一道動生電動勢為電容器充電過程的嚴格解*

李俊鵬 琚 鑫 馬朝華

(北京市海淀區教師進修學校 北京 100195)

1 引言

含電容器“單棒+導軌+電阻”模型是一類常見模型，在考查中多定性分析導體棒的運動情況，定性畫出導體棒的v-t圖像，計算導體棒的收尾速度等.往往學生能解得正確結果，但仍會提出很多疑問，如導體棒需要經過多長時間才能達到穩定速度？穩定速度為什么與電路中電阻R無關？電阻R在電路中起什么作用？導體棒變速滑動過程中有沒有電磁能量的輻射等等.這些都在考驗著教師對該部分知識的處理能力，本文就這些問題做些探討，希望能回應以上疑惑.

2 分析

2.1 定性分析

如圖1所示，水平面上有兩根足夠長的光滑平行金屬導軌，兩導軌間距為L，電阻可忽略不計.在導軌之間接有阻值為R的定值電阻和電容為C的不帶電的電容器，導體棒質量為m,電阻忽略不計，并與導軌接觸良好.整個裝置處于方向豎直向下、磁感應強度為B的勻強磁場中.不考慮導體棒與軌道之間的摩擦和空氣阻力.假設導軌長度足夠長，磁場的范圍也足夠大.現給導體棒一個水平向右且足夠大的初速度v0.

圖1 實驗裝置示意圖

我們先來對整個過程做一個定性的分析：由于導體桿向右運動，切割磁感線產生感應電動勢，然后給電容器充電，隨著電容器所帶電荷量的增加，電容器極板間的電勢差越來越大.直到電容器兩端的電勢差等于導體棒的動生電動勢與電阻R兩端的電勢差之差，電路中不再有電流，充電結束.再看導體棒，由于導體棒所受安培力與導體棒的速度方向相反，因此導體棒將做減速運動，直到電容器充電完成，電路中電流為零，導體棒不再受安培力而保持勻速直線運動.

2.2 定量分析

從上述定性分析來看，物理情景清晰，但是卻很難回答一些問題，比如要經過多長時間才能使電容器充電完成？這個過程中導體棒運動的位移是多大？于是，我們有必要對上述問題進行定量分析.

設某時刻t時，導體棒的速度為v，回路中電流為i，電容器某一極板上所帶電荷量為q，則根據基爾霍夫方程有

(1)

再根據牛頓第二定律，有

(2)

(3)

再將式(2)代入式(3)，整理后得

(5)

將式(5)對時間t求導，得到電流i隨時間的演化關系

(6)

再將式(6)代入式(2)得

結合初始條件v(0)=v0，得

(7)

再對v從0到時刻t積分，得位移

(8)

上述表達式中方括號里的第1項是一個線性項，代表勻速直線運動，第2項是一個e指數的增加項，隨著時間的推移，越來越趨近于定值CB2L2R.可見上述運動越來越趨近于一個勻速直線運動.

至此，我們完成了上述問題的全部數學推導，下面我們來就最終的穩態以及達到穩態所需時間和通過的位移進行討論.

3 理想化處理

首先，穩態對應著充電結束，即電流i=0，由式(6)可知，此時應對應t=+∞.即電容器要用無限長的時間才能完成充電.分別將t=+∞代入式(7)和式(8)，發現式(8)是發散的，而式(7)可得收尾速度

v()

(9)

即導體棒會越來越趨近于這一速度.

我們再來計算達到穩定時，電容器極板所帶電荷量Q為

(10)

此時電容器儲存的電能E為

(11)

整個過程中電阻R上產生的電熱Q熱為

4 意義解釋

下面，我們對電流i和速度v隨時間變化的情況，做一些形象的定性描寫.我們來繪制不同參數下i-t圖像和v-t圖像.根據式(6)和(7)可知，涉及的物理量有R,C,B,L,m和v0，由量綱可知，CB2L2具有質量的量綱，RC具有時間的量綱，因此RC也常被稱作時間常數.

圖2 i-t圖 圖3 v-t圖

下面再就一個具體的情況進行計算：

取R=0.1 Ω，C=1 F,B=0.1 T,L=0.5 m,m=0.02 kg,v0=2 m/s，利用式(9)可知收尾速度為1.78 m/s，再計算當速度為1.80 m/s時所需時間的數值解為0.2 s，導體桿會在很短的時間內非常接近收尾速度.