平面向量高考重點題型及解題策略研究

■徐燕云 金巨明

歸納近幾年的高考試題可知,高考中涉及平面向量的題型主要有知識交匯、解法多樣的特點,重點考查考生的思維能力與創(chuàng)新能力。因此,同學(xué)們在復(fù)習(xí)時應(yīng)以平面向量的內(nèi)容為側(cè)重點,結(jié)合歷年高考真題,了解高考的命題方向,加深對相關(guān)知識的印象,熟練掌握不同題型所適用的解題策略,保證解題能力能夠得到快速提高。

1.平面向量的交匯問題

平面向量與解析幾何的交匯是高考命題的一個熱點,這是因為向量和解析幾何融形數(shù)于一體,具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”。平面向量作為一個運算工具,在歷年的高考題中,經(jīng)常與函數(shù)、數(shù)列、不等式、三角和解析幾何等內(nèi)容相結(jié)合。

例1已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x=8,P為該平面上一動點,作PQ⊥l,垂足為Q,且

(1)求動點P的軌跡方程。

(2)若EF為 圓N：x2+(y-1)2=1 的任一條直徑,求的最值。

解：(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì),得設(shè)P(x,y),則Q(8,y),所以[4(x-2)2+y2]=(x-8)2,化簡得3x2+4y2=48,所以點P的軌跡方程為

(2)因為EF為圓N的直徑,所以|NE|=|NF|=1,且所以因為(y-1)2-1=(y+3)2+19,y∈,所以當(dāng)?shù)淖钚≈禐?2-4 3;當(dāng)y=-3 時的最大值為19。

點評：解析幾何的核心思想就是利用代數(shù)方法解決幾何問題,將向量條件的幾何形式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式,將數(shù)學(xué)中的“形”與“數(shù)”完美結(jié)合。該題就是利用向量垂直、模、數(shù)量積公式將問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題。

2.平面向量的最值問題

求平面向量最值的方法主要有幾何法、基底法、坐標(biāo)法、三角不等式法和極化恒等式法,命題主要立足于教材,適當(dāng)變形,適度整合,拓展提升,同時滲透這些思想方法,同學(xué)們就能形成“向量思想”,能夠在解決實際問題時合理、有效、快速地將問題進行化歸轉(zhuǎn)化,迅速找到思維的突破口,形成有效的解題思路。

例2已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點,則的最小值是( )。

解法1(極化恒等式法)：設(shè)BC的中點為H,AH的中點為結(jié)合極化恒等式的概念可知,選B。

解法2(數(shù)量積不等式法)：設(shè)BC的中點為,當(dāng)且僅當(dāng)反向時,等號成立。設(shè)則選B。

點評：在解答求最值的問題時,較為常見的方法為幾何法,就是利用其向量的幾何本質(zhì),將外在的代數(shù)關(guān)系通過模型構(gòu)造轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何圖形。利用數(shù)形結(jié)合的方法,避免了復(fù)雜的運算過程,既直觀又形象,達到了事半功倍的效果。運用極化恒等式的三角形模型時,需要先找到合適的中點和路線,然后才能寫出極化恒等式。