“閱兵中的植樹問題”課堂實錄

程東興

【教學內容】

人教版五年級上冊數學廣角——植樹問題練習課。

【教學過程】

一、復習舊知，導入新課

師：同學們，我們剛剛學過植樹問題，你能說說植樹問題有哪幾種情況嗎？它們蘊含哪些數量關系？（學生回答略）

解決問題：一個圓形池塘，它的周長是90 米，每隔10 米栽一棵柳樹，需要樹苗多少棵？

師：這道題屬于植樹問題中哪一種類型？你是怎么解答的？

生：這是環形植樹問題。剪開后就轉化為只栽一端的，棵數與間隔數一一對應。棵數=間隔數，求棵數就是求間隔數，90÷10=9（棵）。

（課件展示由環形圖展開，呈現總長、間距之間關系的線段圖）

師：剛才我們計算時用到關系式子：

而在一般除法里我們是這樣表示數量關系的：

總數÷每份數=份數。

根據這個關系式子可以推導出求每份數及份數的另外兩個關系式子：

總數÷份數=每份數；每份數×份數=總數。

師：誰能根據上面植樹問題的關系式推導出另外兩個關系式子？

生：間隔數×間距=總長，總長÷間隔數=間距。

師：這組數量關系我們在植樹問題中經常使用，而且一端植樹的棵數——（生：棵樹等于間隔數）；兩端植樹的棵數——（生：棵樹等于間隔數+1），兩端都不植的棵數——（生：棵樹等于間隔數-1）。希望大家牢牢記住這些數量關系，因為我們生活中有許多類似植樹的數學問題，都需要它們來幫忙哦！

二、欣賞視頻，解決問題

師：請大家欣賞一段視頻。

（課件播放《2019年國慶閱兵》剪輯）（1 分鐘）

師：這段視頻大家都熟悉吧？從視頻中我們看到了許多尖端的武器，整齊劃一的隊伍，也看到了我們的祖國發生的巨大變化，我們都為祖國取得了那么大的成就感到驕傲。此刻，老師希望你能用數學的眼光聚焦這段閱兵視頻中的數學問題——重點來探究一下閱兵中的“植樹問題”。

（課件出示問題1：為了迎接國慶閱兵，工人師傅在天安門前周長為600 米的圓形噴泉廣場四周每隔12 米安裝一盞彩燈，每兩盞彩燈之間安放兩盆花，需要多少盞彩燈，多少盆花？）

師：請一位同學把題目讀一遍。

師：讀題后，我們判斷一下這道題是不是植樹問題，如果是，是哪一種類型的植樹問題？怎樣解答？

生：是植樹問題，是封閉圖形的植樹問題。

生：可以這樣算600÷12=50（盞），50 個間距，也就是50 盞燈，50×2=100（盆）要安放100 盆花。

師：其他同學有沒有問題或補充的？（生：沒有）這道題太簡單，那我們繼續來看下一道題。

（課件出示問題2：在國慶閱兵儀式鳴禮炮環節中，為了慶祝中華人民共和國成立70 周年，共鳴禮炮70 響，每兩響之間相隔4 秒，整個鳴禮炮過程長多少秒？）

師：我們首先按照老師課件上的提示思考一下這道題。

學生活動：

1.獨立思考：鳴禮炮相當于植樹問題中的（ ），炮聲之間的停頓相當于植樹問題中（ ），所以整個鳴炮的過程相當于（ ）的植樹類型。

2.在小組內討論上述問題。

（學生反饋交流）

師：誰來匯報一下自己的發現？

生1：我覺得鳴禮炮相當于植樹問題中的（樹），炮聲之間的停頓相當于植樹問題中（間隔），所以整個鳴禮炮的過程相當于（只栽一端）的植樹類型。

師：說說看，你為什么覺得是只栽一端的類型呢？

生1：因為每鳴一響，炮聲就會轟隆隆的延續4秒，一共70 響，所以一共就有對應的70 個4 秒，鳴炮的次數和響聲的延續次數是一樣的，所以整個鳴炮的時間長280 秒。

師：很好，你把自己的想法清楚地表達出來，同學們都聽明白了嗎？還有沒有不同的意見？

生2：老師，我有不同看法，我也是認為鳴禮炮相當于植樹問題中的（樹），炮聲之間的停頓相當于植樹問題中（間隔），但我認為應該是（兩端都栽）的類型。應該是70 響禮炮中間有69 個間隔，每個間隔4 秒，應該是276 秒。

師：那說說你的理由。

生2：因為條件說的是每兩響禮炮之間停頓4秒，不是鳴禮炮的過程是4 秒，也不是說禮炮聲延續4 秒，而且每次鳴禮炮的瞬間是很快的，甚至可以忽略不計。另外問題問的是70 響鳴禮炮的時間，所以只要計算從第1 響到第70 響之間的時間，考慮中間的停頓的次數就可以了，70 響禮炮中間有69 個停頓，就是69 個4 秒。

師：你的發言很精彩，那么這兩種意見，究竟誰正確呢？其他同學還有誰來補充，說說看？

生：我同意生2 的看法。

師：生1 呢，現在你覺得應該是哪種類型呢？

生1：聽了他的說法，我覺得他說得有道理，應該是兩端都栽的。

師：剛才的問題討論很激烈，但還是比較簡單的，接下來問題難度要更大一些，不僅需要說一說，可能還需要動筆畫一畫，我們繼續來看。

（教師利用課件展示把一個方陣隊伍引導到整個方陣隊伍，過渡到問題3）

（課件出示問題3：在閱兵式中，每個方陣的前面由兩位將軍領隊，兩位將軍后面6 米有14 排戰士，前后兩排之間相隔1 米，一個方陣前后（含將軍）有多少米？本次閱兵中，一共有15 個徒步方陣，每兩個方陣之間相隔12 米，那么這次閱兵隊伍中，徒步方陣的總長度是多少米？）

師：請一位同學把題目讀一下。

師：剛才讀題時，這道題題目比較長，文字信息量比較大，又有兩個問題，遇到這樣繁瑣的問題，我們要會化難為易，可以用什么方法把信息簡單化、明確化呢？

生：畫圖分析。

師：很好，那下面我們就利用畫圖法來分析解決這道題，看看哪些同學可以把復雜抽象的文字轉化成直觀形象的圖形來解決這道題。

（學生活動，自主畫圖分析這道題，教師巡視）

師：有些同學不怕麻煩，用一個個小圓代表每一個戰士，有些同學則很簡潔用一條條線段代表一排排隊伍。

師：大多數同學已經完成，現在請一位同學展示自己的方法，并簡單說明意圖。

生：我用14 條線段代表14 排戰士，再用一條短的線段代表前面的將軍。

師：這位同學的想法和老師方法是一樣的，咱們英雄所見略同。

師：看圖你發現這是哪一種類型植樹問題？

生：兩端都栽的。

師：那這里有多少棵樹？多少個間隔？每個間隔幾米？接下來你會列式計算嗎？誰來說說看？

生：先看戰士的隊伍，戰士14 排，相當于有14棵樹，13 個間隔，每個間隔1 米，再加上和將軍的間距6 米，一個方陣的長度列式為：（14-1）×1+6=19（米）。

師：剛才在探究一個方陣有多長時，同學們不約而同地想到了通過畫圖的方法來分析題目，這是一種非常棒的思考方法，能夠將復雜的文字轉換成直觀的圖形來分析，這樣題意就一目了然，很快就可以求出答案了。現在我們來思考第二個問題，看看能否繼續利用畫圖的形式快速找到解決問題的方法。

（學生獨立通過畫圖解決問題后，教師巡視點名匯報）

師：這位同學，我剛剛看了你畫的圖，發現了很有意思的地方，這么多長方形是什么意思?

生：每個長方形代表一個隊伍的長度，一共有15 個方陣，就有15 個長方形。

師：那你剛才怎么不用長方形代表戰士呢？

生：一位戰士身體前后的寬不大，在隊伍里可以忽略不計，所以畫圖時可以看作一個點或一條線，不影響整個隊伍的長度。但一個隊伍有19 米，它的長度就不能忽略不計了，所以用長方形表示了。

師：那我們就請幾位同學上黑板把自己的算法寫下來，并說一說自己是怎么想的。

生：19×15=285（米）12×14=168（米）285+168=453（米）我是這樣想的，先求出一個方陣的長度是19 米，再求出15 個方陣是285 米，接著15 個方陣之間有14 個間隔，每個間隔12 米，間隔總長14×12=168（米），兩部分總和是285+168=453（米）。

生：我的算法跟他的不同，我是這樣算的，（19+12）×14+19=453（米）。我把一個方陣和一個間隔看成一個整體，因為有15 個方陣，14 個間隔，把14 個整體長度再加上最后一個方陣的長度，也可以求出整個隊伍的長度。

師：非常好，我還發現有的這樣列式：15×（19+12）-12=453（米），對嗎？誰能說說道理？

生：他是用15 個整體的長度再減掉1 個間隔的長度，答案也是對的。

師：太棒了！通過畫圖我們可以用多種方法解決這道題，看來畫圖法真給力。下面我們繼續用這種方法解決一道更有挑戰性的問題。

三、拓展訓練

（課件出示問題4：一架無人機從第1 位標兵拍攝到第9 位標兵用了5 秒鐘，如果用同樣的速度，第15 秒拍攝到第幾位標兵？）

師：這道題老師提醒一下，它看起來很簡單，其實里面有好多陷阱，通過畫圖我們就可以發現里面的陷阱，千萬不要直接就動筆計算，一定要多思考一下。

（學生自主探究約2 分鐘）

師：已經好多同學做完舉手了，現在請一位同學上黑板把解題過程寫下來。

學生板演：

9-1=8（個） 15÷5=3

3×8=24（個） 24+1=25（位）

師：請你說說你的思路。

生：前5 秒拍了9 位標兵，9 位標兵之間有8個間隔，一共拍了15 秒，15 秒是5 秒的3 倍，那么拍的間隔數也是8 個間隔的3 倍，8×3=24 個，拍了24 個間隔，標兵數比間隔數多1，一共拍了25 位標兵。

師：很好，她說得非常清楚，你們同意她的方法嗎？你們的答案也是25 的請舉手？有一批同學都做對了，非常好。

四、課堂總結

師：這節課你有什么收獲？

生：畫圖法非常好，可以幫助我們準確理解題意，方便解題。

生：閱兵中有許多植樹問題。

師：是的，閱兵中不僅有植樹問題，還蘊藏著許多其他的數學問題，以后我們還會繼續研究的。不過，今天我們主要研究的是閱兵中的植樹問題，其實，只要你用數學的眼光看世界，你就會發現我們的生活中有許多富于變化的植樹問題，希望同學們能學以致用，讓數學更好地為我們的生活服務。