牛頓力學與分析力學對動力學問題的解法比較

呂 嫣, 崔 崧, 李慧玲

(沈陽師范大學 物理科學與技術學院 沈陽 110034)

0 引 言

理論力學是理工科學生一門重要的基礎理論課,屬于理論物理的范疇。從研究問題和解題方法角度來看,理論力學分為兩大體系,分別是牛頓力學體系和分析力學體系[1-3]。牛頓力學是從作用效果角度總結出來的一套理論,注重觀察到的現象和結果,所涉及的量多為矢量,如力和動量,所以也稱為矢量力學。分析力學從內在的本質角度去分析研究物體運動變化的原因,從一種更為抽象的角度歸納力學概念,所涉及的量多為標量,如功和能量。分析力學是在牛頓力學基礎之上發展起來的,分析力學方程可以由牛頓力學方程導出,因此分析力學和牛頓力學同樣適用于宏觀物體的低速運動,但分析力學本身是一個獨立、完整的理論體系[4-7]。牛頓力學和分析力學都是解決力學問題,但它們在解題思想和方法上卻是完全不同的。牛頓力學對每一個質點進行受力分析,分別列出它們的動力學方程,并且對于不同的坐標,不同的研究對象有著不同的方程式。而分析力學將系統作為一個整體來處理,采用獨立的廣義坐標確定系統的位置,其動力學方程描述了整個系統的運動規律,對任何坐標、任何力學研究對象均適用[8-18]。下面就通過一個例子對兩種方法在處理力學問題時的不同做一比較。

例題有一光滑圓形金屬絲圈,半徑為r,它以一定角速度ω繞豎直直徑轉動。一質量為m的小環套在圓圈上。初始時,小環在圓圈的最高點并無初速地沿圓圈滑下,當小環和圓圈中心的連線與豎直方向的直徑成θ角時,求小環的運動微分方程及其所受的約束反作用力。

1 用牛頓力學方法求解

圖1 例題圖

式(1)為沿切向方程,即為小環的運動微分方程。式(2)為沿主法線方向,即半徑方向方程,式(3)為沿副法線方向(垂直紙面向里)方程。又由式(1),并考慮到初始條件可得

(4)

由式(2)及式(3)得圈對小環的約束反作用力為

式中Rn和Rb為約束反作用力沿主法線和副法線方向的分量。

本題屬于轉動參照系中的動力學問題。應用牛頓力學解決此類問題，首先要進行的就是受力分析，由于是在非慣性系中運動，除了考慮質點所受的主動力和約束反作用力外，還需引入慣性離心力和科里奧利力兩個慣性力。判斷出各力的方向，應用轉動參照系中牛頓運動定律，列出質點的運動微分方程，并根據不同方向動力學方程解出所受的約束反作用力。此種方法不僅可以給出運動微分方程，還可以求出約束反作用力。

2 用分析力學方法求解

2.1 用拉格朗日方程求解

金屬絲圈是光滑的,小環所受的主動力只有重力,且為保守力,所以小環為完整保守力學體系。其自由度為1,選取θ為廣義坐標,體系的動能為

(7)

取過圓心的水平面為零勢能面,則體系勢能為

V=mgrcosθ

(8)

系統的拉格朗日函數為

(9)

與該題對應的保守系的拉格朗日方程為

(10)

計算得

將式(11)、式(12)代入式(10)中得小環運動微分方程形式為

(13)

拉格朗日方程分為基本形式的拉格朗日方程和保守力系的拉格朗日方程，它們是一組數目等于體系自由度的二階常微分方程。對于非保守力系，需要求出體系的動能和廣義力，而對于保守力系，需要求出體系的拉格朗日函數。拉格朗日函數為體系的動能與勢能之差，它是力學體系的特性函數，表征著約束、運動狀態、相互作用等性質。此種方法不需要受力分析，給出系統的動能、勢能，寫出拉格朗日函數，代入到保守力系的拉格朗日方程中即可求解。

2.2 用哈密頓正則方程求解

體系的哈密頓函數為

(14)

其中

(15)

(16)

由哈密頓正則方程

式(17)對時間求導,并將式(18)代入,得

(19)

整理得小環運動微分方程為

(20)

此結果與前面相同。利用此方法求解需由拉格朗日函數計算出哈密頓函數,將用廣義坐標和廣義動量表示的哈密頓函數代入到正則方程計算。哈密頓正則方程是一組方程數目是廣義坐標數目二倍的一階微分方程組,相比較于拉格朗日方程其階數降低了,但方程數目是其二倍,對于多自由度的力學體系,這一對比更為明顯。

2.3 用哈密頓原理求解

完整保守系的哈密頓原理為

(21)

將式(9)代入上式,得

(22)

其中

(23)

將式(23)代入式(22),得

(24)

因為δθ|t1=0,δθ|t2=0,再由δθ任意性,得

(25)

哈密頓原理是采用變分法來挑選動力軌道的,由此可以確定力學體系的運動規律。應用哈密頓原理可推出很多其他原理、方程和定律。應用該方法時,直接將力學體系的拉格朗日函數代入到哈密頓原理中進行計算,因此它也是一組二階微分方程組,數目與廣義坐標數目相同。

3 結 論

對于同一動力學問題，牛頓力學方法和分析力學方法得到相同的結果。從解題過程中可以看出，牛頓力學方法物理圖像直觀、清晰，但不能避開約束力。約束越多，方程數目越多，會給求解帶來困難。分析力學方法不用受力分析，避開了約束力，方程更為簡潔。在分析力學范圍內又給出了三種解題方法，分別是利用拉格朗日方程、哈密頓正則方程和哈密頓原理來求解。由拉格朗日方程可以推導出哈密頓原理，而由哈密頓原理又可推導出哈密頓正則方程，所以三種方程是相通的，但由于方程的數目不同，所需代入的函數不同，所以在求解時又有一定的選擇性。對于完整保守力學體系，可采用三種方法之一求其運動規律。對于較復雜的動力學問題，采用分析力學方法求解較為方便，但不能求出約束反作用力，所以對于題干要求求解約束力的問題，還要采用牛頓力學方法解決。