分數階非保守Lagrange 系統的一類新型絕熱不變量*

徐鑫鑫 張毅

1) (蘇州科技大學數理學院， 蘇州 215009)

2) (蘇州科技大學土木工程學院， 蘇州 215011)

為了更加準確地描述復雜非保守系統的動力學行為， 將Herglotz 變分原理推廣到分數階模型， 研究分數階非保守Lagrange 系統的絕熱不變量. 首先， 基于Herglotz 變分問題， 導出分數階非保守Lagrange 系統的Herglotz 型微分變分原理并進一步得到分數階非保守Lagrange 系統的運動微分方程； 其次， 引進無限小單參數變換， 由等時變分和非等時變分的關系， 導出了分數階非保守Lagrange 系統的Herglotz 型精確不變量； 再次， 研究小擾動對分數階Lagrange 系統的影響， 建立了基于Caputo 導數的分數階Lagrange 系統的絕熱不變量存在的條件， 得到了該系統的Herglotz 型絕熱不變量； 最后， 舉例說明結果的應用.

1 引 言

Herglotz 廣義變分原理是由Herglotz[1]提出來的， 它的作用量是由微分方程定義的. 與經典的變分原理相比， 它有如下幾點特征： 其一， 給出了非保守動力學過程的變分描述. 然而， 經典變分原理不能將非保守系統表示為泛函的極值； 其二， 經典的哈密頓原理是Herglotz 廣義變分原理的一個特例. 因此， Herglotz 廣義變分原理不僅可以描述所有可以用經典變分原理描述的物理過程， 還可以描述經典變分原理不能應用的問題； 其三， Herglotz廣義變分原理將保守過程和非保守過程統一為同一動力學模型， 從而能夠系統地處理實際動力學問題. 由于這一優勢， Herglotz 廣義變分原理被廣泛地應用于研究非保守系統和耗散系統的Noether定理. Georgieva 和Gueuther[2]和Georgieva 等[3]基于Herglotz 廣義變分原理得到了Noether 定理.Santos 等[4，5]研究了高階Herglotz 變分問題和含時滯的Herglotz 變分問題的Noether 定理. Zhang和Tian[6-12]基于Herglotz 廣義變分原理在非保守非完整系統、Birkhoff 系統、非保守Lagrange 系統、相空間以及分數階模型上分別研究了Noether對稱性與守恒量. 但是關于Herglotz 型絕熱不變量的研究還處于起步階段， 尚未引起重視.

研究非保守或非線性動力學的對稱性和不變量具有重要的意義， 也是分析力學的前沿研究領域. 當力學系統受到小擾動時， 系統的對稱性和守恒量都會發生改變， 我們稱之為對稱性攝動與絕熱不變量. 近年來， 關于絕熱不變量的研究已經取得了許多成果， 包括Noether 型[13-16]、Hojman 型[17-20]和Mei 型[21]的絕熱不變量. 最近， 絕熱不變量的研究還被推廣到了分數階微積分的框架下[22-24].可以發現這些絕熱不變量都是通過研究對稱性得到的. 實際上， 絕熱不變量也可以通過微分變分原理得到. 本文將基于Herglotz 型微分變分原理， 給出分數階非保守Lagrange 系統的一類新型絕熱不變量， 并證明該絕熱不變量存在的條件及其形式.

2 分數階導數

在這一節中， 回顧本文中所用到的分數階導數的一些基本定義和性質， 可參考文獻[25].

左Riemann-Liouville 分數階導數定義如下：

右Riemann-Liouville 分數階導數定義如下：

左Caputo 分數階導數定義如下：

右Caputo 分數階導數定義如下：

其中 Γ (?) 是 Euler-Gamma 函數， 階α滿足k ?1 ≤α ＜k. 如果α為整數， 上述分數階導數成為整數階導數

假設函數f(ξ)和g(ξ) 在區間 (a,b) 上是連續可積的， 則Caputo 導數下的分數階分部積分公式為

3 分數階非保守Lagrange 系統的Herglotz 型微分變分原理

基于Caputo 導數的分數階Herglotz 變分問題為： 確定函數qs(t) ， 使由微分方程：

定義的泛函z， 在給定的邊界條件：

及初始條件：

下，z(t) 取得極值. 其中可稱為Herglotz 意義下的分數階Lagrange函數；qs(s=1,2,··· ,n) 為系統的廣義坐標；qa，qb和za均為固定常數. 考慮到黏彈性體的力學性質是介于彈性體和黏性流體之間， 其本構關系應為σ(t)～dβε(t)/dtβ(0＜β ＜1)， 而黏性和彈性則為黏彈性的兩個極限狀態[26]， 因此這里將α的范圍取為 ( 0,1) .

可稱由(7)式確定的泛函z為Hamilton-Herglotz作用量， 上述變分問題稱為分數階Herglotz 變分原理.

對(7)式取等時變分， 有

由交換關系：

則(10)式可表為

其中

由(9)式， 則δz(a)=0 ， 所以上述初值問題的解為

并考慮到z(t) 在t=b取得極值， 因此有

由于(14)式對任意t∈[a,b] 上都成立， 若取t=b， 則有

將(13)式代入(16)式， 可得到

當 0＜α ＜1 時， 根據Caputo 導數下的分數階分部積分公式((5)式)、邊界條件以及交換關系， 對含的項進行分部積分運算：

由(18)式， 則 (17)式成為

由積分區間的任意性， 得到

(20)式是我們得到的分數階非保守Lagrange系統的Herglotz 型微分變分原理.

由δqs的獨立性， 則導出系統的運動微分方程為

如果Lagrange 函數不顯含z， 即L=L(t,qs(t),則(21)式成為

(22)式是經典分數階的非保守Lagrange 系統的運動微分方程.

當α→1 時， 則(7)式成為

(21)式成為

(24)式是非保守Lagrange 系統的Herglotz型運動微分方程[2].

4 分數階非保守Lagrange 系統的Herglotz 型精確不變量

引進時間t和廣義坐標qs的單參數無窮小變換：

或其展開式：

對任意的函數F， 等時變分δF和非等時變分ΔF之間存在如下關系[27]：

則可以得到

其中ε為無限小參數；τ0和稱為無窮小變換的生成函數.

值得指出， 在整數階微積分的框架下， 從理論物理和微分幾何的角度， 生成函數一般取為時間和廣義坐標的函數， 即τ0(t,qk)和這樣的變換構成一個Lie 群， 且變換是保幾何結構的[27]. Sarlet和Cantrijn[28]曾詳細討論生成函數的函數依賴性問題. 由于我們現在研究的是分數階非保守系統及其不變量， 從應用的角度考慮生成函數也依賴于分數階導數項， 這樣拓寬了生成函數的取值范圍.

將(28)式代入(20)式， 整理得

由于

定理1對于分數階非保守Lagrange 系統(21)， 如果存在規范函數G0使無限小生成元τ0和滿足如下條件：

則系統存在守恒量

守恒量((33)式)也稱作精確不變量. 當α→1 ，(33)式退化為經典非保守Lagrange 系統的Herglotz型守恒量[9]：

如果令

則(21)式可寫成

取無窮小變換為

得到如下定理：

定理2對于分數階非保守Hamilton 系統(37)， 如果無限小變換生成元和規范函數G0滿足下列條件：

則存在守恒量：

當G0=0 時， 得到了文獻[12]的結果.

5 分數階非保守Lagrange 系統的Herglotz 型絕熱不變量

根據動力學系統絕熱不變量的概念[13]， 我們給出分數階非保守系統的高階絕熱不變量的定義.

假設分數階非保守Lagrange 系統(21)受到了一個小擾動νQs的作用， 則(21)式成為

由于小擾動νQs的作用， 該系統原有的對稱性和不變量都會發生改變. 假設受擾系統的無限小生成函數可表示為

并滿足

其中G為規范函數， 記為

定理3對于受到小擾動作用的分數階非保守Lagrange 系統(21)， 如果無窮小變換的生成函數滿足

則系統存在m階絕熱不變量：

證 明令根 據(45)式和(41)式可得

因此，Im是一個m階絕熱不變量.

(46)式是基于Herglotz 微分變分原理導出的一類新型絕熱不變量. 特別地， 當m=0 時， 絕熱不變量為精確不變量.

當α→1 ， 絕熱不變量(46)式退化為經典非保守Lagrange 系統的Herglotz 型絕熱不變量[29]：

類似地， 我們有：

定理4對于受到小擾動作用的分數階非保守Hamilton 系統(37)式， 如果無窮小變換的生成函數滿足：

則系統存在m階絕熱不變量：

6 算 例

作為例子， 研究分數階線性阻尼振子[30，31]. 分數階振子是粘彈性阻尼系統的分數階模型， 其動力學方程含有分數階導數項. 由于分數階模型具有記憶效應和空間全域性等， 它能更準確地描述系統的動力學行為， 因而分數階振子的研究得到了廣泛關注[32-38].

首先根據文獻[39]的方法， Herglotz 意義下分數階振子的Lagrange 函數為

其中m為質點的質量，k為彈性系數，c為阻尼系數，m,k,c為常量； 泛函z滿足微分方程：

由(21)式， 得到其運動微分方程：

根據(32)式， 則有

方程(55)有解：

由定理1， 該系統的一個精確不變量為

當α→1 時， 得到整數階線性阻尼振子的精確不變量：

下面研究系統的絕熱不變量. 假設系統受到的小擾動為

方程(45)給出

方程(60)有解

由定理2， 則該系統有如下一階絕熱不變量：

當α→1 時， 得到整數階線性阻尼振子的絕熱不變量：

可以進一步地求得系統的更高階絕熱不變量.

7 結 論

Herglotz 廣義變分原理為研究非保守系統動力學提供了一種新的思路. 本文建立了分數階非保守Lagrange 系統的Herglotz 型微分變分原理， 基于該原理給出了分數階非保守Lagrange 系統的精確不變量和絕熱不變量. 主要結果是文中給出的原理(20)和4 個定理.

當α→1 時， 分數階非保守Lagrange 系統的Herglotz 微分變分原理(20)退化為整數階的Herglotz 微分變分原理， 其方程(21)退化為經典的Heglotz 型運動微分方程(24)， 與之相應的精確不變量(33)也退化為經典的Herglotz 型精確不變量(34). 當受到小擾動時， 根據高階絕熱不變量的定義， 得到了分數階非保守Lagrange 系統的Herglotz 型絕熱不變量(46). 若Lagrange 函數不顯含z， 則問題退化為經典分數階Lagrange 系統的變分問題， 方程(21)退化為經典分數階Lagrange系統的運動微分方程(22).

最近， 文獻[40]綜述了Herglotz 廣義變分原理及其Noether 對稱性與守恒量理論研究的近期發展， 并提出了有待進一步研究的若干問題. 例如，一般情形下Herglotz 型Lagrange 函數的物理解釋；對于一般非保守動力學系統， Herglotz 型Lagrange函數的構建問題等.