磁-腔量子電動力學系統中壓縮驅動導致的兩體與三體糾纏*

周英 謝雙媛 許靜平

1) (同濟大學物理科學與工程學院， 先進微結構材料教育部重點實驗室， 上海 200092)

2) (臺州學院電子與信息工程學院， 臺州 318000)

本文提出了一種通過壓縮驅動放置一個YIG 小球的腔量子電動力學(QED)系統產生兩體和三體糾纏的理論方案. 微波腔場與鐵磁共振(FMR)模和靜磁(MS)模的強耦合導致腔內光子、FMR 模和MS 模之間互相產生糾纏. 穩態情況下， 腔內光子、FMR 模和MS 模之間可以產生三體糾纏， 其三體糾纏的最小剩余共生糾纏度隨非線性增益的增加而增大. 進一步研究發現， 該三體糾纏與MS 模式的耗散系數有關， 最小剩余共生糾纏隨MS 模耗散系數的減小而增大. 同時還發現， 壓縮驅動導致的三體糾纏對溫度不敏感， 具有很好的魯棒性. 結果表明磁-腔QED 系統是研究宏觀量子現象的一個強有力平臺.

1 引 言

強耦合與超強耦合是腔量子電動力學(cavity quantum electrodynamics， 腔QED)的研究熱點，其可以在單粒子水平上研究光與粒子之間的相互作用[1]， 在量子信息科學、量子計量等方面具有廣闊的應用前景[2-4]. 基于強耦合與超強耦合的腔QED 系統， 人們可以產生非經典光源[5，6]、超靈敏探測和控制[7]、超輻射現象[8，9]以及光子阻塞效應[10-12]等. 近年來， 釔鐵石榴石(yttrium iron garnets， YIG)材料因出色的亞鐵磁性質而備受關注.YIG 材料的居里溫度為559 K， 因此， 其在低溫[13-15]和室溫[16]下皆呈現出鐵磁性. 同時， YIG 材料不僅具有較高的自旋密度(約為2.1 × 1022cm—3)， 而且自旋之間存在較強的交換相互作用， 這使得集體自旋激發具有較低的耗散率(約為1 MHz). 已有研究表明， YIG 小球中波矢為零的Kittel 模[17]可與微波腔光子實現強耦合[13-16，18，19]和超強耦合[20，21]， 從而導致腔磁極化子. 由于腔內光子與YIG小球之間的強耦合使不同載體之間的信息傳遞成為可能， 故而促發了一系列有趣的研究， 例如： 雙穩態[22]、腔自旋電子學[18，23]、磁暗態模[24]、以及磁誘導透明[25]等. 同時， 可磁控的慢光[26]以及Kittel模與單個超導比特(qubit)之間的耦合[27]也正在深入研究.

有關YIG 材料糾纏的研究是近幾年一個重要的研究方向. Li 等[28]在放置一個YIG 小球的諧振腔磁力機械系統中， 由磁場直接驅動YIG 小球， 腔內光子和磁子通過磁偶極相互作用耦合， 磁子和聲子則是通過磁致伸縮相互作用耦合. 在穩態情況下， 該系統實現了腔內光子、磁子和聲子的三體糾纏. 同時， 他們還發現， 在腔中放置兩個YIG 小球時， 也可利用YIG 小球內磁子和聲子之間磁致伸縮提供的非線性作用， 實現兩個YIG 小球內磁子間的糾纏[29]. 之后， Zhang 等[30]提出， 磁晶各向異性產生的Kerr 非線性作用可以替代YIG 小球因磁致伸縮而產生的非線性效應. 當采用藍失諧的微波場驅動磁-腔QED 系統時， 可以實現兩個相同YIG 小球內磁子間的糾纏. Nair 和Agarwal[31]則提出， 即使磁-腔QED 系統沒有任何非線性， 采用壓縮真空場[32，33]注入的方式， 同樣可以產生非線性效應， 使兩個相同的YIG 小球內磁子之間產生很大的糾纏.

本文考慮放置一個YIG 小球的磁-腔QED 系統， 以腔內光子、鐵磁共振(ferromagnetic resonance， FMR)模和靜磁(magnetostatic， MS)模作為研究對象， 采用泵浦光注入系統， 利用參量下轉換使系統產生非線性， 從而使腔模壓縮， 探討產生糾纏的理論方案. 在該方案中， YIG 小球的集體自旋激發(FMR 模)， 及其頻率附近的MS 模[19，34]同時與腔內光子產生強耦合. 通過光參量放大過程壓縮驅動腔模， 使腔內光子、FMR 模和MS 模之間互相產生糾纏. 在一定的參數范圍內， 它們還可以產生三體糾纏. 進一步研究發現， 糾纏的強弱與光參量放大的非線性增益系數和MS 模的耗散系數有關， 同時， 壓縮驅動導致三體糾纏對溫度不敏感，具有很好的魯棒性.

2 理論模型

本文采用文獻[19]的微波腔. 在微波腔中產生TE102模式， 為了使YIG 小球與微波腔場之間產生強耦合， 將YIG 小球放置在矩形微波腔短邊(y方向)的中心處(如圖1(a)所示). 這是因為TE102模式在這個位置具有較強的微波磁場， 且與微波腔短邊平行. 同時， 外加一個x方向的靜磁場， 則該靜磁場與YIG 小球處的微波磁場垂直. 調節靜磁場可使YIG 小球中的磁子與微波腔的TE102模式共振. YIG 小球內大量自旋的集體運動表現為鐵磁共振模(FMR 模)， 在FMR 模共振頻率附近還存在另一種集體自旋激發的模式， 即為靜磁模(MS模)[19]. FMR 模和MS 模都是集體自旋激發的長波模式， 其中FMR 模是均勻磁化的Kittel 模[13-16]，而MS 模則是非均勻磁化模， 其磁化情況與樣本尺寸有關.

根據腔量子電動力學理論， 該系統的哈密頓量可寫為

圖1 (a) 磁-腔QED 系統示意圖. YIG 小球位于腔中短邊中心處， 該處微波腔的TE102 模式的磁場沿y 軸方向， 靜磁場沿x 軸方向； (b) 利用Comsol 模擬微波腔TE102 的網格劃分示意圖； (c) 微波腔TE102 模式的磁場方向和磁場強度Fig. 1. (a) Schematic diagram of a magnetic-cavity QED system. A YIG sphere is located at the center of one short edge in the cavity， where magnetic field of microwave cavity mode TE102 is along y-axis direction， and static magnetic field is along x-axis direction； (b) schematic diagram of grid of microwave cavity mode TE102 by Comsol simulation； (c) magnetic field direction and magnetic field intensity of the microwave cavity mode TE102.

這里ωc表示腔模的頻率，a(a?) 表示腔模中微波光子的湮滅(產生)算符，g為朗德g因子，μB為玻爾磁子，和B(MS)分別表示YIG 小球所處位置FMR 模和MS 模的有效磁場. FMR 模的集體自旋算符， MS模的集體自旋算符其中為FMR 模和MS 模的升降算符. 利用Holstein-Primakoff 變換[35]可以將磁子的集體自旋算符用磁子湮滅(產生)算符表示， 即

其中為FMR(MS)模的總自旋數，為FMR 模的湮滅(產生)算符，為MS 模的湮滅(產生)算符. 對于低激發情況，可以得到以 及令分別表示FMR 和MS模的角頻率表示腔內光子與FMR(MS)模的耦合強度. 利用旋波近似， 哈密頓量(1)式可以寫成

考慮一束角頻率為ω0、拉比頻率為εp的微波場沿x方向入射. 另一束角頻率為 2ω0的泵浦場沿y方向驅動一塊二階非線性晶體， 利用二階非線性過程產生壓縮的腔模， 其光參量放大的非線性增益系數為Ω. 此時， 系統的總哈密頓量可寫成

這里腔模中的光子、FMR 模和MS 模的湮滅(產 生)算符滿 足對微波場頻率ω0作旋轉坐標變換， 系統的哈密頓量可簡化為

其中，Δc=ωc?ω0為腔模的失諧量，Δm1=ωm1?ω0為FMR 模的失諧量，Δm2=ωm2?ω0為MS 模的失諧量.

根據量子朗之萬方法， 可以得到一組算符的耦合方程組：

這里κa, κ1和κ2分別為微波腔、FMR 模和MS模的損耗，則表示輸入的熱噪聲，其平均值為零， 并且具有如下關系[36]：

線性化方程組(5)式—(7)式， 即將算符寫成O=〈O〉+δO(O=a,m1,m2)， 可以得到算符期望值的方程組：

下標Re 表示實部， Im 表示虛部. 通過求解上述方程組， 可以得到穩態期望值如下：

采用22 mK 時的實驗參數[19]，=10.306 GHz，κa/2π=2.4 MHz，κ1/2π=1.3 MHz ，κ2/2π=3.3 MHz，g1/2π=7.5 MHz ，g2/2π=8.3 MHz ，ωm1/2π=10.306 GHz，ωm2/2π=10.265 GHz . 其中表明腔內光子 與FMR模和MS 模之間的耦合為強耦合. 對磁-腔QED 系統注入一束拉比頻率εp=γ(γ/2π= 1.0 MHz) 的微波光場和另一束非線性增益Ω=1.5γ的泵浦光， 系統的平均光子數、FMR 模的平均磁子數和MS 模的平均磁子數如圖2 所示. 顯然， 在Δc≈0 ，Δm1≈20γ附近， 微波腔內平均光子數、FMR 模和MS 模的平均磁子數出現極大值， 其物理原因可以通過分析(14)式的極值點獲得. 取P=0 且忽略所有耗散項， 可以得到(14)式的極值點位于Δc=0 ， 且當g1=g2，Δm1=?Δm2， 即Δm1≈(ωm1?ωm2)/2≈20γ時， 驅動場與磁-腔QED 系統的耦合最強， 從而可以觀察到較多的光子數和磁子數.

3 磁-腔QED 系統中的兩體糾纏

這里研究該系統中的兩體糾纏. 忽略二階漲落項， 腔內光子和兩個磁模的正交漲落項可由下式給出：因此， 描述系統正交漲落項的線性朗之萬方程(δX,δY,δx1,δy1,δx2,δy2)可以寫成：

圖2 (a) 平均光子數、(b) FMR 模的平均磁子數和 (c) MS模的平均磁子數隨失諧量 Δ m1 和 Δ c 的變化關系， 其中γ/2π=1.0 MHz . 取 ε p =γ ， Ω =1.5γ ， 其他參數已在正文中給出Fig. 2. (a) Average photon number， (b) FMR mode average magnon number， and (c) MS mode average magnon number versus detunings Δ m1 and Δ c ， where， γ/2π=1.0 MHz . We take ε p =γ ， Ω =1.5γ . Other parameters are given in the text.

以高斯噪聲為例， 系統量子漲落的穩態是連續變量的三模高斯態， 可以用6 × 6 的協方差矩陣V來描述， 定義為Vij=〈fi(t)fj(t′)+fj(t′)fi(t)〉/2(i,j=1,2,··· ,6).

一般地， 協方差矩陣V滿足Lyapunov 方程[37，38]，即

對于兩體糾纏， 負值度EN[39，40]定義為

這里，為協方差矩陣的最小辛矩陣特征值，是辛矩陣，其中，P1|2=diag(1,?1,1,1) ，V4是三體系統中任意兩體子系統的協方差矩陣.EN ＞0表示系統存在兩體糾纏.

利用(20)式計算了腔內光子-FMR 模， 腔內光子-MS 模和FMR 模-MS 模之間的兩體糾纏， 分別用Eam1，Eam2和Em1m2表示. 圖3(a)—圖3(c)分別表示Eam1，Eam2和Em1m2隨失諧量Δm1和Δc的變化關系， 系統參數與圖2 一致. 顯然， 腔內光子、FRM 模和MS 模之間均產生兩兩糾纏(Eij始終大于零，i,j=a,m1,m2). 比較圖3(a)和圖3(b)可知，Eam1與Eam2幾乎關于點(Δc≈0，Δm1≈20γ)對稱. 當驅動光和FMR 模共振， 和MS 模非共振時(即Δm1=0 )， 光子和FMR 模的糾纏最大. 當驅動光和MS 模共振， 和FMR 模非共振時(即Δm1≈40γ)， 光子和MS 模的糾纏最大. 同時，Eam1的最大值略大于Eam2的最大值， 這是因為FMR 模的耗散系數略小于MS 模的耗散系數. 如圖3(c)所示， 在Δc≈0，Δm1≈20γ附近， FMR 模-MS 模糾纏的負值度Em1m2出現極大值， 這是因為此時Δm1≈(ωm1?ωm2)/2≈20γ， FMR 模與MS 模具有相同的激發強度， 非線性效應最強， 從而導致該處負值度較大.

除了失諧量， 非線性增益系數也影響兩體糾纏. 取Δm1=23γ，Δc=?2.5γ， 腔內光子、FMR模和MS 模之間的兩體糾纏如圖3(d)所示， 其中橫坐標為非線性增益系數Ω. 當Ω=0 時(即只有線性驅動光)， 腔內光子、FMR 模和MS 模之間的兩體糾纏度皆為零， 表明在沒有非線性效應時， 系統不會產生兩體糾纏. 利用參量下轉換提供的非線性壓縮驅動腔模產生糾纏， 這與利用壓縮真空場[31]和磁晶各向異性的Kerr 材料[30]中的非線性產生糾纏的做法類似. 如圖3(d)所示， 兩體糾纏的負值度Eij隨非線性增益系數Ω的增加而增大.

4 磁-腔QED 系統中的三體糾纏

最后， 考慮該磁-腔QED 系統的三體糾纏. 度量三體糾纏的最小剩余共生糾纏[41，42]滿足：

圖3 兩體糾纏的負值度 (a) E am1 ， (b) E am2 和(c) E m1m2 隨失諧 量 Δ m1 和 Δ c 的變化關系. 其中 ε p =γ ， Ω =1.5γ . (d)負值度 E am1 (實線)、 E am2 (虛線)和 E m1m2 (點劃線)隨非線性增益 Ω 的變化. 其中 ε p =γ ， Δ c =?2.5γ ， Δ m1 =23γ . 其他參數與圖2 一致Fig. 3. Density plot of logarithmic negativity related to bipartite entanglement (a) E am1 ， (b) E am2 and (c) E m1m2 versus detunings Δm1 and Δ c ， where ε p =γ ， Ω =1.5γ . (d) Logarithmic negativity E am1 (solid)， E am2 (dashed)， and E m1m2 (dot-dashed) versus the nonlinear gain coefficient Ω ， we take ε p =γ ， Δ c =?2.5γ and Δ m1 =23γ . The other parameters are the same as in Fig.2.

圖4 (a) 不同非線性增益情況下， 三體糾纏的最小剩余共生糾纏 隨失諧量 Δ m1 的變化關系； (b) 最小剩余共生糾纏隨溫度T 的變化， 其中 ε p =γ ， Δ c =?2.5γ . 虛線、實線、點線和點劃線分別對應非線 性相互作用強度 Ω =1.65γ ， Ω =1.5γ ，Ω =1.0γ 和 Ω =0.5γ 的情況. 在圖4(b)中， 取 Δ m1 =23γ ， 其他參數與圖2 一致Fig. 4. (a) Tripartite entanglement in terms of the minimum residual contangle versus detuning Δ m1 ； (b) robust against temperature of the minimum residual contangle Where ε p =γ ， Δ c =?2.5γ . The dashed line， solid line， dotted line， and dash-dot line indicate nonlinear interaction strength Ω =1.65γ ， Ω =1.5γ ， Ω =1.0γ ， and Ω =0.5γ ， respectively. At the same time， we take Δ m1 =23γ for Fig. 4 (b). The other parameters are the same as in Fig. 2.

取Δc=?2.5γ， 圖4(a)給出了三體糾纏的最小剩余共生糾纏隨失諧量Δm1的變化關系. 顯然， 當Ω=0 時，=0 ， 系統不存在三 體糾纏.當Ω＞0 時，＞0 ， 非線性效應導致系統出現三體糾纏， 且在Δm1≈20γ附近存在極大值，表示具有最強的三體糾纏度. 這是因為該處驅動場與磁-腔QED 系統的耦合最強， 非線性效應也最強， 從而激發了最大的三體糾纏. 隨著非線性增益Ω的增加， 最小剩余共生糾纏的極大值也隨之變大. 取Δm1=23γ， 圖4(b)給出了三體糾纏隨溫度T的變化關系. 顯然， 最小剩余共生糾纏對溫度不敏感， 具有很好的魯棒性. 同時發現， 非線性增益Ω越大， 三體糾纏的魯棒性越好. 當Ω=1.5γ時，的溫度魯棒性可達到200 mK.同時還注意到， 在非線性增益系數Ω=0 時， 系統沒有非線性， 所以沒有糾纏. 當Ω＞0 時， 非線性效應導致三體糾纏的產生. 同時， 非線性導致的量子擾動和溫度導致的量子擾動相互干涉， 從而導致圖4(b)中出現一個小峰. 并且當T很小的時候，Ω導致的三體糾纏占主導， 當溫度增大到一定程度后， 熱擾動使三體糾纏度變小. 所以圖4(b)中最小剩余共生糾纏隨溫度的變化不是單調減小， 并且在溫度增大到一定程度后才出現顯著下降.

除了非線性激發強度， MS 模的耗散系數也是影響三體糾纏的重要因素之一. 如圖5 所示， 減小MS 模的耗散系數， 系統的最小剩余共生糾纏增大， 從而可以獲得更大的三體糾纏.

圖5 三體糾纏的最小剩余共生糾纏 隨失諧量Δm1和耗散系數 κ 2的變化關系； 設定 ε p =γ ， Ω =1.5γ ，Δc =?2.5γ ， 從左到右， κ 2 所取的數值分別為 1 .7γ ， 2 .1γ ，2.5γ ， 2 .9γ 以及 3 .3γ . 其他參數與圖2 一 致Fig. 5. Tripartite entanglement in terms of the minimum residual contangle versus detuning Δ m1 and dissipation rates κ 2 ， setting ε p =γ ， Ω =1.5γ and Δ c =?2.5γ ，the lines denote 1 .7γ ， 2 .1γ ， 2 .5γ ， 2 .9γ , and 3 .3γ forκ2 from left to right. The other parameters are the same as in Fig. 2.

5 結 論

本文提出一種利用新的非線性機制在磁-腔QED 系統中產生兩體和三體糾纏的理論方案. 該磁-腔QED 系統中只含有一個YIG 小球， 腔內光子耦合YIG 小球中集體自旋激發的FMR 模和MS 模， 通過注入泵浦光， 利用參量下轉換使系統產生非線性， 從而壓縮驅動腔模， 使系統產生糾纏.采用實驗可行的參數， 穩態情況下， 腔內光子、FMR模和MS 模之間互相實現兩體糾纏. 當關閉泵浦光的輸入(Ω=0 )， 系統不產生糾纏. 同時， 該穩態系統還可以實現三體糾纏， 度量三體糾纏的最小剩余共生糾纏隨非線性增益的增加而增大. 進一步研究發現， 該三體糾纏與MS 模式的耗散系數有關， 減小MS 模的耗散系數， 系統的最小剩余共生糾纏增大， 從而可以獲得更大的三體糾纏. 研究同時得出三體糾纏對溫度不敏感， 具有很好的魯棒性.

感謝同濟大學朱成杰研究員、羊亞平教授和浙江大學李杰老師的有益討論.