有一種叫設置零點為變量的方法

(指導教師：褚人統)

一、零點為變量方法的發現

近一段時間,筆者多次接觸到一些試題,解答這些試題時,如采用常規方法,則煩瑣易錯;而如果把零點設置為變量,則會簡便易行,下面具體分析。

例1已知函數f(x)=x2+ax+b有兩個零點x1,x2,且滿足0＜x1＜x2＜2,則f(0)·f(2)的取值范圍是( )。

A.(1,4) B.(1,2)

C.(0,2) D.(0,1)

分析：常規解法很煩瑣,若采用新的“武器”——零點作變量方法則,可以簡潔求解。

解：設f(x)=(x-x1)(x-x2),其中0＜x1＜x2＜2,這樣有f(0)·f(2)=x1x2·(2-x1)(2-x2)=x1(2-x1)·x2(2-x2)。由x1(2-x1)=-(x1-1)2+1∈(0,1],x2(2-x2)∈(0,1],結合x1,x2不可能同時為1,得x1(2-x1)·x2(2-x2)∈(0,1)。選D。

這種置零點為變量的解法很妙,簡直妙不可言!

二、一個精彩的范例

例2已知函數f(x)=x2+ax+b在區間[0,1]內存在零點,則ab的最大值為_____。

解法一：設零點x0∈[0,1],則ab=把x0看成變量去求ab的最大值,依據與區間[0,1]的位置關系,結合這個函數關系式的二次項系數為-a,可作如下討論。記h(x0)=

綜上可知ab的最大值為

解法二：由a∈R 且b∈R 可知,另一個零點的范圍也是R。設方程x2+ax+b=0的兩根為x1∈ [0,1],x2∈R,則則x2,在這個式子中,把量ab看成是變量x2(x2∈R)的二次函數,則當且僅當x1=1且x2=時等號成立,此時故ab的最大值為

解法三：設置零點x0∈[0,1]為變量,則b=--ax0,所以有ab=a(--ax0)=x0·a·(-x0-a)。要求ab的最大值,只需從a,-x0-a同號考慮即可,則ab=x0·,當且僅當x0=1 且-x0-a=a,即時等號成立。故ab的最大值為

小結：上述的幾種解答過程是對采用“設置零點為變量的方法”可巧妙求解一類試題的淋漓盡致的詮釋。