因重構而精彩
——『閱兵中的植樹問題』帶來的思考

劉丹丹（特級教師）

“植樹問題”蘊含豐富的數學思想，它對培養學生思維的靈活性及提升學生的思維品質具有獨特作用。“植樹問題”最重要的數學思想是模型思想，人教版五年級上冊數學廣角的“植樹問題”，先后呈現三個生活中典型的“植樹問題”——兩端都植的、兩端不植的、環形植樹的例題，通過讓學生畫線段圖發現規律——兩端都植的：間隔數+1=棵數；兩端不植的：間隔數-1=棵數；環形植樹轉化為一端植的：間隔數=棵數。利用數形結合把“樹”與“段”（即間隔）“一一對應”，結合除法含義轉化為“數學問題”，再列式計算找到解決方法加以驗證，完成從實際問題抽象出一般的“植樹問題”數學模型的建構過程。

程老師設計本課，試圖幫助學生運用已建立的“植樹問題”數學模型，來解決富于變化的現實生活中的“植樹問題”。筆者認為這節“植樹問題”的拓展練習課，既是對三種情況“植樹問題”數學模型的鞏固運用，也是對“植樹問題”模型回歸現實問題的重構完善，能進一步提升學生的數學建模能力，是深度學習的一次很好嘗試。數學建模的過程不是一蹴而就的，它是循環往復的過程。一開始學生從“現實情境”簡化為“數學問題”，完成數學化過程、轉化為“數學模型”，再回到“現實情境”解釋和驗證，不斷優化重構模型并通過數學模型更好地解決新的問題。從實施效果看，在變化的情境中重構數學模型能更好地提高學生學習興趣，促進學生思維的發展。

程老師把“植樹問題”拓展練習，放在國慶閱兵的背景中，對學生來說是一節“特殊的家常課”。“家常”指問題呈現與平常的練習課相似。“特殊”指背景鮮活，以模型思想牽引，讓人眼前一亮。主要特色體現在以下三個方面：

第一，數學教學滲透愛國主義教育。2019年國慶閱兵剛剛結束，學生經常在課間議論這次閱兵式中看到的場景及各種新式武器，在這樣的背景下播放剪輯好的《2019年國慶閱兵》視頻，一方面回顧閱兵盛況激發學生的愛國熱情，潛移默化地進行愛國主義教育。另一方面滿足學生的好奇心。數學課為什么要看閱兵式？原來閱兵中有著豐富的植樹問題素材，學生能在潤物無聲中感受數學與生活的密切聯系。

第二，拓展變化貫穿數學模型建構。當學生掌握了三種“植樹問題”數學模型后，回歸到現實情境中面對錯綜復雜的“植樹問題”往往會覺得手足無措。幫助學生分析“現實問題”并與已構建的數學模型間建立聯系是教學的關鍵。如教學問題2 時：在國慶閱兵儀式鳴禮炮環節中，為了慶祝建國七十周年，共鳴禮炮70 響，每兩響之間相隔4 秒，整個鳴禮炮過程長多少秒？程老師讓學生審題思考后，出示提示性思考題，幫助學生建立與原有數學模型的聯系：鳴禮炮相當于植樹問題中的（ ），炮聲之間的停頓相當于植樹問題中的（ ），所以整個鳴禮炮的過程相當于的（ ）植樹類型。讓學生在小組內討論并進行全班交流。

學生在交流中果然出現理解上的分歧：一種意見認為整個鳴禮炮的過程相當于（只植一端）的植樹類型。另一種意見認為應該是（兩端都植）的類型。討論中學生的解釋是：因為條件說的是每兩響禮炮之間停頓4 秒，不是鳴禮炮的過程是4 秒，也不是說禮炮聲延續4 秒，而且每次鳴禮炮的瞬間是很快的，甚至可以忽略不計。所以只要計算從第1 響到第70 響之間的時間長度就可以了，70 響炮中間有69 個停頓，就是69 個4 秒。

教師通過提示性問題的設計，以模型要素牽引，幫助學生簡化復雜問題，及時呈現理解上的分歧，再通過交流討論糾正理解的偏差，合理解釋情境，找到正確解題的方法。這里稍顯不足的是：學生語言的表述雖然很有條理，但難以讓更多的學生理解清楚禮炮聲與停頓的時間關系，這一點在教學的后測第4題中也充分證明，僅有51.76%的學生理解這種解釋。因為現實生活中炮聲是有時長的，每兩響炮之間的停頓也是有時長的，這里是4 秒，如果在學生表述后有下圖輔助理解效果會更好。

第三，數形結合幫助學生重構優化。數學家華羅庚說過：數無形時少直觀，形少數時難入微。在幫助學生分析富于變化的現實中的“植樹問題”時，把數與形結合起來，更容易讓學生理解新問題與已建構的“植樹模型”的聯系，如在教學問題3 時：在閱兵式中，每個方陣的前面由兩位將軍領隊，兩位將軍后面6 米有14 排戰士，前后兩排之間相隔1 米，一個方陣前后（含將軍）有多少米？本次閱兵中，一共有15個徒步方陣，每兩個方陣之間相隔12 米，那么這次閱兵隊伍中，徒步方陣的總長度是多少米？教師引導學生把文字信息轉化為圖示，當學生畫出線段圖后，利用“數形結合”思想很順利地把新問題與原有“植樹問題”模型建立聯系。

直觀圖形的呈現使學生明晰變化情境中的“樹”與“間隔”的關系，找到了合理的解題方法。尤其是計算15 個方陣的總長，“方陣”相當于“植樹問題”中的“樹”又區別于“樹”，這里的“樹”即每個“方陣”是有長度的，在分享交流中，學生采用分類計數找到多種解題方法，相互驗證開闊了思路，重構了模型，提升了學生數學素養。

程老師是學校的骨干教師，這節拓展練習課經歷了三次教學實踐。研討重構中，雖經歷一次次“折磨”，卻帶給教研團隊更多的思考和驚喜。一個月后，筆者設計了一份教學后測，希望利用問卷星檢測一下“植樹問題”掌握情況，為改進教學找到新的方向。參加測評的學生有兩個班共計85 人，以下是測評情況：

問卷題 正確率 回顧例題教學方式 備注1.敲鐘問題：鐘樓上的大鐘敲了6下，共用了30 秒。如果它敲12 下，用時（）秒。58.8% 討論交流 沒有圖形輔助理解2.標兵問題：一次閱兵演習中，標兵按照一定間隔列隊。一架無人機拍攝資料，它從第1 位標兵拍到第4 位，用時12 秒。如果用同樣的速度拍到第16 位標兵要花（ ）秒。54.1% 討論交流 沒有圖形輔助理解3.方陣問題：運動會上，每個方陣長8 米，每兩個方陣間隔12 米。6個方陣全長多少米？下面錯誤的算式是（）。A.8×6+12×5 B.（8+12）×6-12 C.（8+12）×5+8 D.12+（8+12）×5 65.9% 數形結合測后訪談了解到這題大約有10 人因審題不細致把“錯誤的算式”看成“正確的算式”而造成錯誤。也就是說，方陣問題排除審題原因正確率可達75%。4.合情理解：上面第一題，每次鐘響的時間及第二題每次拍照的時間應該這么理解（ ）。A.雖然要花時間，但這里忽略不計。（答案）B.要計算時間，因為做任何事都要花時間。C.可以計算時間，也可以忽略不計。D.這樣的題總是想不明白，猜的。51.8%選B 的占36.5%選C 的占10.6%選D 的占1.1%

上面四道拓展題，正確率均超過50%，其中方陣問題正確率最高，而標兵問題正確率較低。回顧“方陣問題”教學，教師引導學生畫圖理解，數形結合，思路開闊；然而“標兵問題”與“敲鐘問題”教學時，僅采用討論交流方式而沒有用數形結合的方法幫助學生厘清概念，加上時間概念更抽象，學生對口頭表述中的概念理解存在偏差，這是導致學生解題錯誤的主要原因。這也為我們改進教學指明了方向——概念的厘清是模型教學的基礎，如果學生對概念理解模糊，建模就如“空中樓閣”，對于復雜的問題要充分利用數形結合的思想，幫助學生厘清概念，找到新問題與已建構的數學模型的聯系，不斷重構完善模型，才能使新問題得以解決。

總之，本課瑕不掩瑜，無論是課始學生自主整理歸納植樹問題基本結構模型，還是課中、課尾富于變化的植樹問題呈現，程老師都能以模型思想貫穿教學的始終，尤其是“方陣問題”的教學，讓建模思想和數形結合思想相得益彰，學生興致盎然，思維靈活。教學因重構而精彩——讓我們期待下一次更精彩的教學重構！