導數隱零點的常規解題方法

函數的零點與函數的單調性、極值、最值及函數的圖像密切相關,因其蘊含的函數與方程、等價轉化的數學思想而備受命題人的青睞,成為高考考查的重點和熱點。而對隱零點問題的考查也經常出現在各類聯考中。因此同學們需要掌握隱零點問題的兩種常規題型的解題方法。

題型一：特值試根,借助二次求導加以驗證

例1已知f(x)=,求f(x)的單調區間。

解：依題意有x＞0 且且f'(1)=0。令g(x)=所以g(x)在定義域上單調遞增,且g(1)=0。所以當時,g(x)＜0,即f'(x)＜0,f(x)單調遞減;當x∈(1,+ ∞)時,g(x)＞0,即f'(x)＞0,f(x)單調遞增。

我們知道f'(x)的變號零點是f(x)的極值點和單調區間的端點,故解決此類型題的兩個關鍵步驟為：步驟一,由f'(x)=0得,試根x=1;步驟二,構造函數二次求導得到g(x)的單調性(此時g(x)必須具有嚴格的單調性),說明g(x)的圖像與x軸有唯一交點,從而可以判定g(x)即f'(x)的正、負,進而得到f(x)的單調性等。

題型二：設而不求,借助零點存在性定理加以說明

例2已知函數f(x)=(kx-1)exk(x-1)。若存在x∈R,使得f(x)＜0 成立,求整數k的最大值。

解：由f(x)＜0得k(xex-x+1)＜ex,即k[x(ex-1)+1]＜ex(?)。當x≥0,ex≥1,ex-1≥0,x(ex-1)+1＞0;當x＜0,ex＜1,ex-1＜0,x(ex-1)+1＞0。所以當x∈R時,總有x(ex-1)+1＞0。當k≤0 時(?)式恒成立;當k＞0,令φ(x)=ex-2+x,φ'(x)=ex+1＞0,所 以φ(x)為R 上的增函數。

又φ(0)=-1＜0,φ(1)=e-1＞0,所以?x0∈(0,1)使φ(x0)=0,即ex0=2-x0(*)。當x∈(- ∞,x0),φ(x)＜0,即g'(x)＜0,g(x)單調遞減;當x∈(x0,+∞),φ(x)＞0,即g'(x)＞0,g(x)單調遞增。所以g(x)min=g(x0)=令2-x0=t∈(1,2)所以0＜又k∈Z,所以0＜k≤1。

綜上可得k≤1,故k的最大值為1。

題型二有兩類：

(1)根據單調性確定極值點的個數。解題的兩個關鍵步驟為：步驟一,因g'(x)的零點不可求,需二次求導判斷g'(x)的單調性(此時g'(x)必須具有嚴格的單調性);步驟二,設g'(x)=0 的根為x0,試值找到區間(a,b),使x0∈(a,b),且g'(a)g'(b)＜0,進而可得g(x)的單調區間及極值點的情況。

(2)求極值、最值的取值范圍。解題的三個關鍵步驟為：步驟一,同類型一的步驟一;步驟二,由g'(x)=0得到關于x0的等式,即為(*)式,然后同類型一的步驟二;步驟三,在求極值或最值范圍時,要根據(*)式進行恰當的等量替換,從而得到我們所熟悉的求函數值域的模型,使問題得以解決。