淺談以橢圓為載體的圓錐曲線問題求解策略

以橢圓為載體的圓錐曲線問題不僅是高考的常見考點之一,也是同學們學習中的難點。同學們若能在復習備考前有針對性地總結出求解此類問題的策略,則可以在考場上節省很多思考的時間。下面就來探討一下求解此類問題的思路和方法。

一、垂直問題可轉化為向量數量積為零的問題

因為在直線方程中,當兩條有斜率的直線垂直時,斜率的乘積為-1,但限于分母的存在,需要討論分母是否為零,所以求以橢圓為載體的圓錐曲線的垂直問題時,往往可以將其轉化為向量數量積為零的問題。

例1已知橢圓C的左焦點F1(- 3,0),P為橢圓C上一點,滿足|OP|=|OF1|,且|PF1|=2- 2。

(1)求橢圓C的標準方程。

(2)過點Q(0,2)的直線l交橢圓C于點A,B兩點,若OA⊥OB,求l的方程。

解：(1)因 為|OP|=|OF1|,所 以∠F1PF2=90°。又 因 為,所以2+ 2。所以2a=|PF1|+|PF2|=4,b2=1,所以橢圓方程為

(2)由題意可知直線l的斜率存在,設直線l的方程：y-2=kx,與橢圓方程聯立得(1+4k2)x2+16kx+12=0。設A(x1,y1),B(x2,y2),則因為所以x1x2+y1y2=0,即(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0。所以,所以k2=4,即k=±2,滿足Δ＞0。

二、角度問題可轉化為斜率問題

與直線有關的角的問題大多可以轉化為斜率問題。

例2過點M(1,0)的直線l與橢圓C：相交于A,B兩點(直線l不與x軸重合),在x軸上是否存在定點N使x軸所在直線平分∠ANB? 若存在,則求出該點;若不存在,請說明理由。

解：假設存在x軸上定點N,且設其坐標為(n,0)。由題易知直線的斜率不會是0,可設直線l的方程：x-1=ty,與橢圓方程聯立得(t2+4)y2+2ty-3=0,顯然Δ＞0。因為x軸所在直線平分∠ANB,所以kAN+kBN=0。所以即所以2t(n-4)=0,故n=4。故存在定點N(4,0)使x軸所在直線平分∠ANB。

三、范圍問題可轉化為函數問題

若以橢圓為載體的圓錐曲線問題中沒有給出明確的不等關系,還讓求范圍時,需要先根據已知條件,利用圓錐曲線的幾何性質和曲線上點的坐標確定不等關系,再構造目標函數,把原問題轉化為求函數的值域或引入參數根據參數范圍求解。

例3已知橢圓方程0),它與S(1,1),T(2,3)兩點間的線段恒相交,求a的取值范圍。

解：由S(1,1),T(2,3)兩點確定直線ST的方程為y=2x-1(1≤x≤2),將其代入橢圓方程得6x2-4x+1-2a2=0,所以該方程在[1,2] 區間內有解。因為二次函數f(x)=6x2-4x+1-2a2在1,2[]上是增函數,所以f(1)≤0,f(2)≥0,所以