伏安法測(cè)電阻內(nèi)外接式判據(jù)的研究

何述平

(西北師范大學(xué)教育學(xué)院物理教育研究所 甘肅 蘭州 730070)

1 引言

伏安法測(cè)電阻既是普通高中物理教學(xué)的基本內(nèi)容[1]，又是歷年物理高考的熱點(diǎn)；從物理實(shí)驗(yàn)原理方法看，伏安法是測(cè)電阻的基本方法．現(xiàn)實(shí)教學(xué)中常用的伏安法測(cè)電阻內(nèi)外接式的判據(jù)為：

式中RA,RV分別為電流表、電壓表內(nèi)阻，Rx為待測(cè)電阻．然而，判據(jù)(1)從哪來(lái)的？依據(jù)是什么？判據(jù)(1)、(2)是兩回事，還是一回事？?jī)膳袚?jù)是否完備？伏安法測(cè)電阻內(nèi)外接式的判據(jù)究竟是什么？就此進(jìn)行相應(yīng)研究，以期明晰伏安法測(cè)電阻內(nèi)外接式判據(jù)的來(lái)龍去脈，為一線教師合理運(yùn)用判據(jù)奠定有理有據(jù)的物理基礎(chǔ)．

2 條件判據(jù)的推證

伏安法測(cè)電阻內(nèi)、外接式電路分別如圖1和圖2所示，圖1電流表測(cè)得的是通過(guò)待測(cè)電阻的電流，電壓表測(cè)得的卻是待測(cè)電阻和電流表的總電壓(電流表分壓引起待測(cè)電阻的系統(tǒng)誤差)；圖2電壓表測(cè)得的是待測(cè)電阻兩端的電壓，電流表測(cè)得的卻是通過(guò)待測(cè)電阻和電壓表的總電流(電壓表分流引起待測(cè)電阻的系統(tǒng)誤差)．易見，無(wú)論哪種電路方式，伏安法均不能同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)得待測(cè)電阻兩端的電壓和通過(guò)的電流，即均存在電表接入引起待測(cè)電阻的系統(tǒng)誤差．先定量分析系統(tǒng)誤差，再演繹推理，可得伏安法測(cè)電阻內(nèi)外接式的條件判據(jù)．

圖1 內(nèi)接式電路

圖2 外接式電路

2.1 系值判據(jù)

對(duì)圖1電路，待測(cè)電阻的測(cè)量值為

(1)

式中U,I為電表測(cè)得值，RA為電流表內(nèi)阻．易見，測(cè)量值R內(nèi)大于真實(shí)值Rx;相對(duì)系統(tǒng)誤差為

(2)

由式(1)、(2)得[6]

(3)

式(3)表明：伏安法內(nèi)接式測(cè)電阻，僅電流表內(nèi)阻RA引起δ內(nèi)；Rx比RA越大，δ內(nèi)越小(RA→0時(shí)，δ內(nèi)→0)．

對(duì)圖2電路，待測(cè)電阻的測(cè)量值為

(4)

式中U和I為電表測(cè)得值，RV為電壓表內(nèi)阻．易見，測(cè)量值R外小于真實(shí)值Rx；相對(duì)系統(tǒng)誤差為

(5)

由式(4)、(5)得[6]

(6)

式(6)表明：伏安法外接式測(cè)電阻，僅電壓表內(nèi)阻RV引起δ外；Rx比RV越小，δ外越小(RV→∞時(shí)，δ外→0)．

伏安法測(cè)電阻內(nèi)外接式的系值判據(jù)：

(1)δ內(nèi)<δ外時(shí)，采用內(nèi)接式；

(2)δ內(nèi)=δ外時(shí)，內(nèi)外接式均可；

(3)δ內(nèi)>δ外時(shí)，采用外接式．

2.2 比值判據(jù)

(7)

δ內(nèi)與δ外的大小關(guān)系分別取<,=,>，依次對(duì)應(yīng)內(nèi)、內(nèi)外、外接式；由式(3)和式(7)得伏安法測(cè)電阻內(nèi)外接式的比值判據(jù)：

或

2.3 臨值判據(jù)

若有一電阻Rc使內(nèi)外接式的相對(duì)系統(tǒng)誤差相等，即δ內(nèi)=δ外，則由式(3)、(6)可知：Rx>Rc時(shí)，δ內(nèi)<δ外，采用內(nèi)接式；Rxδ外，采用外接式．Rc稱為內(nèi)外接式判據(jù)的臨界電阻．由式(3)、(6)可得Rc的方程

進(jìn)而得有意義的解[6]

(8)

(9)

由式(8)或式(9)可確定臨界電阻Rc的大小(易見：僅由所用電表內(nèi)阻確定)．

伏安法測(cè)電阻內(nèi)外接式的臨值判據(jù)：

(1)Rx>Rc時(shí)，內(nèi)接式；

(2)Rx=Rc時(shí)，內(nèi)外接式；

(3)Rx

3 條件判據(jù)的討論

3.1 邏輯性

由推證過(guò)程知，系值判據(jù)為基本判據(jù)，比值判據(jù)、臨值判據(jù)為系值判據(jù)的推論(即推論判據(jù))；系值判據(jù)為準(zhǔn)確判據(jù)，比值判據(jù)、臨值判據(jù)為近似判據(jù)；3個(gè)條件判據(jù)的實(shí)質(zhì)是依據(jù)相對(duì)系統(tǒng)誤差大小；因此，伏安法測(cè)電阻內(nèi)外接式的3個(gè)條件判據(jù)實(shí)質(zhì)相同、形式各異．

鑒于系值判據(jù)既可知內(nèi)外接式相對(duì)系統(tǒng)誤差大小，又可知大小關(guān)系；比值判據(jù)、臨值判據(jù)僅可知內(nèi)外接式相對(duì)系統(tǒng)誤差大小關(guān)系，且需熟知和運(yùn)算相應(yīng)關(guān)系式；因此，伏安法測(cè)電阻內(nèi)外接式條件判據(jù)的簡(jiǎn)捷程度(由簡(jiǎn)到繁)依次為：系值判據(jù)、臨值判據(jù)、比值判據(jù)．這為伏安法測(cè)電阻內(nèi)外接式條件判據(jù)的運(yùn)用奠定了方法基礎(chǔ)．

3.2 完備性

由推證過(guò)程知，伏安法測(cè)電阻內(nèi)外接式的條件判據(jù)是嚴(yán)謹(jǐn)合理的；但是否十全十美，還是美中不足？回顧伏安法測(cè)電阻內(nèi)外接式條件判據(jù)的推證依據(jù)，均僅考慮了內(nèi)外接式的相對(duì)系統(tǒng)誤差；若相對(duì)系統(tǒng)誤差超過(guò)了合理范圍(如大于2.0%)，那么該怎么辦？由誤差理論的基本要點(diǎn)(對(duì)于已定的系差分量，必須進(jìn)行修正[7])知，此時(shí)應(yīng)修正測(cè)量值，由式(1)、(4)分別得內(nèi)外接式的修正值

因此，伏安法測(cè)電阻內(nèi)外接式的完備判據(jù)為：條件判據(jù)[即系值判據(jù)、臨值判據(jù)、比值判據(jù)；推證時(shí)已默認(rèn)或暫不考慮相對(duì)系統(tǒng)誤差控制于合理范圍(如小于等于2.0%)]+范圍判據(jù)(即合理誤差范圍)．

通過(guò)實(shí)例說(shuō)明如下：由中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)標(biāo)配電表參量(直流安培計(jì)J0407型：2.5級(jí)，0.6 A擋，RA=0.12 Ω；直流伏特計(jì)J0408型：2.5級(jí)，3 V擋，RV=3kΩ)和待測(cè)電阻Rx=15.0 Ω(定值)，依據(jù)上述3個(gè)條件判據(jù)依次可得:

(1)δ內(nèi)=0.8%>δ外=0.5%，外接式；

(3)Rx=15.0 Ω

雖然依據(jù)3個(gè)條件判據(jù)可獲得一致的結(jié)論，即外接式；但從相對(duì)系統(tǒng)誤差控制于合理范圍的角度看，內(nèi)接式也完全合理、可行(δ內(nèi)=0.8%<2.0%)．

恩哥解答：沒(méi)必要。孕期無(wú)論是主動(dòng)還是被動(dòng)吃很多，除了讓你變胖，還會(huì)增加巨大兒的風(fēng)險(xiǎn)，最終導(dǎo)致難產(chǎn)。所以，孕期飲食要適量，保持營(yíng)養(yǎng)均衡，補(bǔ)充適量的葉酸。

因此，伏安法測(cè)電阻內(nèi)外接式判據(jù)不僅僅是條件判據(jù)，而且更重要的是范圍判據(jù)．

4 釋疑解惑

基于伏安法測(cè)電阻內(nèi)外接式條件判據(jù)的討論和現(xiàn)實(shí)高中物理教學(xué)的運(yùn)用，釋疑解惑如下．

(1)伏安法測(cè)電阻內(nèi)外接式比值判據(jù)的運(yùn)用中提及了待測(cè)電阻為大、臨界、小阻值電阻[2，3]，此時(shí)的大、臨界、小似乎相對(duì)于臨界阻值而言，但臨界阻值卻事先未明確；此時(shí)的實(shí)質(zhì)是近似比較相對(duì)系統(tǒng)誤差大小；因此，待測(cè)電阻阻值大小的界定沒(méi)有必要而顯得多余．

(2)盡管數(shù)學(xué)形式上也可由比值判據(jù)推得臨值判據(jù)，但比值判據(jù)、臨值判據(jù)的近似條件不同，且臨值判據(jù)的近似條件較比值判據(jù)的更具一般性[參見式(7)、(8)的推證近似]；因此，比值判據(jù)、臨值判據(jù)是兩形式不同的判據(jù)．比值判據(jù)有兩形式是基于不等式的關(guān)系不同(盡管兩形式可以簡(jiǎn)便相互推證)．

(3)伏安法測(cè)電阻內(nèi)外接式判據(jù)的相關(guān)運(yùn)用或討論僅關(guān)注條件判據(jù)[2～6]，幾乎不考慮范圍判據(jù)，從而使判據(jù)欠完備，可能導(dǎo)致電阻測(cè)量值明顯偏大或偏小(難免學(xué)生質(zhì)疑伏安法測(cè)電阻的可行性)；由上述討論知，伏安法測(cè)電阻內(nèi)外接式的完備判據(jù)是條件判據(jù)和范圍判據(jù)的綜合．

5 運(yùn)用建議

基于上述研討，有如下運(yùn)用伏安法測(cè)電阻內(nèi)外接式判據(jù)的建議．

(1)不僅要關(guān)注條件判據(jù)，而且要考慮范圍判據(jù)，即綜合運(yùn)用條件判據(jù)和范圍判據(jù).

(2)明確各個(gè)條件判據(jù)(系值判據(jù)、比值判據(jù)、臨值判據(jù))，合理運(yùn)用相應(yīng)條件判據(jù)，勿使條件判據(jù)的運(yùn)用“庸俗”化.

(3)伏安法測(cè)電阻內(nèi)外接式電路選擇時(shí)，更宜運(yùn)用系值判據(jù).不僅可明確內(nèi)外接式相對(duì)系差的各自大小和相互大小，而且避免了“熟知”比值判據(jù)、臨值判據(jù)(若不明怎么來(lái)的，僅憑判據(jù)本身而運(yùn)用，似有“死記硬背，照貓畫虎”之勢(shì))的辛勞；但需有明晰的物理思維方法，以側(cè)重物理思維之培養(yǎng).

(4)僅測(cè)量一次，實(shí)質(zhì)是估測(cè)(不如直接運(yùn)用多用電表測(cè)量簡(jiǎn)捷)；不僅應(yīng)進(jìn)行多次測(cè)量(如大于等于6次)，以減小測(cè)量的隨機(jī)誤差；而且應(yīng)規(guī)范運(yùn)用數(shù)據(jù)處理方法(如圖像法、平均法[8])，以合理確定待測(cè)電阻．