金和安排再保險(xiǎn).在保險(xiǎn)理賠的過程中，保險(xiǎn)人主要關(guān)注賠款責(zé)任，而賠款人則關(guān)注保險(xiǎn)標(biāo)的具體損失情況，實(shí)際損失計(jì)算越精確對于雙方均越有利，最終按照保險(xiǎn)合同的約定就能確定賠款額[4]26-75.同時(shí)，從某種意義上理解非壽險(xiǎn)精算學(xué)可以被理解為數(shù)學(xué)和概率統(tǒng)計(jì)在非壽險(xiǎn)模型中的應(yīng)用，其中統(tǒng)計(jì)模擬方法、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、多元分析理論等都是它的數(shù)理基礎(chǔ)[5]140-215.本文綜述了非壽險(xiǎn)精算模型中統(tǒng)計(jì)學(xué)原理的具體應(yīng)用，為推進(jìn)非壽險(xiǎn)精算科學(xué)發(fā)展做些探討.

2 非壽險(xiǎn)精算的統(tǒng)計(jì)學(xué)理論

2.1 損失理論分布

損失次數(shù)和損失額的大小是決定損失的關(guān)鍵，但它們是不確定的，常用隨機(jī)變量來表示.這樣就可以通過研究這些隨機(jī)變量的概率分布及其數(shù)字特征來研究損失的性質(zhì).在非壽險(xiǎn)精算中用損失次數(shù)理論分布包括泊松分布二項(xiàng)分布[P和負(fù)二項(xiàng)分布[P（X=x=0，1，2，…）]，損失額理論分布包括對數(shù)正態(tài)分布、帕累托分布、伽瑪分布

2.2 損失分布擬合與檢驗(yàn)

損失分布擬合是實(shí)現(xiàn)損失數(shù)據(jù)優(yōu)化的重要手段之一，首先需要對觀測到的損失數(shù)據(jù)進(jìn)行編制，其編制情況主要依據(jù)與損失經(jīng)驗(yàn)分布情況，根據(jù)分布的形態(tài)特點(diǎn)選擇與其最相近的分布理論進(jìn)行擬合，最終確定與損失經(jīng)驗(yàn)分布擬合的理論分布.

非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)是擬合優(yōu)度檢驗(yàn)中最常用的是一種，一般選用χ2檢驗(yàn).χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的原假設(shè)是H0：損失數(shù)據(jù)服從某個(gè)理論分布.為了檢驗(yàn)H0，先把觀測到的數(shù)據(jù)分成n組.選用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量其中Q是第i組中觀測到的實(shí)際頻數(shù)，Ei是根據(jù)假設(shè)的理論分布計(jì)算出來的理論頻數(shù).在假設(shè)H0成立的情況下，統(tǒng)計(jì)量χ2服從自由度為n-k-1的χ2分布.k為參數(shù)個(gè)數(shù).

3 統(tǒng)計(jì)學(xué)在非壽險(xiǎn)精算損失分布中的具體運(yùn)用

3.1 隨機(jī)模擬方法在損失分布中的應(yīng)用

在非壽險(xiǎn)精算中應(yīng)用隨機(jī)模擬方法的基本思想是為求解某個(gè)精算問題，首先構(gòu)造一個(gè)使所求問題的解正好是該模型的參數(shù)或相關(guān)量的概率模型.然后，進(jìn)行模擬統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn).隨機(jī)模擬方法在非壽險(xiǎn)精算實(shí)務(wù)中主要用于對損失隨機(jī)變量的模擬.下面分別研究損失額分布和損失次數(shù)分布的隨機(jī)模擬.

3.1.1 損失額分布的隨機(jī)模擬

利用均勻分布隨機(jī)數(shù)，可以模擬各種其他分布的隨機(jī)數(shù).如：模擬 N（3，4）分布的隨機(jī)數(shù)，可以先生成[0，1]上均勻分布隨機(jī)數(shù)μ1=0.90988，查正態(tài)分布表得φ（1.34）=0.90988，則z1=1.34，于是x1=5.68就是所求的正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù).在非壽險(xiǎn)精算中，對數(shù)正態(tài)分布等連續(xù)隨機(jī)變量常用來作為損失額的數(shù)學(xué)模型.其他的分布也可以以此類推來生成所需的隨機(jī)數(shù).

3.1.2 損失次數(shù)分布的隨機(jī)模擬

在非壽險(xiǎn)精算中，通常用泊松分布、負(fù)二項(xiàng)分布等離散的隨機(jī)變量來表示損失次數(shù).給出一組均勻分布隨機(jī)數(shù)列 0.68369，0.10493，0.81889，0.81953，0.35101，0.16703，0.83946，0.35006，0.20226，…，現(xiàn)要求生成 q=0.5 的泊松分布隨機(jī)數(shù).先計(jì)算得e-0.5=0.60653.因?yàn)?.68369＞0.60653，而 0.68369*0.10493=0.07174＜0.60653，所以取 x1=1；因?yàn)?.81889＞0.60653，0.81889*0.81953=0.67110＞0.60653，0.81889*0.81953*0.35101=0.23556＜0.60653，所以取 x2=2；因?yàn)?.16703＜0.60653，所以取x3=0；…以此類推，從而求出泊松分布隨機(jī)數(shù).其他的分布隨機(jī)數(shù)也可以按此進(jìn)行計(jì)算.

3.2 參數(shù)估計(jì)在損失分布中的應(yīng)用

損失隨機(jī)變量的數(shù)字特征是由損失理論分布的參數(shù)來反映的.損失分布擬合的前提就是運(yùn)用損失的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)來估計(jì)損失理論分布的參數(shù)[7].根據(jù)統(tǒng)計(jì)理論，總體分布便是損失分布理論，總體參數(shù)就是待估參數(shù)，而樣本觀測值就是經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，因而計(jì)算各分布中參數(shù)的值就是計(jì)算損失分布關(guān)鍵.

3.2.1 矩法估計(jì)與區(qū)間估計(jì)

某保險(xiǎn)公司給出一組賠款額的分組數(shù)據(jù)（見表1），分別用正態(tài)分布和伽瑪分布擬合分組數(shù)據(jù)，所需參數(shù)便可以求出.另外置信度為95%的置信區(qū)間也可以給出.

1）正態(tài)分布擁有兩個(gè)待估參數(shù)，所以計(jì)算樣本的一階距和二階距為：

表1 某保險(xiǎn)公司賠款額的頻數(shù)和頻率分布

3）樣本的平均數(shù)為xˉ=3314.8，xˉ2=24700800.于是由下便可得樣本標(biāo)準(zhǔn)差：

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可以得到z0.025=1.96.所以Δxˉ==250.3353，由此得到μ的置信度為95%的置信區(qū)間為（3064.5220，3565.0780）.

3.2.2 極大似然估計(jì)

根據(jù)某非壽險(xiǎn)公司的100 000份機(jī)動(dòng)車輛險(xiǎn)損失頻率和累積頻率來計(jì)算泊松分布的參數(shù)q的極大似然估計(jì)值（見表2）.

表2 某非壽險(xiǎn)公司的機(jī)動(dòng)車輛險(xiǎn)損失頻率和累積頻率

3.3 假設(shè)檢驗(yàn)在損失分布中的應(yīng)用

某公司2003年的費(fèi)率，是以賠款頻率為1%和平均賠款額為980元為基礎(chǔ)計(jì)算的.但在2007年該公司承擔(dān)了1 000份保單，在保單有效期間，共發(fā)生索賠15次，平均賠款為989.70元.顯而易見，平均賠付額與原來厘定的標(biāo)準(zhǔn)很相近，但是索賠次數(shù)卻高達(dá)1.5%，比當(dāng)初的估計(jì)量高出50%.誤差太大了，人們質(zhì)疑當(dāng)初厘定的標(biāo)準(zhǔn)是否合理.此時(shí)，便可運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的假設(shè)檢驗(yàn)對這一現(xiàn)象進(jìn)行推斷分析，幫助保險(xiǎn)公司做出正確的判斷.

設(shè)原假設(shè)H0為索賠頻率f=0.01，在原假設(shè)成立的條件下，由前面所述，2007年承擔(dān)的1 000份保單中，索賠次數(shù)這個(gè)隨機(jī)變量服從均值為10的泊松分布，于是可以計(jì)算出發(fā)生15（或更多）次索賠的概率為：P（N≥…=0.083.這說明，如果基于10%的賠款率制定的費(fèi)率就顯然偏低了.因?yàn)樘热暨@樣，公司大約每12年就會(huì)有15次或更多次的索賠事件.因此通過假設(shè)檢驗(yàn)，否定了原假設(shè)的正確性，得出結(jié)論是不應(yīng)該將0.01作為制定保費(fèi)的計(jì)算基礎(chǔ)，即索賠頻率應(yīng)該更高一點(diǎn)，只有這樣，才能保證公司的財(cái)務(wù)穩(wěn)定.

4 結(jié)論

目前，我國乃至整個(gè)世界的保險(xiǎn)業(yè)都面臨著創(chuàng)新，將會(huì)有越來越多的數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)知識被合理地運(yùn)用其中.非壽險(xiǎn)精算學(xué)在技術(shù)和理論上仍然落后于壽險(xiǎn)精算學(xué)，這主要是因?yàn)榉菈垭U(xiǎn)精算問題涉及的不定因素非常多、計(jì)算時(shí)出現(xiàn)的誤差更大、定量的分析特別困難，所以非壽險(xiǎn)精算發(fā)展比較困難，同時(shí)它發(fā)展比較晚，所以整套理論還不夠完善.為保證保險(xiǎn)公司和投保人利益的合理、公正，本文通過損失理論分布模型，分別從損失次數(shù)和損失額兩方面計(jì)算出所需的隨機(jī)數(shù)，并運(yùn)用貝葉斯方法對損失后驗(yàn)分布模型進(jìn)行更精確的修改，從而得到更精確的損失結(jié)果.