用樣本估計總體 為未來謀劃發展

文 周華軍

統計的基本思想是用樣本估計總體，它主要研究兩個基本問題：一是如何從總體中抽取樣本，二是如何通過對所抽取的樣本進行計算和分析，從而對總體的相應情況作出推斷，為未來的發展規劃提出合理建議。下面老師從2020年中考題中選取兩例，說明統計的基本思想——如何用樣本去估計總體。

例1 （2020·江蘇揚州）揚州教育推出的“智慧學堂”已成為同學們課外學習的得力助手。為了解同學們“智慧學堂”平臺使用的熟練程度，某校隨機抽取了部分同學進行調查，并將調查結果繪制成如下兩幅尚不完整的統計圖。

根據以上信息，回答下列問題：

（1）本次調查的樣本容量是____，扇形統計圖中表示A 等級的扇形圓心角為_______°；

（2）補全條形統計圖；

（3）學校擬對“不太熟練或不熟練”的同學進行平臺使用的培訓，若該校有2000 名學生，試估計該校需要培訓的學生人數。

【分析】（1）本題以兩種統計圖的形式描述數據，我們首先要從圖中獲取數據信息。根據條形統計圖中A 等級的人數，扇形統計圖中A等級的所占百分比，求得樣本容量，進而計算出扇形統計圖中表示A等級的扇形圓心角的度數。

（2）根據（1）中得到的本次調查的樣本容量，結合扇形統計圖中B 等級所占百分比，計算出B等級的人數，從而可以將條形統計圖補充完整。

（3）根據條形統計圖中提供的樣本數據去估算全校需要培訓的學生人數。

解：（1）本次調查的樣本容量是150÷30%=500，

扇形統計圖中表示A 等級的扇形圓心角為360°×30%=108°。

（2）B 等 級 的 人 數 為 500×40%=200（人）。

補全的條形統計圖如下圖所示；

答：該校需要培訓的學生估計有200人。

【點評】本題考查條形統計圖、扇形統計圖、用樣本估計總體，從統計圖中獲取數據和數量之間的關系是解決問題的前提。用樣本估計總體是統計中常用的思想方法。

例2 （2020·重慶B卷）每年的4月15 日是我國全民國家安全教育日。某中學在全校七、八年級共800 名學生中開展“國家安全法”知識競賽，并從七、八年級學生中各抽取20 名學生統計這部分學生的競賽成績（競賽成績均為整數，滿分10分，6分及以上為合格）。相關數據統計、整理如下：

八年級抽取的學生的競賽成績：

4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10。

七年級抽取的學生競賽成績條形統計圖

七、八年級抽取的學生競賽成績統計表

___________________________90%_______________年級__平___________均數__中____________位數________________眾數合格率______七年級_____7.4_________八年級__7.4____a__________7__________b_____c_____85%_______________

根據以上信息，解答下列問題：

（1）填空：a=____，b=____，c=____；

（2）估計該校七、八年級共800名學生中競賽成績達到9分及以上的人數；

（3）根據以上數據分析，從一個方面評價兩個年級學生“國家安全法”知識競賽的成績誰更優異。

【分析】本題考查數據的代表值和用樣本估計總體。

（1）從圖表中獲取數據信息，根據中位數和眾數的意義確定a、b、c；

（2）利用樣本估計總體思想：用樣本成績達到9分及以上的人數所占的百分比來估計總體成績達到9分及以上的人數所占的百分比即可；

（3）通過比較兩個年級樣本的中位數、眾數或9 分及以上人數所占百分比的大小，可以判斷誰的成績更優異。

解：（1）由圖表可得

（2）設七年級有學生x 人，則八年級有（800-x）人，由題意，得

或整體思想考慮：

該校七、八年級共800 名學生中競賽成績達到9 分及以上的人數=800×

答：估計該校七、八年級800名學生中競賽成績達到9 分及以上的人數為200人。

（3）答案一：八年級的成績更優秀。理由：八年級被抽取學生成績的中位數是8，而七年級被抽取學生成績的中位數是7.5，從這一統計量看，八年級成績更優秀。

答案二：八年級的成績更優秀。理由：八年級被抽取學生成績的眾數是8，而七年級被抽取學生成績的眾數是7，從這一統計量看，八年級成績更優秀。

答案三：八年級的成績更優秀。理由：八年級被抽取學生成績的合格率是90%，而七年級被抽取學生成績的合格率是85%，從這一統計量看，八年級成績更優秀。

【點評】本題考查中位數、眾數、平均數的意義和計算方法，理解各個概念的內涵和計算方法是解題的關鍵。