重歷算法形成過程，尋求對算理的深度理解

管小冬

教完“兩、三位數除以兩位數”后，我都會給學生們再上節“特殊”的復習課。課上，既沒有單元學習的回顧與梳理，也沒有日常復習課的對比練習、查錯、析錯，而是讓學生們“忘記”已學的除法計算法則，從頭學起，重歷除法豎式算法的形成過程，在其間達成對除法的深度理解，感悟這看似尋常的除法豎式中所蘊含的治學方法與精神。

【案例】復習課《我真的懂除法嗎？》教學片斷

播放視頻：記者街頭采訪一位外國朋友，請他計算8×7。外國朋友知道8×7 就是把7 個8 相加，于是便從8、16、24、32 一直往后加，可惜加到7 個8 時出現了錯誤，得到答案55。

（觀看過程中，很多學生都忍不住笑了起來。隨后，教師組織學生交流自己的感受。略）

師：如果請這位外國朋友去算我們剛學過的“兩、三位數除以兩位數”，比如“823÷21”，想想，他會怎么算？

生：估計會用823 不斷去減21，看要減多少次，最后還余多少。

生：也可能不斷加21，看多少個21 最接近823。

師：看來大家都認為這位外國朋友知道“823÷21”就是要算823 里有多少個21。不過，如果這么算的話，你們覺得他……

生：（笑著說）他會崩潰的。這也太麻煩了！

師：是啊，根據除法的意義可以得到上面這兩種基本方法。但如果每次都這么算，顯然太煩了！怎樣可以簡便？大家有什么適用于他的好建議嗎？

生：我覺得他可以先減210。因為雖然他乘法計算能力不強，但21×10=210 還是好算的。

師：那我們就用210 來試試。

師生交流后，教師板書：823-210-210-210=193。

師：接下去怎么辦？

生：再用193 去減21，看能減多少次。

師：減多少次，大家知道嗎？

生：193÷21=9……4，要減9次，還余4。

（板書：193-21-21……-21=4）

師：最后答案是多少？

生：39 余4。上面減了30 個21，下面還有9 個，一共就是39個，還余4。

師：哎呀，真不簡單！在大家的幫助下，這回確實簡便了不少。如果他想把除法計算的本領再提高些，有什么好建議嗎？

生：那他就得去學除法豎式。

生：學除法豎式前，還得先背乘法口訣表。因為除法豎式計算離不開乘法。

師：（出示823÷21 的除法豎式，如下圖）這是我們熟悉的除法豎式，與剛才的計算過程相比，有聯系嗎？

生：除法豎式是把剛才相同的步驟合在了一起。比如，第一步其實就是減去了30 個21，第二步再減去9 個21。

師：大家看出來了嗎？除法豎式就是把原來分步減的過程又進行了優化。這樣我們計算除法時就方便多了。不過，這么便捷易用的除法豎式，究竟是怎么來的呢？想知道嗎？

教師逐步呈現歷史上不同階段的除法豎式。（如下圖）

學生閱讀后交流自己的理解與感受。感悟除法豎式計算就是一個在反復嘗試、調整中，不斷逼近、尋找結果的過程。今天所用的除法豎式算法，是一代代數學人不斷思考、優化后的智慧結晶。

【思考】重歷，為了尋找遺失的美好！

可能會有教師要問，學完“兩、三位數除以兩位數”后，學生已經基本掌握了除法豎式的算理與算法，為何還要專門花一節課的時間來讓學生重歷算法形成過程呢？以下是我一段時間以來在除法教學過程中的一些自我追問與反思，這節復習課正是在此基礎上生成的。

一、對“除法教學”的追問

除法是四則運算中公認最難的一種運算。一方面，除法豎式的書寫形式與學生經驗系統中加、減、乘的豎式計算形式不同，因而學生在學習除法豎式時，前序知識帶來的負遷移使其需要花費更多時間與精力去理解、掌握；另一方面，除法計算其實是一個逐次乘、減的過程。特別是當除數是兩位數及以上時，要順利且較為熟練地完成計算，對學生在口算、估算、判斷、決策、短時記憶等方面均有不低的要求。

為了讓學生理解除法豎式的算理，掌握算法，各版本教材多按照“表內除法——有余數除法——除數是一位數——除數是兩位數”的脈絡進行編排，于螺旋上升中逐步培養學生的運算技能，發展運算能力。在上述各章節內容的具體編排時，編寫組專家也是精心設計、煞費苦心。以蘇教版《兩、三位數除以兩位數》單元為例，依次就有“除數是整十數商是一位數的除法口算和筆算”“除數是整數十數商是兩位數的筆算”“把除數看作與它接近的整十數試商”“四舍調商”“五入調商”等內容。然而，即使是在這樣精細、周密的安排下，學生在除法計算中仍然會出現各種形式的錯誤。經過教師精心設計的練習與鞏固，情況雖然開始逐漸好轉，但當五年級繼續學習小數除法時，之前我們熟悉的那些整數除法中的典型錯誤又卷土重來。

由此，我們是否應該做出類似這樣的追問：“在整數除法的教學中，我們缺失了什么？”“學生真的懂除法嗎？”

在《現代漢語詞典》中，“懂”義為“知道、了解”。那么，對于除法，學生應該“知道、了解”什么？僅僅知道除法計算法則及相應的算理，行嗎？

顯然，當下我們所使用的除法豎式，是在既往研究的基礎上對尋求除法結果所經歷步驟的簡約數學表達。但如果僅僅將這樣的演算視為一種程序性運算，那么時間久了，操練過度了，學生們是否如機械一般，只知運作，不懂思考？如此，作為促進學生思維發展的數學教學，作用又何在？

更進一步，身處“百度一下就能知道”的時代，身處“計算器”隨處可見的當下社會，學生為什么還要花費很長時間去學習、掌握這樣的計算方法呢？

教學中，我們在重視、突出規范書寫格式的同時，是否弱化了學生對“嘗試、調整、優化”這一數學學習、數學研究中極為重要的解決問題的方法與精神的感悟？相較于那些能完美進行除法豎式計算的學生，我們是否更應夸贊那些能及時調整、修正直至尋找到正確結果的學生？

二、對“除法豎式”的深思

基于以上追問，我以為，我們必須再次審視、剖析作為基本運算的除法，尤其是于現在的我們看來，極具數學簡約美與形式美的除法豎式，除其外顯的程序性算法外，其間還蘊含著怎樣的數學思想、方法與精神。

“已知兩個因數的積與其中一個非零因數，求另一個因數的運算，叫做除法。”顯然，除法的定義源自于乘法，即除法是乘法的逆運算。《數學課程標準（2011版）》對第二學段“數的運算”部分的教學也提出了這樣的要求——“在具體運算和解決簡單實際問題的過程中，體會加與減、乘與除的互逆關系。”

回顧除法豎式的發展歷程，（見前圖）不難發現，當下我們所學習的除法豎式，正是先輩們對“如何高效、簡潔地‘求另一個因數’”這一問題反復思考、不斷優化后的智慧結晶。除法，特別是除法豎式，是一個不斷嘗試（估算、對比、調整）并逼近結果的過程。

是的，除法的豎式計算仍然只是一個尋找結果的過程。既然是過程，我們就不應也不能對其間的書寫、首次正確率提出過高的要求。而這，往往又會被熟悉教材、熟稔教學過程的我們所忽視。其實，凡事總可能會出錯，沒有錯又哪來的對？或者說，沒有經歷過“錯”的對，往往會來得不夠深刻。

我想，如果我們允許學生在除法豎式計算的過程中“錯”，鼓勵他們在“錯”上繼續調整、完善，在這樣的過程中，他們是否更易理解除法豎式為何要寫成這樣，更能感悟于嘗試、對比、調整的往復中不斷逼近真相的治學方法，體會豎式中所蘊含的孜孜不倦、精益求精的治學精神。亦如老子所說，“天下難事，必作于易。天下大事，必作于細。”

于是，就有了上面這樣一節“特殊”的復習課。其實，不僅僅在學完除法后我會上這樣的復習課，在平面圖形面積計算、運算律、數的認識……學習之后，我都會上一節“特殊”的復習課。因為，很多時候，學生的數學學習都是站在前人的肩膀上，理解、掌握那些歷經幾百甚至是幾千年探索總結出的數學成果。教材的編排、教師的教學總是竭力將這些數學成果掰開、揉碎，力圖用最恰當的方式、最短的時間、最高的效率讓學生掌握。然而方法易得，思想難悟，如果經歷不充分、思考不深入、理解不透徹，學生是很難深刻感悟這些數學成果的優越性以及其間蘊含的思想、方法、意志、品質與精神的。

那么，不妨帶著學生在此駐足，回首吧！正所謂“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處！”