高中物理“逐差法”研究綜述與教學建議*

宋 靜

(福州教育研究院 福建 福州 350001)

林 欽

(福建師范大學物理與能源學院 福建 福州 350108)

“逐差法”是物理實驗中處理數據的一種重要方法，因用其處理數據的方法常在高考物理實驗試題中出現，使得中學物理教師對該方法格外關注. 在“中國知網”以“逐差法”為關鍵詞檢索發現有219篇研究，其中“基礎教育與中等職業教育”領域最多，有79篇文獻(數據截止投稿時). 中學物理教師有關“逐差法”的研究隨著2001年、2006年、2014年和2017年高考試題的考查，一次又一次出現高峰.

中學物理教師所關注的問題是什么？每次討論的焦點是否出現變化？多年持續的討論有沒有得到公認的結果？我們對現有的研究文獻進行梳理，嘗試在回答這些問題的基礎上，明確中學物理實驗中“逐差法”的應用方法和考查目標，為“逐差法”的教學提供參考.

分析發現，中學物理教師討論的“逐差法”普遍圍繞兩個實驗進行：“勻變速直線運動”和“自由落體運動”，即圍繞“如何利用逐差法處理打點計時器得到的勻變速直線運動的紙帶”(有59篇)，學者所探討的問題主要有兩類：一是“逐差法與兩段法處理數據的差異”[1～4]，二是“奇數項數據如何使用逐差法”[5～7]. 下面我們就從這兩方面的研究入手，梳理學者們的研究.

1 “逐差法”研究爭議問題的探析

1.1 “逐差法”還是“兩段法”

如圖1所示是自由落體運動實驗中打點計時器打出的紙帶，各點時間間隔是T.

圖1 “測量自由落體運動加速度”實驗數據6組

應用“逐差法”計算勻變速直線運動的加速度過程如下.

(1)

若用“兩段法”計算加速度，可記0～3點的位移為s′，3～6點的位移為s″，運動時間則為3T，計算過程如下

(2)

比較式(1)和(2)發現，“逐差法”和“兩段法”的數據處理的過程和結果是完全一致的.于是有教師認為，應用“兩段法”處理數據更簡便[8,9].

1.2 奇數項數據取舍問題

如圖2所示的紙帶上只有5段數據，應用“逐差法”時需要舍棄某一段數據. 有學者認為應該舍棄第一段(s1段)，理由是第一段數值最小，測量的相對誤差較大. 也有學者認為應該舍棄中間段(s3段)，理由是舍棄s3段數據后“逐差”的差值比舍棄s1段數據“逐差”的差值大，計算結果誤差小[10].

圖2 “測量自由落體運動加速度”實驗數據5組

從雙方的理由可以發現，前者是站在“測量相對誤差”的角度，在測量儀器精度確定的情況下，測量結果越大，相對誤差越小，舍棄測量結果數值較小的s1段，可以減小誤差. 后者則是基于“計算相對誤差”的角度進行分析的，在儀器測量誤差一定的情況下，數據差值越大(s5-s2>s5-s3)，誤差越小.

在勻變速直線運動實驗中，顯然這兩方面的誤差都不可忽視[11]. 但何種誤差的影響更小則與每次實驗測量的偶然誤差、打點計時器的隨機誤差有關，無法一概而論. 于是有學者呼吁“不要再考逐差法”了[12].

2 “逐差法”的內涵辨析

梳理上述兩個爭議的問題，我們發現學者們討論的“逐差法”是：在處理數據時，將測量得到的數據按自變量(時間t)的大小順序排列后平分為前后兩組，先求出兩組中對應項(因變量s)的差值(即求逐差)，然后取其平均值[13]. 且絕大部分學者都將該定義當成普遍的共識，沒有標注概念的定義來源. 為此，我們有必要先探尋一下“逐差法”的定義.

最早提出逐差法的文獻可以追溯到1953年的北京大學普通物理教研組提出“用逐差法處理數據減小誤差”[14]. 龔鎮雄、潘小青等在普通物理實驗數據處理中對“逐差法”的介紹是[15,16]：

在預測某一物理規律滿足冪函數關系y=a0+a1x+a2x2+a3x3+…時，只要找到冪函數各項的系數，就清楚這一物理規律了. 在處理實驗數據時采用逐差法.

(1)如果y與x是一次函數關系，利用一次逐差消去常數項即可得到一次項的系數.

(2)若y與x是二次函數關系，利用一次逐差消去常數項，二次逐差消去一次項，即可得到二次項的系數.

(3)……

即“逐差法”的本意是通過“尋找冪函數系數ai”的方式尋找數據背后的規律.

但是，中學物理實驗中應用逐差法的目的是為了求自變量x，以自由落體運動實驗的紙帶為例(數據如圖2所示)，按照逐差法處理數據發現結果為零，希望求得的是重力加速度g. 計算過程如下(計時零點速度為v0)

一次逐差：Δs1=s4-s2=2at2； Δs2=s3-s1=2at2

二次逐差：Δs2-Δs1=0

可以發現，一次逐差時已經消除了1次方項，二次逐差時則消除了2次方項. 因此無論數據有多少段，二次逐差的結果都是零，無法獲得二次項的系數.

但是，我們可以在一次逐差后，直接求a的平均值

即

因此，在中學“測量勻變速直線運動加速度”的實驗中，教師們沒有探索“因自變量之間的關系”的意圖，是在已知位移和時間關系的前提下，計算加速度的平均值.

可見，我們在處理勻變速直線運動數據處理時的“逐差法”并不具備嚴格意義上的“逐差探索因自變量關系”的意義. 只有處理數據過程上的相似，是一種概念上的“借用”. 即中學物理教師們所討論的“逐差法”意圖是“逐項相減”“充分利用數據，減小實驗誤差”. 在“測量勻變速直線運動加速度”的實驗中，不論應用“兩段法”還是“逐差法”處理數據，都能實現“充分利用數據，減小實驗誤差”的目的，只存在名稱上的差異.

3 “逐差法”教學與考試價值追求

如上所述，中學物理實驗處理數據時使用“逐差法”的目的在于充分利用數據和減小實驗誤差，我們的教學和考試都圍繞這個核心價值展開.

在打點計時器研究勻變速直線運動實驗中，誤差主要來源于兩方面：一是摩擦的影響，二是打點計時器點跡漂移的誤差. 摩擦力的影響是全局的，與取哪段數據無關；點跡漂移則會對測量結果造成較大影響[17]. 因此，數據處理時，我們通常要求學生“選取清晰的點、選取間距大的點”，這是減小測量相對誤差的要求；要求學生“跳著逐差”，是基于通過“逐差”消除中間各點左右漂移誤差的要求.這些教學要求充分體現了逐差法教學的價值.

以大家普遍關注的2017年高考試題為例，我們也可以發現命題教師也是圍繞著“減小誤差”這個核心價值去的[18]：無論學生舍棄哪段數據進行計算，結果相差不大(差異為0.001)[19,20]，判卷時都是對的. 試題的目的在于引導教學關注數據處理的方法、減小誤差的方法，而不是考查學生是否理解如何逐差的誤差更小.

4 “逐差法”數據處理的教學建議

我們討論用何種方法處理數據，其根本目的在于培養學生科學探究和科學態度核心素養，讓他們明確實驗是有誤差的，誤差的影響是可以通過改進實驗方案和改善數據處理方式等手段減小的. 為此，教學中我們不妨讓學生用“鄰差法”處理數據，發現實驗中數據的問題，然后引導分析誤差產生的原因，探討如何才能最大程度減小這些誤差，充分利用數據等等.

總之，教學中我們要關注的是學生對“逐差法”內涵和價值的理解，對減小實驗誤差影響方法的理解和掌握，而不應該拘泥于何種數據處理的細節精度更高. 與其糾結“如何逐差”不如關注“如何教給學生數據分析和處理的方法”.