不確定時滯LPV系統的魯棒穩定性分析

劉玉忠, 李珊玉

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

0 引 言

線性參數變化(LPV)系統是一類時變系統,其狀態空間模型的矩陣是某些時變參數的確定函數,而這些時變參數是可以實時測量的[1]。LPV系統的出現從某種意義上解決了復雜非線性系統的建模問題。近年來,LPV系統的控制方法已經廣泛應用于實際工程中,如導彈自動導航、飛行控制、機器人控制等領域,成為控制理論中研究的熱點問題[2-5]。

在LPV系統中,系統矩陣已含有參數不確定的部分,但實際建模過程中還有結構不確定性的存在,如測量誤差、輸入條件的變化、傳感器等部件非正常工作及外界的干擾均會引起結構不確定性的出現[6-7]。此外,在各類工業系統中,時滯現象是很普遍的,如皮帶傳輸、極緩慢的過程或復雜的在線分析儀等[8]。因此,對不確定時滯LPV系統的魯棒穩定問題進行分析具有更實際的意義,這給研究工作帶來相當大的難度。目前,對于不確定時滯LPV系統的研究結果還相當有限,而且大部分沒有考慮結構不確定和時滯帶來的影響。Apkarian等[9]通過優化方法設計線性變參數控制器,將線性變參數控制問題轉換為魯棒控制問題,Ilka和Vesely[10]提出一種基于線性參數變化的增益調度控制器的設計方法,Buzachero等[11]給出具有衰減率性能指標和控制器規范優化的連續時間不確定切換LPV系統控制的改進方法。Sun和Zhao[12]研究一類時變時滯切換系統的穩定性和L2增益問題,Wu和Grigoriadis[13]利用參數相關Lyapunov函數法,研究變參數時滯LPV系統的穩定性和誘導L2范數性能,Lu和Wu[14]利用多參數相關Lyapunov函數法研究LPV系統的切換控制問題,以提高系統性能和控制設計的靈活性,Sun等[15]針對有時變時滯的LPV系統,考慮時滯相關的H∞控制問題。

本文對一類不確定時滯LPV系統的魯棒穩定性問題進行分析和研究,通過構造Lyapunov-Krasovskii泛函,利用Schur補性質,將矩陣不等式轉化為LMI,然后引入二次型性能指標,分析系統的魯棒性能,最后由于參數存在依賴性,利用近似基函數和網格技術的方法,將無限維的LMI轉化為有限維的LMI,從而把不確定時滯LPV系統的魯棒穩定性問題歸結為線性矩陣不等式的求解問題。

1 問題描述

考慮如下的不確定時滯LPV系統:

(1)

假設實矩陣ΔA(ρ),ΔAd(ρ)具有如下不確定的形式:

其中:D(ρ),E(ρ),Ed(ρ)是已知適當維數的矩陣;F(ρ)∈Ri×j是滿足FT(ρ)F(ρ)≤I的未知不確定參數矩陣。下面是本文用到的引理。

引理1[8]給定適當維數的矩陣Y,D,E,其中Y是對稱的,則

Y+DFE+ETFTDT<0

對所有滿足FTF≤I的矩陣F成立,當且僅當存在一個常數ε>0,使得

Y+εDDT+ε-1ETE<0

2 主要結果

本文主要研究不確定時滯LPV系統(1)的魯棒穩定性問題。

定理1 如果存在標量ε>0,對稱正定矩陣P(ρ),Q,其中P(ρ)為連續可微的矩陣函數,使得

(2)

證明 選取Lyapunov-Krasovskii泛函為

(3)

V(x,ρ)沿著系統(1)軌跡的導數為

(4)

(5)

根據引理1可知,式(5)中的矩陣小于零,對所有滿足FT(ρ)F(ρ)≤I的參數不確定性矩陣F(ρ)都成立,當且僅當存在一個標量ε>0,使得

整理得

(6)

(7)

為分析系統的魯棒性能,考慮一個二次型性能指標,其中S>0為給定的加權矩陣:

(8)

定理2 對系統(1)和性能指標(8),若存在對稱正定矩陣P(ρ)和Q,使得對所有滿足FT(ρ)F(ρ)≤I的參數不確定矩陣F(ρ)有

(9)

則系統(1)是魯棒穩定的,且對于所允許的不確定參數不確定矩陣,性能指標(8)滿足

證明 從矩陣不等式(9)可以推出

(10)

(11)

將式(11)左右兩邊從t=0到t=∞積分,并利用系統的魯棒穩定性得

注1 定理2中的條件(9)不是關于變量P(ρ)和Q的線性矩陣不等式,下面將該定理的條件轉化成一個容易檢驗的LMI的可行性問題。

定理3 對于給定的系統(1)和性能指標(8),若存在標量ε>0,對稱正定矩陣X(ρ)和Q,使得

(12)

則不確定時滯LPV系統是魯棒穩定的,且對所有允許的不確定性,性能指標滿足

證明 與定理1的證明類似,矩陣不等式(9)對所有允許的不確定性成立,當且僅當存在標量ε>0,使得

(13)

應用Schur補性質,式(13)等價于

(14)

式(14)左右兩邊的矩陣分別左乘和右乘diag{P-1(ρ),I,I},記X(ρ)=P-1(ρ),則式(14)等價于

(15)

(16)

利用Schur補性質,(16)式等價于式(12),對式(12)左右兩邊的矩陣分別左乘和右乘矩陣diag{I,Q-1,I,I},記W=Q-1,則式(12)等價于

因此,系統(1)是魯棒穩定的。

注2 由于在對Lyapunov函數求導時產生參數部分的導數項,導致線性矩陣不等式(2)和(12)是無限維的,利用近似基函數和網格技術,將其轉化為有限維的線性矩陣不等式。選取近似基函數為fi(ρ),i=1,2,…,nf,則

3 結 論

文章研究了不確定時滯LPV系統的魯棒穩定問題。構造L-K泛函,利用Schur補引理處理矩陣不等式,并引入二次型性能指標,分析了系統的魯棒性能。利用近似基函數和網格技術的方法,將無限維的LMI轉化為有限維的LMI,有效地解決了LMI的求解問題。