『近』在『咫尺』之際 『數(shù)』在『區(qū)間』之間
——《求一個大數(shù)的近似數(shù)》教學(xué)思考與實踐

周伊娜

求近似數(shù)的學(xué)習(xí)，不僅要讓學(xué)生“知其然”（近似數(shù)的含義，四舍五入法），還要利用數(shù)軸，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法“知其所以然”，更要利用有效情境，激活思維，主動建構(gòu)，充分經(jīng)歷“知其所以然”的過程。

【課前初思】

一、研析教材異同

通過對比分析不同版本的教材編寫思路，筆者發(fā)現(xiàn)：人教版教材之所以舍棄了對近似數(shù)的概念理解，弱化了數(shù)軸的輔助作用，是因為在二年級下冊時學(xué)生已經(jīng)對準確數(shù)和近似數(shù)有了初步的認識，會判斷哪些是近似數(shù)哪些是準確數(shù)，會對準確數(shù)進行簡單的估計。作為教師，在四年級教學(xué)“將大數(shù)改寫成近似數(shù)”時，是否可以自信篤定地認為學(xué)生對所學(xué)知識已經(jīng)有了牢固的認識和理解？是否可以直接呈現(xiàn)四舍五入的規(guī)則，而不去考慮學(xué)生真正的已有認知水平呢？

二、診斷學(xué)習(xí)基點

為了更準確地了解學(xué)生已有認知情況，筆者在教學(xué)前對學(xué)生和教師進行了前測，內(nèi)容及結(jié)果如下：

前測題目：小明大約有100000 根頭發(fā)，小紅有102000 根頭發(fā)。它們分別是近似數(shù)還是準確數(shù)？前測結(jié)果：87%的學(xué)生認為“100000”是近似數(shù)，“102000”是準確數(shù)。只有13%的學(xué)生認為頭發(fā)的數(shù)量永遠是近似數(shù)，因為它們無法統(tǒng)計，隨時會掉落和再生。

前測題目: 你知道四舍五入法嗎？你能解釋一下這種方法嗎？前測結(jié)果：所有學(xué)生都聽說過或了解過四舍五入法，但解釋大多是“末尾是0、1、2、3、4 要舍去寫0，末尾是5、6、7、8、9 要向前一位進一”。只有33%的學(xué)生能舉例子說明：因為390 更接近400，所以390≈400。

前測題目:你知道為什么是“四舍五入”而不是“五舍六入”嗎？前測結(jié)果：75%的數(shù)學(xué)教師表示一直是以這種規(guī)則教學(xué)的，并沒有深思。只有25%的教師提到了規(guī)則的唯一性。

不難發(fā)現(xiàn)：相當一部分學(xué)生對于近似數(shù)含義的理解僅限于文字表面，只注意有“大約”“左右”這樣的字眼就認定是近似數(shù)，沒有則是準確數(shù)。可見，對近似數(shù)的認識不夠深刻全面。

很多學(xué)生在師長口中聽過四舍五入的說法，但未曾真正內(nèi)化知識。是因為學(xué)生只知道概念，而缺少了數(shù)軸的形象輔助和自主探究的過程。包括數(shù)學(xué)教師在內(nèi)的大部分成人早已習(xí)得并在生活中反復(fù)使用的方法卻只停留在理解和會使用的階段，對為何會規(guī)定“五入”并不深究。

基于以上認識，筆者將本課的教學(xué)過程設(shè)計如下：

【課堂實錄】

一、辨析數(shù)據(jù)，體悟含義

師：這些數(shù)都是近似數(shù)嗎？說出你的理由。

（1）四年級大約有學(xué)生180 人，全校大約有學(xué)生1000 人。（2）大天鵝最高能飛9000 多米，它可以飛躍8800 多米的珠穆朗瑪峰。（3）人的頭發(fā)大約有10 萬根左右。（4）小明身高140cm，體重35kg。（5）地球赤道全長40075 千米。

生1：（1）（2）（3）是近似數(shù)，（4）（5）是準確數(shù)。

師：有沒有不同的想法？

生2：（5）雖然沒有用“大約”這樣的詞，可是地球赤道的全長不一定剛剛好是40075 千米，可能還多幾百米、幾十米、幾米。我猜想40075 千米應(yīng)該是個近似數(shù)。（此時不少同學(xué)點頭表示同意他的說法）

生3：我也覺得40075 千米是近似數(shù)，因為地球赤道那么長，用任何一種測量工具估計都沒辦法真正測量準確。

生4：如果測量會有誤差，那身高和體重的測量結(jié)果也是近似數(shù)。

師：（小結(jié)）我們在測量物體的長度、重量等時，由于測量工具的限制必然會產(chǎn)生誤差，所得的結(jié)果也都是近似數(shù)。像上面（4）（5）中的數(shù)，雖然沒有表示大約的詞，但都是近似數(shù)。

【設(shè)計說明：呈現(xiàn)一組有代表性的近似數(shù)，讓學(xué)生在尋找近似數(shù)的過程中通過辨析比較來感悟近似數(shù)的含義以及這一概念引入的必要性，從而喚起對近似數(shù)的熟悉感和探究欲。】

二、直觀建構(gòu)，“近”在“咫尺”

1.情境引入，激活經(jīng)驗。

師：我騎電瓶車回家，突然下起了大雨。車上既沒有雨傘也沒有雨衣，路旁也沒有可以躲雨的地方。我是該繼續(xù)前行往家去呢？還是回學(xué)校去借雨衣？

生：回學(xué)校。

師：那如果我到這兒時還在下雨呢？

生：回家。

師：為什么你們怎么一會兒要我回學(xué)校，一會兒卻要我回家？

生：第一種情況老師離學(xué)校近。第二種情況老師離家近。

師：意思是騎了一半不到就離學(xué)校更近，回學(xué)校。超過一半路程就離家更近，直接回家。都是為了讓老師少淋雨。

2.一請數(shù)軸，初步感知。

師：感謝大家的建議，如果這條路變成了一條數(shù)軸，11 到19 這九個數(shù)與10 接近還是與20 更接近？你有什么發(fā)現(xiàn)？

師：如果10 是出發(fā)點，20 是終點，沿著數(shù)軸從左往右跑，跑到了“15”，你是希望朝目標20 努力前進，還是倒退到10 呢？

師：（小結(jié)）像這樣個位是1 到4 的數(shù)更接近前一個整十數(shù)，我們就把尾數(shù)舍去，簡稱“四舍”，它們的近似數(shù)都是10。個位是6 到9 的數(shù)更接近后一個整十數(shù)，它們的近似數(shù)就是20。而像15 這樣剛好在中間的數(shù)，數(shù)學(xué)家認為在生活中為了便于應(yīng)用和交流，必須考慮它的唯一性，就規(guī)定“就高不就低”。也就是說：若個位大于等于5 時就讓它約等于后一個整十數(shù)。稱為“五入”。

師：（課件出示將數(shù)軸延伸到30）還有哪些數(shù)的近似數(shù)是20？

【設(shè)計說明：創(chuàng)設(shè)“該去哪兒”的問題情境，讓學(xué)生在一個貼近生活、生動有趣的情境里感悟并探索，有效地激活了已有的生活經(jīng)驗。接著將實情實景轉(zhuǎn)化成數(shù)軸模型，通過尋找哪些數(shù)更接近10，哪些更接近20，直觀地建構(gòu)了“四舍五入”的方法，體會到了成人口中常提到的“四舍五入”不單單是一種死板的規(guī)定，而是具有很強的合理性。再拓展一步，利用數(shù)軸表象將數(shù)拓寬，讓學(xué)生初步感知“近”在“咫尺”之間，即近似數(shù)所對應(yīng)的準確數(shù)是一個區(qū)間。】

3.二請數(shù)軸，首猜車價（解決看哪一位的問題）。

師：電瓶車出行有時候確實不太方便，我考慮買輛車。上周末我就看上了一輛，它的價格是一個大數(shù)，這個數(shù)藏在這幾個數(shù)字卡片里。（把數(shù)字卡片反貼在黑板上）這輛車的價格最高位是什么位？(十萬位)（翻開萬級的數(shù)）萬級上的數(shù)是12，這輛車大約要多少萬？

生：這輛車大約12 萬,也有可能是13 萬，如果后面的數(shù)字很大的話就接近13 萬。

師：只給你們一次翻牌的機會。小組商量一下，怎么翻？

組1：我們小組認為只翻開千位。如果千位上的數(shù)字是1 到4 的話就約等于12 萬，千位上的數(shù)字是5 到9 的話就約等于13 萬。

師：（翻開千位,是3）百位、十位和個位上的數(shù)真的不用翻了？為了更好地理解，我們再次請出數(shù)軸。

要求：把這條數(shù)軸補充完整并找到車價123600對應(yīng)的點，填在《學(xué)習(xí)單》上。

師：現(xiàn)在你能結(jié)合數(shù)軸來說說為什么只看千位就能知道大約是幾萬了嗎？

生1：只要千位上是1 到4 的數(shù)都在125000 的前面，更接近12 萬。如果千位上的數(shù)大于等于5，這些數(shù)都在125000 的后面，近似數(shù)就是13 萬。用四舍五入的方法，百位十位個位上的數(shù)都可以忽略不計。

師：千位上是0 呢？

生2：千位是0，表示這個數(shù)在120000～121000之間，也一定約等于12 萬。

生3：補充一下，千位上是0 到4 的數(shù)都在125000 的前面，更接近12 萬。如果千位上的數(shù)大于等于5，就約等于13 萬。

師：如果這個數(shù)剛好是125000 呢？

生4：按照“四舍五入法”規(guī)定，就高不就低，約等于13 萬。

師：（出示實際車價：123570 元）通過剛才的例子我們知道了要想求得一個大數(shù)約是幾萬就只需要看它的千位。那要想知道一個大數(shù)約是幾千或幾百，應(yīng)該看什么呢？能舉例說明嗎？

生：想知道一個數(shù)大約幾千就要看它的后面一位——百位。要想知道大約是幾百就要看十位上的數(shù)字。我以車價舉例子123570≈124000 123570≈123600。

出示：123570≈120000 123570≈124000 123570≈123600

問題：

（1）為什么同一個數(shù)它的近似數(shù)不一樣？

（2）請在數(shù)軸上標出實際價格對應(yīng)的點和每一個近似數(shù)對應(yīng)的點，你有什么發(fā)現(xiàn)？

小結(jié)：都是123570 的近似數(shù)，但是保留到哪一位不同，精確度就不同；保留的位數(shù)越多，越接近原來的準確數(shù)。

（3）姚明身高226cm，周老師的身高162cm，那么我們兩個的身高都說成大約2 米合適嗎？

生：不合適。姚明2 米多26 厘米，你離2 米還有將近40 厘米呢！差距很大。

師：那我倆身高分別大約多高，這句話怎么說更合適呢？

生：姚明大約高230cm，周老師大約高160cm。

師：看來生活中求近似數(shù)時要保留到哪一位，還需要靈活運用，不然要鬧出大笑話了。

【設(shè)計說明：以猜車價為線索，將研究近似數(shù)的數(shù)域從幾十擴大到了幾萬。首先猜車價，引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建“求一個大數(shù)大約是幾萬應(yīng)看千位”這一認知重點。在此基礎(chǔ)上順勢而為，通過在數(shù)軸上找對應(yīng)點，在滲透數(shù)形結(jié)合的思想中潛移默化地培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感；接著學(xué)生觀察比較各點的位置，充分發(fā)揮數(shù)軸的直觀作用，從而突破了“保留的位數(shù)越多越接近原數(shù)”這一認知難點；最后以身高的典型數(shù)據(jù)作為比較材料，讓學(xué)生體會近似數(shù)的精確度要根據(jù)具體情況來確定，而不是隨意而取，使學(xué)生對近似數(shù)有了更深刻的理解。】

三、多維思辨，應(yīng)用拓展

1.三請數(shù)軸，再猜車價（解決原數(shù)最大是幾最小是幾）。

師：我的預(yù)算是十萬左右，該車售價已經(jīng)超出了我的預(yù)算。所以銷售員推薦我另外一款。你覺得這次銷售員推薦我的車，車價會是多少？

出示數(shù)軸：

（1）獨立思考，并在數(shù)軸上標出可能的價格。

（2）和同桌說說你的想法。

投影演示作品：

師：觀察上面這兩個圖，你有什么想法？

生1：大約10 萬的數(shù)有很多，是一個范圍。

生2：第一幅不對。105000≈11 萬，在劃出它的范圍時，要像②號一樣，把這個數(shù)去掉。

生3：大約10 萬的數(shù)最小是95000，最大是104999。

師：數(shù)軸在我們學(xué)習(xí)近似數(shù)時非常有用。在數(shù)軸上不僅可以找到某個數(shù)字對應(yīng)的點，還能找到近似數(shù)對應(yīng)的范圍。找到最小可能數(shù)和最大可能數(shù)之間的范圍就能表示所有近似10 萬的數(shù)了。

【設(shè)計說明：延續(xù)了買車猜車價的主情境，探究了“準確數(shù)最小最大可能是幾”的問題。數(shù)軸的形象直觀的特點能夠幫助學(xué)生在頭腦中迅速構(gòu)建模型，有意識地在近似數(shù)的“前”和“后”去尋找準確數(shù)可能的范圍，再次體會“近”在“咫尺”之際，“數(shù)”在“區(qū)間”之間。】

2.融合生活，靈活估計。

（1）這家4S 店剛好在開展促銷活動。促銷辦法：購車滿8 萬減2000，滿9 萬減3000，滿10 萬減4000，以此類推……

問題：①我選的那輛車車價是97210 元，大約是10 萬元。為什么不給我便宜4000 元？②在數(shù)軸上指一指，哪些范圍符合減2000，哪些范圍符合減3000……

小結(jié)：生活中不是只用四舍五入法取整數(shù)，像這種去尾法也是取整數(shù)的一種重要方法。

（2）既然要買車，我打算把幾張存折拿出來。算算夠不夠？

師：太好了，錢夠了。

生：不夠，加起來是90600，小于97210。

師：你有沒有好辦法來避免誤差過大？

生：先根據(jù)四舍五入的方法保留到千位。把14700 和15500 都看成大約15000，湊成30000。25300 和35100 分別看成25000 和35000，湊成60000，一共是90000。

（教師介紹“四舍六入五成雙”的方法）

【設(shè)計說明：本環(huán)節(jié)有兩個層次：一是先由促銷情境去探究去尾法更具備合理性；二是通過求存款總數(shù)的情境，對都是近似中間數(shù)的加數(shù)進行加法估算。由于與原認知產(chǎn)生了沖突，學(xué)生就特別愿意積極主動去創(chuàng)造更優(yōu)化的方法。最后由師生共同歸納出：求這樣特殊加數(shù)的總和時，可以用“四舍六入五成雙”的方法。通過這樣兩個生活案例，使得學(xué)生求近似數(shù)的認知結(jié)構(gòu)得到了完善和拓展。】

【課后漫思】

一、融“情境化”于“數(shù)學(xué)化”

人教版教材中“地球太陽的直徑大約是多少萬米”這樣的案例，僅靜態(tài)地呈現(xiàn)了“四舍五入”的規(guī)則，并不利于學(xué)生激活其數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)能力進行自主探究，也不利于對知識活學(xué)活用。因此，本節(jié)課的教學(xué)以“買車”這一生活化的情境貫穿始末，切切實實將生活情境和數(shù)學(xué)問題有機地、巧妙地融合。這一以貫之的大情境本身就是一組“連環(huán)炮”。通過對這組任務(wù)的探索和練習(xí)，學(xué)生經(jīng)歷了“猜想——探究——歸納——優(yōu)化”的過程。發(fā)揮“一材多變”、“一材多用”、“一材多效”的功能，步步激活思維，層層深化思維，有效地建構(gòu)起求“近似數(shù)”的方法，夯實了學(xué)生對近似數(shù)的深度認識。

二、去“概念化”取“直觀化”

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說：數(shù)缺形時則少直觀。數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種重要的思想方法。數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個最古老，也是最基本的研究對象，而且它們在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化。本節(jié)課通過“以形助數(shù)”，摒棄簡單直接的概念化教學(xué)，采用直觀化的數(shù)軸模型融合，實現(xiàn)了復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化。在全篇教學(xué)中，盡可能地整合知識，將“小數(shù)軸”變身成了“大支架”。數(shù)軸的三次出現(xiàn)是學(xué)生認知的三次飛躍。一出數(shù)軸是為了讓學(xué)生感悟到“四舍五入法”的合理性；二出數(shù)軸有利于學(xué)生對近似數(shù)精確度的認知；三出數(shù)軸更是突破了“數(shù)只是一個點的”固有觀念，建立起了一個近似數(shù)對應(yīng)的是一個區(qū)間的新理念。這種“由點及線”的觀念得以進化，是充分發(fā)揮數(shù)軸的直觀功能的結(jié)果。在這個過程中促進學(xué)生的數(shù)感和幾何觀念的發(fā)展。

三、弱“規(guī)則化”強“合理化”

本節(jié)課的教學(xué)重點“四舍五入法”實則是一種規(guī)則教學(xué)。然而，若采用“呈現(xiàn)規(guī)定——做出解釋——舉例說明——模仿應(yīng)用——反復(fù)操練”這樣機械化的教學(xué)方式，必然導(dǎo)致學(xué)生被動接受，無法激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，也無法將知識真正吸收內(nèi)化。因此，如何將規(guī)則化的知識轉(zhuǎn)變成合理化的探究是設(shè)計時需要思考的又一重要問題。本節(jié)課在依賴數(shù)軸這根拐杖探究“四舍六入”這一規(guī)則時，學(xué)生感到合情合理，水到渠成。而對于個位是5 的中間數(shù)起初學(xué)生是心存疑惑的，基于學(xué)生的生活體驗，在創(chuàng)設(shè)的騎電動車情境中學(xué)生自然希望往終點跑去，感受到了“五入”的合理性。同時，拓展練習(xí)中呈現(xiàn)的兩道習(xí)題，把求近似數(shù)就用“四舍五入法”這種規(guī)則意識打破了，而是要求學(xué)生根據(jù)實際情況合理運用估計方法，實現(xiàn)了變規(guī)則化為合理化，變接受性學(xué)習(xí)任務(wù)為探究性學(xué)習(xí)任務(wù)。