列代數(shù)式巧解圖形問(wèn)題

梅恒瑞

數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系。在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透。用字母表示數(shù)，結(jié)合圖形呈現(xiàn)的規(guī)律和特征，把數(shù)和數(shù)量之間的關(guān)系巧用代數(shù)式簡(jiǎn)明地表示出來(lái)，這是解決圖形問(wèn)題的常規(guī)方法和路徑。

例1925年，數(shù)學(xué)家莫倫發(fā)現(xiàn)了世界上第一個(gè)完美長(zhǎng)方形（見(jiàn)下圖），它恰好可以被分成10個(gè)不同的正方形，其中標(biāo)注1，2的正方形邊長(zhǎng)分別為x，y。

（1）用含有x，y的代數(shù)式表示這10個(gè)正方形邊長(zhǎng);

（2）當(dāng)x=5時(shí)，求此時(shí)完美長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積。

【解題過(guò)程】根據(jù)正方形4條邊長(zhǎng)相等這一幾何性質(zhì)，逐一求各個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。

（1）根據(jù)題意：第3個(gè)正方形邊長(zhǎng)為x+y;第4個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為x+y+y=x+2y;第5個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為x+2y+y=x+3y;第6個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（x+3y）+（y-x）=4y;第7個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為4y-x;第8個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（4y-x）+[（4y-x）-x-（x+y）]=7y-4x;第9個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（7y-4x）+[（4y-x）-x-（x+y）]=10y-7x;第10個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（4y-x）-x-（x+y）=3y-3x。

（2）由圖形，可知第5個(gè)和第6個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和等于第8個(gè)和第9個(gè)正方形邊長(zhǎng)的和，從而（x+3y）+4y=（10y-7x）+（7y-4x），即6x=5y，當(dāng)x=5，則y=6，該完美長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為15y-5x=65，寬為（x+3y）+4y=47，所以周長(zhǎng)為224，面積為65×47=3055。

【反思】結(jié)合圖形，從邊長(zhǎng)最易用代數(shù)式表示的正方形開(kāi)始，由易到難，逐一突破。利用數(shù)形結(jié)合思想，用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，實(shí)現(xiàn)思維的質(zhì)的飛躍。