堅(jiān)持混而不錯(cuò) 尋求最佳平衡
——兼評(píng)張森、居曉紅老師《平行與垂直》一課

劉松

蘇步青先生有一句名言“中小學(xué)教材可以混而不錯(cuò)”。“不錯(cuò)”是大前提，關(guān)注的是大方向、本質(zhì)，“混”是放松嚴(yán)格性的要求，現(xiàn)階段講不清楚的問題用寫意的方式說明，但仍不失其真。張奠宙教授也認(rèn)為，隨著教育的普及，數(shù)學(xué)課程成為人人必修的科目，“簡(jiǎn)單化”的大眾數(shù)學(xué)也就隨之而來，這就要求我們?cè)诮滩木帉懞徒虒W(xué)實(shí)踐中采取適當(dāng)?shù)姆切问交椒ㄉ钊霚\出地處理某些數(shù)學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生容易接受，例如長度、面積、體積的概念，只能模糊地描述，總不能要求中小學(xué)生去理解“某集合類上定義的有限可加、運(yùn)動(dòng)不變的正則測(cè)度”。所以說，大眾數(shù)學(xué)是“混而不錯(cuò)”的實(shí)踐背景。

從張奠宙先生的話語中，我們可以清晰地感覺到，“混而不錯(cuò)”的原則不僅適用于教材的編寫，同樣適用于日常的教育教學(xué)。對(duì)此，筆者特別認(rèn)同，但筆者關(guān)心的是，我們的日常教學(xué)中，在堅(jiān)持“混而不錯(cuò)”原則的同時(shí)，如何把握“混”的度？換句話說，能否盡力在“嚴(yán)格”和“通俗”（或者說“理性”與“經(jīng)驗(yàn)”）之間求得最佳平衡？

自從轉(zhuǎn)任專職教研員后，聽課幾乎成了工作的全部。經(jīng)常聽到許多教師在課堂上隨口說出一些看似通俗、嚴(yán)謹(jǐn)，其實(shí)邏輯有誤的結(jié)論。比如，在講到角的大小和什么有關(guān)、什么無關(guān)時(shí)，教師們習(xí)慣的說法是：角的大小和邊的張開度有關(guān)，和邊的長短無關(guān)。筆者自己之前也這樣說，也曾聽許多特級(jí)教師、正高級(jí)教師這樣說過。這話似乎沒什么問題，但隨著自我學(xué)習(xí)的提升，突然有一天，意識(shí)到了這句話內(nèi)在的邏輯矛盾。在中小學(xué)階段，角的兩種定義，無論是靜態(tài)的（從一點(diǎn)引出的兩條射線所組成的圖形叫做角），還是動(dòng)態(tài)的（一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn), 旋轉(zhuǎn)起始位置與旋轉(zhuǎn)終止位置所組成的圖形叫做角），角的兩條邊都是射線，而射線無限長，怎么會(huì)有長和短？一旦有了長和短，就成了線段，可角的兩條邊明明是射線，豈不矛盾？當(dāng)與教師們交流如上想法時(shí)，許多教師似有所悟，轉(zhuǎn)而追問，這話自己說了許多年，也沒覺得有問題，應(yīng)該怎么改才能既不失數(shù)學(xué)的本真，又讓小學(xué)生感覺通俗易懂呢？

至于怎么改？筆者相信最高級(jí)的智慧在民間，廣大教師一定都有自己的想法。筆者目前給自己區(qū)內(nèi)的教師是這樣答復(fù)的：角的大小和兩邊的叉開度有關(guān)，和兩邊畫出來的長短無關(guān)。不知可否？懇請(qǐng)各位專家老師批評(píng)指正。

之所以提到上述案例，是想表達(dá)，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂里，似乎這樣的例子還有許多。比如，《平行與垂直》一課的教學(xué)。

《平行與垂直》作為小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何領(lǐng)域的一節(jié)典型課例，許多教師都曾有過精彩的設(shè)計(jì)。梳理一下，大致方法是，先要求學(xué)生在紙上畫一條直線，再畫另一條直線。提出問題：想一想，你后來畫的這條直線和先前畫的直線有怎樣的位置關(guān)系？可以分為幾種情況？或者直接讓學(xué)生在作業(yè)紙上任意畫兩條直線，而后呈現(xiàn)不同的作品，再讓學(xué)生根據(jù)不同的位置關(guān)系分類，最后一步步分析歸納出平行和垂直的概念。如此教學(xué)，尊重學(xué)生學(xué)習(xí)的前概念，純數(shù)學(xué)導(dǎo)入，問題驅(qū)動(dòng)，層層遞進(jìn)，可謂經(jīng)典。上述教法，無論是小問題層層遞進(jìn)，還是大問題直接拋出，在后續(xù)解釋平行概念時(shí)，都會(huì)遇到如下情況：（a、b兩條直線是否平行？）

圖1

為了讓學(xué)生明白圖1 中a、b兩條直線不平行，是相交的，幾乎所有的教師都會(huì)說“請(qǐng)把兩條線延長，看看會(huì)怎樣？”學(xué)生也一定會(huì)在教師的引導(dǎo)下畫出延長線，感悟到相交現(xiàn)象。但問題是，教師一張嘴，就默認(rèn)了a、b 兩條線不是直線，是線段。因?yàn)橹本€本身是無限長的，無需延長，只有線段才能或者才需要延長。這里遇到的問題和上述角的例子一樣，都是在有限空間里如何講明無限的問題。當(dāng)然，說到這，也許會(huì)有教師說，直線無限長無法畫出，這里的a、b 就是線段，只能借用平行線段來討論研究平行線，對(duì)此，筆者完全認(rèn)同。回到一開始的問題，此刻，我們教師在堅(jiān)持混而不錯(cuò)的同時(shí)，能否有更精準(zhǔn)的表述？筆者常常想，學(xué)生之前學(xué)過直線的概念，也知道直線是無限長的，在這種情況下，教師是否可以這樣說：目前看著沒相交，別忘了直線都是無限長的，現(xiàn)在紙張足夠大，請(qǐng)把a(bǔ)、b 兩條直線的“真身”顯影出來（或者說，請(qǐng)把a(bǔ)、b 兩條直線畫完整些），再判斷是否相交。當(dāng)然，也許會(huì)有教師說，什么叫把直線畫完整些？把直線畫完整些還不就是延長嗎？對(duì)此，筆者也完全認(rèn)同。這肯定不是最佳的表達(dá)，只是筆者目前想到的表述而已。筆者想表達(dá)的意思是，如此表述，是否既堅(jiān)持了“混”，又越來越接近“不錯(cuò)”了呢？也懇請(qǐng)各位專家老師批評(píng)指正。

說到借助平行線段解釋平行線，筆者馬上又想到了另一種情況。（如下兩幅圖）

圖2

圖3

此刻，若判斷圖3 中相交的兩條直線是否垂直，學(xué)生只需用三角板上的直角或者量角器去量一下，學(xué)生看得見、摸得著。但若判斷圖2 中兩條直線是否為平行關(guān)系，學(xué)生怎么辦？難道只憑感覺兩條直線不相交？當(dāng)然不可以，我們教師也有的是辦法。常用的辦法之一就是讓學(xué)生把線延長、延長再延長，看看真的沒相交，所以是平行。顯然，這不是上乘之法，在有限的時(shí)空里，永不相交感受不深。但若借用信息技術(shù)，讓學(xué)生在電腦上直觀動(dòng)態(tài)地感知，上述兩條直線向左右兩個(gè)方向不斷地延伸，但一直不會(huì)相交，倒不失為一種很好的彌補(bǔ)辦法。所以，前文張森老師的教學(xué)設(shè)計(jì)，充分利用信息技術(shù)的加持，值得點(diǎn)贊！還有一種比較好的做法，許多教師會(huì)把兩條直線放在格點(diǎn)圖上，如前文居曉紅老師一樣，如圖4。學(xué)生會(huì)更直觀地感悟到，格點(diǎn)間距離不變，當(dāng)然兩條直線不會(huì)相交。相比而言，后一種方法兼顧了“方向相同”和“距離相等”兩種直覺，更容易看得見和摸得著。如此教學(xué)，逐步接近了波利亞的教導(dǎo)：抽象的道理是重要的，但要想盡一切辦法讓學(xué)生看得見、摸得著。

圖4

之所以讓小學(xué)教師們要絞盡腦汁地想出辦法使學(xué)生明白平行線的判定，原因不僅僅是小學(xué)里沒學(xué)平行線的判定定理及性質(zhì)定理，根本原因出在中小學(xué)教材里平行線的定義上。以人教版教材為例，中小學(xué)基本一致，都是同一平面內(nèi)不相交的兩條直線稱為平行線。《幾何原本》定義23 提到，“平行線是在同一平面的直線，向兩個(gè)方向無限延長，在不論哪個(gè)方向它們都不相交”，這就是說，小學(xué)、中學(xué)、《幾何原本》里的平行線定義都差不多，但都不能用于檢驗(yàn)。所以，有專家說，某種意義上，平行線的概念似乎并不重要，重要的是如何判斷平面上兩條直線是否平行。怎么判斷呢？?jī)蓷l直線無限延長后是否相交，是無法檢驗(yàn)的，必須借助第三條直線，用同位角相等來檢驗(yàn)，但這又是中學(xué)的內(nèi)容了。因此，小學(xué)里如何依據(jù)直觀判定兩條直線平行是一個(gè)難題。平行線的概念不能檢驗(yàn)，當(dāng)然無法作為判定定理。據(jù)說，當(dāng)年的古希臘數(shù)學(xué)家也為此大傷腦筋。他們?cè)詾閺钠叫芯€的定義和其他公理可以推出“平行線被另一條直線所截的兩個(gè)同位角相等”這樣的結(jié)論來，可是反復(fù)思考都沒有結(jié)果。正因?yàn)槿绱耍瑲W幾里得才在《幾何原本》里加了一條公理［歐幾里得第五公設(shè)（改進(jìn)版）］：同平面內(nèi)一條直線與另外兩條直線相交，如果一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角和為平角，那么這兩條直線平行。另外一個(gè)改進(jìn)版是：過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與該直線平行。還有一個(gè)等價(jià)的命題是：同位角相等，兩直線平行。顯然，這些中學(xué)才能學(xué)到的第五公設(shè)相關(guān)內(nèi)容無法給小學(xué)生講明白，但是否可以有機(jī)滲透呢？答案是肯定的。

再者，站在學(xué)生的立場(chǎng)，基于兒童的視角，針對(duì)平行和垂直兩個(gè)相對(duì)抽象的概念，哪一個(gè)更容易掌握呢？估計(jì)多數(shù)會(huì)選垂直，因?yàn)橹庇^可檢驗(yàn)。但人教版等版本教材均是先學(xué)平行（不相交），而后學(xué)習(xí)相交及特例（垂直）。如此安排，有其內(nèi)在邏輯性，但這種編排并非教材編寫的絕對(duì)，自然也不應(yīng)是課堂教學(xué)的唯一。有些版本教材則采用了另外一種編排順序，先學(xué)垂直，而后平行。相比而言，筆者更喜歡后一種編排。行文至此，應(yīng)該給前文的居曉紅老師點(diǎn)個(gè)贊，她的教學(xué)設(shè)計(jì)就是先垂直而后平行的，看得出來，居老師非常尊重教材，教學(xué)完垂直后，直接引出了平行的概念。對(duì)此，略感遺憾！既然垂直的概念學(xué)生已明白，那么為什么不可以讓它為平行概念的建立貢獻(xiàn)點(diǎn)力量呢？筆者想到了張奠宙教授曾經(jīng)的建議：田徑場(chǎng)上，110 米跨欄比賽的各條跑道線都和起跑線垂直，它們具有相同的方向，所以不管怎樣無限延長，跑道線都不會(huì)相交，所以它們是互相平行的。如此，背后用到了垂直于同一直線的兩條直線互相平行的判定定理，等價(jià)地用到了同位角相等，兩直線平行的判定定理。而顯性的好處是，有了垂直做基礎(chǔ)，等于給學(xué)生感悟方向相同搭建了一個(gè)絕好的支架。

“方向相同”的直覺，從知識(shí)層面上分析，與中學(xué)里“同位角相等”概念的銜接比較順暢，所以，許多教師都在用，進(jìn)而總結(jié)如下結(jié)論：兩條直線只要方向一致，就不相交，故而平行。對(duì)此，筆者完全贊同，但若再進(jìn)一步，筆者想說，可否把“方向一致”改為“方向完全一致”，繼而，教材中平行線的定義，可否回歸《幾何原本》的表述，強(qiáng)調(diào)兩個(gè)方向，永遠(yuǎn)不相交。如此，雖然丟失了定義的簡(jiǎn)潔性，但對(duì)促進(jìn)學(xué)生理解概念而言，是否可以增強(qiáng)其深刻性呢？當(dāng)然，也許會(huì)有教師說，方向一致的意思中就有完全一致的內(nèi)涵，歪斜一點(diǎn)點(diǎn)都不能叫一致。對(duì)此，筆者也完全認(rèn)同。但對(duì)學(xué)生而言，面對(duì)類似上面圖1 的情況，是否有人認(rèn)為，兩條線都是東西走向（按地圖方位），方向也可以說一致呢？當(dāng)然，更準(zhǔn)確的說法應(yīng)是基本一致。至此，筆者想到了有些地方教師晉職稱需要論文鑒定，鑒定級(jí)別就分了不符合、基本符合、符合和完全符合四個(gè)層次，顯然，這里的符合和完全符合就有程度上的差異。學(xué)生在生活中也多多少少會(huì)有類似贊同和完全贊同略有差異的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)（比如選班干部時(shí)），若果真如此，基于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，從更有利于學(xué)生準(zhǔn)確把握概念實(shí)質(zhì)的角度，多說一兩個(gè)字，是否更有效呢？事實(shí)上，從前文兩篇教學(xué)實(shí)錄中可以看到，教師們已經(jīng)注意到了對(duì)教材中相對(duì)簡(jiǎn)潔的概念定義的語義豐富，但對(duì)方向一致的問題，似乎強(qiáng)調(diào)與解釋得不夠。

以上僅是筆者在學(xué)習(xí)“混而不錯(cuò)”時(shí)的一些隨想和感悟，如若深究下去，可能要涉及先界定相關(guān)詞語內(nèi)涵的問題，限于篇幅，不再贅述。有些許抱歉，張森和居曉紅兩位教師的教學(xué)中還有許多優(yōu)點(diǎn)未曾提及，當(dāng)然也有一些不足未做深入分析。但希望上述觀點(diǎn)對(duì)兩位教師能有所啟發(fā)，也希望有更多的教師在教學(xué)中能求得“嚴(yán)格”與“通俗”間的最佳平衡。