開放性練習，讓學生跳出知識學數學

孫貴合

如果離開了知識本身，數學一定是無源之水，無本之木。那如何能夠跳出知識呢？知識本身是一個結果，除了對于考試，可能在學生的一生中，很少能用到了。比如我們學習的《圓的面積》《三角形的面積》《圓柱的體積》《圓錐的體積》等等，認真回憶一下，除了在課堂中，在生活上我們什么時候用到過？雖然知識很少能用到，但在學習過程中所收獲的動手能力、數學思想、學習經驗，在學生今后的生活中是隨處可見的：當遇到一個新的問題，如何去解決，可以把它轉化成以前解決的問題；看到一件事情，能夠快速地分析出與哪些信息有內部的聯系等等。可見表面看起來不重要的學習過程，卻對學生的成長起著至關重要的作用。這也正是“無用之用，方為大用！”林清玄正是留心生活中的點點滴滴，于殘花片葉中發出無限的哲思；史鐵生獨對地壇，沉默不語，悟出生死的真諦……因此在課堂教學中，當教師真正從人的發展角度去思考教學，就能夠跳出知識教數學了，學生也就能夠跳出知識學數學了。

案例一：《數對》。

在教學這一內容時，更多的教師注重到了本節課的知識點，如何用數對表示位置，以及縱向知識之間的聯系：一個數字，可以表示線上的位置；兩個數字，可以表示面上的位置；三個數字，可以表示體上的位置；以及數對的產生、感受數對的作用等等。但數對又與哪些知識有內部的聯系，卻很少有人去思考和實踐。于是在課后練習環節我設計了這樣的題目：（）+（）=12，括號里的兩個數所組成的數對，在網格圖上連在一起會是什么樣子？相信很多教師看到這道題目也是先想一想再給出答案。為什么呢？是因為沒有考慮過這樣的問題。學生思考數對的位置，是鞏固本節課所學知識，進一步思考數對所表示的點連在一起的圖形時，即是“數與形”在學生頭腦中真正的建立聯系。當然還可以出：（）×（）=12，括號里的兩個數所組成的數對，在網格圖上連在一起會是什么樣子？相信教師們看到這道題目，都會毫不猶豫地說出點連在一起的樣子，是因為這是六年級正反比例中的教學內容，等學生到六年級學習這部分知識的時候，自然感受到了“數與形”之間的聯系。所以教師們都知道，只是沒有考慮教學知識以外的內容，當我們能夠用心去考慮知識之外的內部聯系時，我們的課堂教學自然就有了新意，同時讓學生更充分地感受知識之間千絲萬縷的關系。其實不光加法、乘法能夠建立“數與形”之間的聯系，減法和除法也可以建立這樣的聯系。

通過這道題不難發現知識之間都是有聯系的，這需要我們自己去思考，只有用心去理解，才能夠發現，也只有教師發現，學生才能夠感受。

教材中提到了“數與形”，所以在這一部分教師的思考也就深入了，其實除了“數與形”兩種不同領域的知識之間有著密不可分的聯系之外，在數學教學中，還能夠找到很多的聯系，這就像史寧中教授所提出的，我們要培養的學生應該能夠“用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言描述世界。”同樣這也需要我們教師能夠做到，如果教師都做不到，怎么能夠培養出這樣的學生呢？這種意識的培養是必不可少的，但這種聯系的用時不能過長，用力不能過重，不能喧賓奪主，否則就得不償失了。

案例二：《三角形分類》。

本節課涉及兩個知識點：按邊分和按角分。如何能夠把按邊分與按角分有機整合在一起呢？于是很多教師便結合三角形的特點，得出了很多新的名稱：等腰直角三角形、等腰鈍角三角形、等腰銳角三角形。名稱放在一起，就是知識內在聯系在一起了嗎？我想不是這樣簡單的，應該抓住知識內部建立聯系，即使學生現在還不夠清楚明白，但等到將來再次接觸這一部分相關知識時，能夠很快地與今天所學習的知識之間建立聯系，不也是一件很好的事情嗎？雖然今天沒有感受到它的作用，但為學生的后續發展，以及學生知識體系的建立，打下基礎也是功不可沒的。于是在課堂最后，我設計了這樣一道題目：

師：同學們，看看這是一個什么三角形？

生：等邊三角形。

師：還是一個什么三角形？

生：銳角三角形。

師：如果把三角形的兩條邊延長，它會變成一個什么三角形？

生：還是銳角三角形、還是等腰三角形。

師：如果我再延長呢？

生：還是銳角三角形、還是等腰三角形。

師：在這個變化過程中，你發現了什么？

生：我發現上面的角在不斷地變小，而下面的兩個角在不斷地變大。

師：那你們說，下面的兩個角，不斷變大再變大，最大能到多少度？

生：89.9°。

師：要是再大呢？

生：89.99°。

師：你們為什么不說90°？

生：不可能到90°，要是90°，左邊和右邊就平行了，就不能圍成三角形了。

（培養空間觀念的同時，為學習三角形的內角和打下基礎）

師：還發現了什么？

生：都是銳角三角形，都是等腰三角形。

師：為什么都是銳角三角形和等腰三角形呢？難道就沒有直角三角形和鈍角三角形嗎？

生：剛才總在延長，要是縮短一下試試呢？

師：縮短一下，還真的有直角三角形和鈍角三角形，看來我們思考問題時，有時還要換個方向。

【思考：換個方向思考問題很重要，成人在解決問題遇到困難時，很多時候都會停下來去做點別的工作，然后換個思考方向，會收到意想不到的效果。曾有人用蒼蠅和蜜蜂做過對比實驗，分別把數量相等的蜜蜂和蒼蠅裝到同一個玻璃瓶里面，然后將玻璃瓶平放，瓶底朝著窗戶光亮的方向，瓶口是敞開的。因為昆蟲都有趨光性，很快，實驗者就看到蜜蜂都聚集在瓶底，企圖找到出路，它們不斷地撞擊瓶底，直到最后筋疲力盡，累死在瓶子里；而那些蒼蠅，在最開始也都聚集到瓶底處，撞擊幾次后，就開始在瓶子里盤旋，向另一個方向飛去，不到兩分鐘，就紛紛找到瓶口，四散飛走了。

蜜蜂的命運固然可悲，但其反映出來的問題卻耐人尋味，蜜蜂在判斷出口的方向時，只是憑借過往的“經驗”按照一個方向思考問題，經驗告訴它光亮處才有可能是出口，墨守成規、生搬硬套才是這起蜜蜂“慘劇”的主要原因。而蒼蠅之所以能夠成功，是因為在遇到困難時懂得掉頭，換個方向思考，所以換個方向去思考問題非常重要。現實中不也有很多這樣的情形嗎？固執己見、經驗主義、被慣性思維嚴重束縛而不自知。在日新月異的時代發展過程中，無論個人還是企業，都會面臨各種情形的改變或者不確定的狀態，如果不能因發展變化而進行創新和改變，很可能終將被淘汰。最好的應對方法就如同那些蒼蠅一樣，敏銳地在變化中找到發展的新途徑，既然無法預測變化的發生，那就需要掌握隨機應變的本領，在變化中不斷調整自己，這樣才能取得主動，走向成功。通過一個簡單的練習，讓學生能夠感受多角度思考問題，是非常值得的。】

師：那你看這些三角形在一起像什么圖案？

生：像金字塔、像屋頂……

師：你們看，和這個像不像？

師：這是2008年西班牙世博會主題館水塔館，讓我們共同期待世博會帶給我們更多的精彩。

【思考：讓學生感受數學與生活的聯系時，更讓學生關心國家大事。風聲雨聲讀書聲聲聲入耳，家事國事天下事事事關心。】

看過之后，可能有些教師已經忘記本節課的主題，聯系讓學習更深刻，深刻在哪里？其實內在聯系已經在悄然發生著，只是我并沒有告訴學生，為什么您也沒有發現呢？這就是一種教師經常會出現的問題，常教低年級的教師，過幾年連高年級的題都不太會做了；小學教師教幾年會發現，中學的題已經不會做了；教幾年中學下來，會發現小學的題和高中的題不會做了……為什么會出現這種現象呢？是因為我們過多地關注所教學內容，而對于非主要教學內容已經不再看、不再學了，自然時間一長便忘記了。小學教師看到這幅圖沒有什么感覺，但如果把這幅圖給中學數學教師看，他一定會說，這節課在學習“三角形的分類”。到中學時，學生再次學習“三角形的分類”時，一定會用到這幅圖，只是今天的圖片比較特殊，到中學還會穿插不等邊三角形，認真觀察這幅圖不難發現：直角三角形具有勾股定理，即a2+b2=c2，而所有的銳角三角形a2+b2＞c2。只有這樣的分類方法，才是真正地把三角形按角分、按邊分，從知識體系上真正地結合在一起。有的教師會說，這么難的知識學生是否能夠接受得了？學生一定是接受不了的，而且這些知識我也不會講，我希望等到有一天，學生來到中學，再次學習《三角形的分類》看到這幅圖時，能夠想到“這幅圖我見過”就可以了，使學生把小學所學的知識與中學所學習的知識進行有機整合。

通過一兩道簡單的練習，使學生由關注知識到感悟思想，由關注知識到體驗過程，由關注知識到積累經驗，由關注知識到發現本質。這樣學生才能跳出知識學數學。