巧用錯例 優化教學
——錯題分析及應用研究

王科崢

一、策略性知識典型錯題的原因分析

典型錯題是指學生解數學題時，在口答、書面等練習中呈現出的錯誤率較高的數學題。如果錯題的知識屬性是屬于策略性知識，筆者把這樣的錯題定義為策略性典型錯題。

1.受身心發展制約，未發現新舊情境中的結構性細微差異導致錯誤。

案例一：我的前面有9 人，后面有5 人，一共有多少人？學生的錯誤解答：9+15=14，錯誤率為57.7%。

對學生的訪談：

生：因為是求“一共有多少人？”前面有9 人，后面有5 人，就是9+5=14（人）。

師：你認為這樣做對嗎？

生：對的呀。

師：前面9 人包括他嗎？后面呢？

生：不包括。

師：那說明9+5=14（人）是錯的。錯在哪里呢？

生：沒有把自己加進去。

從訪談中看，對于9+5=14這種解題策略，學生本人還是堅持自己是正確的。說明學生對求“部分數+部分數=總數”這個陳述性知識是掌握的，但為何還錯呢？原因在于題中有三個部分數，而“我”這個部分數比其他兩個部分數更具有“隱性”因素，學生未能發現“新”的變化。還是堅持用原有的思路：總數=部分數+部分數，這是出錯的主因。

2.由于認知結構的缺陷，導致解題策略的錯誤推廣。

案例二：A 盒中有25 個玻璃球，B 盒中的玻璃球個數比A 多15 個，B 盒中的玻璃球個數比C盒多18 個？B 盒中有多少個？C盒中有多少個？學生的錯解出現在求C 盒：40+18=58（個），錯誤率為34.3%。

對學生的訪談：

生：B 盒中的玻璃球個數比A 多。

師：（指著“多”）你是看到多，就想到了什么？

生：加法。

師：老師教你們的時候是這樣教的嗎？

生：（笑笑）不是，老師說什么大數、小數的。

師：那你為什么不用老師的方法呢？

生：太麻煩了。

分析一個量比另一個量多（少），需要分析出大數、小數、相差數，然后找到相應的數量關系即：大數＝小數＋相差數，小數＝大數－相差數，相差數＝大數－小數。

3.學生對認識和解題中的一些特殊要求存在困難，導致解題策略的錯誤。

案例三：從一張長36 厘米，寬20 厘米的長方形紙上剪下一個最大的正方形，求剩下部分圖形的周長是多少？學生錯解如下：

學生訪談：

師：你怎么會這樣做?

生：我先算長方形周長，再算正方形周長，最后把兩個相減。

師：是嗎？你是怎么想到可減的呢？

生：剩下的周長啊。

“求剩下的量，用減法。”這是學生已多次應用，并且驗證正確的觀念。而由于周長計算具有特殊性即“有限圖形周長的不可加（減）性”。對于這個知識的認識，完全顛覆了學生對求“剩下量”的認識。

4.由于概念圖式不夠豐富，缺乏聯系，導致解決應用策略的錯誤。

案例四：根據圖形，畫出距離是8 厘米的高。

學生訪談：

師：你是怎么想的呢？

生：題目里只說畫8 厘米的高，沒有說要畫在哪條底上，我就按自己的習慣畫了這一條。

師：畫好后，你想過這條高可能是8 厘米嗎？

生：（低頭想了好一會兒）不對，應該是斜邊長一點。

師：好厲害哦，能夠想到這一點。你當時怎么沒去想呢？

生：（指了指左邊的三角形）我畫出來后，就認為對了，再也沒去想了。

從學生的訪談中看，解決此題的三個知識點，即直角三角形的斜邊大于任何一條直角邊、畫高的技能、平行四邊形有兩類高，學生都是明白的。

二、策略性知識典型錯題在教學中的應用策略

對于策略性典型錯題的教學，如何進行優化？我從以下兩個方面入手。其一，鋪墊性策略，做好鋪墊，預防出錯，提高正確率；其二，過程性策略，在教學推進中，找準容易出錯的地方，突破難點；其三，練習反思性策略后期跟進，分析錯因，糾正錯誤。

1.鋪墊性策略。

有些錯誤是學生在新知識學習前，由于原有的知識結構“缺陷”、技能缺失等因素引起思考的錯誤，就要采用提前鋪墊，為學生奠定“正確想”的知識技能基礎。

（1）加強陳述性知識和程序性知識的教學，夯實“正確想”的知識基礎。

在策略性知識的了解階段,陳述性知識顯得尤為重要。在轉化階段, 程序性知識又起到了重要的作用。要注重在操作程序中夯實陳述性知識概念。

如案例二是因為學生原有認知里知識結構出現了錯誤，即看到“多”就用“加”，看到“少”就用“減”。所以我們應該在新知教學前做好鋪墊。

首先建立正確的概念。題中的“多、少”與“加、減”運算沒有直接的邏輯推理關系。

本文實驗環境為Linux操作系統，搭建了一主四從的小型分布式集群，各節點虛擬機處理器配置為Intel Xeon CPU E5-2650 v2，內存 4GB，軟件為Hadoop-2.6.0版本。實驗數據采用從UCI機器學習庫中選取的美國1990年的人口普查數據，該數據集的維度為68，共有2458285條數據，通過人工處理，將數據集抽樣為6個大小不同的數據集，使得每個數據集的數據量以接近2倍大小的速度增長。

其次建立正確的程序。第一步，知道（ ）與（ ）比；第二步，比的結果（ ）多、（ ）少；第三步，求（ ）；第四步，確定解決方法。

（2）加強“數學表示”直觀能力培養，奠定“怎么想”的基礎。

小學生正處于由形象具體思維向抽象邏輯思維的過渡階段，在問題解決中思維需要直觀的“數學表示”來支撐思考。這種能力要從低年級開始培養。具體有三個方面：首先，培養圖示與文字的轉化能力；其次，培養“符號”表示的能力；最后，重視圖示與條件間匹配的能力。

2.“過程性”干預策略。

所謂“過程性”干預策略，即在新知識學習的發生、發展的過程中，針對新知識的特點，找到學生思維可能出現障礙、阻隔的地方，引入相應的干預策略，突破難點，使學生頭腦中構建起“怎么想”的正確思路和方法。

（1）用題組對比顯示新舊知識概念差異，減少出錯。

新舊知識在概念表述、題型結構、思考方法等具有某種相似性，這種相似性掩蓋了其差異，而概念差異可能是學生思維出現阻隔、障礙的“節點”。在教學中破解新舊知識的差異是干預的重點，其最常用策略是題組對比。

如案例三，學生受到原有知識經驗的負遷移而出錯，可以提供如下題組。

通過對比，凸顯題①和題②都表示具體量。通過題②和題③的對比，重點突出③中是“率”。

（2）在解決多個概念融合的綜合題時需清晰概念，建立解決程序。

一些策略性典型性錯題干預后仍有較高的錯誤率。這就需要幫助學生清晰概念，建立解題的關鍵程序。

一個數省略萬后面的尾數是8 萬，這個數最大是（ ），最小是（ ）。

要解決這個題目需要抓住三個關鍵：

近似數是一個區間，用數軸的直觀形式幫助理解“區間”。

要清晰“最大”和“最小”兩個詞的含義。

要明確清晰可具體操作的程序，就需要配直觀圖示（如上圖）。首先，要判清楚“舍”與“進”的數位；其次，根據四舍五入中最大與最小排列出數字；最后，按照題目要求找到最大和最小的數。

3.錯誤產生后的糾錯策略。

（1）發現錯因策略。

策略性典型錯題的錯因與陳述性、程序性知識屬性錯題的錯因相比，更為復雜、更為隱性。需要關注兩點：第一，原來是怎么想的？第二，錯在哪兒？

通過“說”、“寫”等方式，認識“原來是怎么想的”。

通過正確與錯誤的方法對比，認識“錯在哪兒”。

錯誤思維方式往往帶有一定的隱蔽性和頑固性，僅靠教師的正面示范，讓學生認識錯誤，改變原來的思維方法，效果會比較差。

（2）矯正錯誤策略。

矯正錯誤更重要的是矯正錯誤的思考方式和思考方法，僅僅靠一個錯誤題目的訂正難以實現，需要在多種變式練習中完成。提供非概念變式練習題，凸顯出變中的不變，及時鞏固正確的想法。還可以提供概念變式練習題，在這些變式題的練習中，凸顯出變與不變的應對方式，達到融會貫通。

提供非概念變式題，及時鞏固。

提供相同類型的習題，讓學生在解決這些習題中不斷強化正確的思考方式，以此弱化原有的思考方法。在這個過程中，不是以正確的解答為主要目的，而是要以改變思考方法為主，讓學生通過寫、畫、說等多種不同的方式來表達正確的思考方法。要增加與原題目的對比，凸顯出不變的方法。

提供概念變式題，融會貫通。

提供變式習題，既能鞏固原有正確的思考方法，又能達到舉一反三、觸類旁通的作用。在這個過程中也要與原題進行對比，凸顯出變化的地方及改變相應的思考方法。