新課程標(biāo)準(zhǔn)下高中數(shù)學(xué)解題思想架構(gòu)的思路

在新課程標(biāo)準(zhǔn)下,同學(xué)們要重視數(shù)學(xué)解題思想的架構(gòu),并結(jié)合自己的實(shí)際情況,確定有效的解題思路,以促使自身數(shù)學(xué)思維的形成。

一、數(shù)形結(jié)合思想

例如：直線l的方程為橢圓的中心為點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,其長(zhǎng)半軸和短半軸分別為2,1,左頂點(diǎn)為,分析p的具體取值范圍,使得橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn),它們中的每一個(gè)點(diǎn)到B的距離等于該點(diǎn)到直線l的距離。

在解答該題時(shí),可以基于拋物線的含義來(lái)分析,思考“在p的數(shù)值為多少時(shí),以B為焦點(diǎn)、l為準(zhǔn)線的拋物線和橢圓的交點(diǎn)為四個(gè)”。具體解決步驟如下：

已知a=2,b=1,,設(shè)拋物線和橢圓的方程分別為y2= 2px,將y消掉,得x2+拋物線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn),等價(jià)于上述關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相異的正根,其充要條件為在p＞0 的條件下,解此不等式組,得,故所求的p的范圍為

數(shù)形結(jié)合思想能將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)和直觀的圖像相結(jié)合,如代數(shù)問(wèn)題體現(xiàn)幾何化,幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)問(wèn)題,都能為數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決提供有效方法。

二、分類探討思想

例如：體育教師在3個(gè)箱子中分別放入9個(gè)相同的足球,其編號(hào)分別為1,2,3,…,9,求在每個(gè)箱子中放入的個(gè)數(shù)多于編號(hào)時(shí),不同的放球方法。

首先,將2號(hào)盒子中放入1個(gè)球,將2個(gè)小球放入到3號(hào)盒子中,剩下的6個(gè)小球排列為○○○○○○,在這6個(gè)小球的5個(gè)空位中,可以插入2個(gè)擋板,其排列為○○|○○|○,每個(gè)放法都為一種方法,其放法共有C25=10(種)。

分類討論思想的主要表現(xiàn)是化整為零。在實(shí)際解題中,通過(guò)對(duì)該思想的使用,能予以對(duì)象和全體范圍的思考,確立出分類的標(biāo)準(zhǔn),實(shí)現(xiàn)分級(jí)探討,也能獲得有效結(jié)果。

三、函數(shù)方程思想

例如：設(shè)a＞0,a≠1,已知方程loga(x-),分析實(shí)數(shù)k的取值范圍。

解答該題時(shí)可以通過(guò)換底公式換底,當(dāng)出現(xiàn)同底后實(shí)現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)換獲得方程。根據(jù)分離參數(shù)分析式子,基于三角換元法分析出三角函數(shù)的值域。原方程化為loga(x-ak)=①x-ak＞0;②x-ak=所以,則k=f(θ)=cscθ-時(shí),得出f(θ)=,所以k＜-1。當(dāng)時(shí),得出f(θ)=cscθ-cotθ=,所以0＜k＜1。

函數(shù)方程思想是基于函數(shù)的概念和函數(shù)的性質(zhì)來(lái)分析問(wèn)題的,在用于解答問(wèn)題時(shí),大家要明確數(shù)量關(guān)系,利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)轉(zhuǎn)換條件,促使數(shù)學(xué)模型的形成,如方程、不等式等,最終實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的充分解決。