立足整體，構建解決問題策略系統
——以『假設的策略』教學為例

錢建兵

蘇教版教材編排的“解決問題的策略”的教學，旨在讓學生掌握數學思想和方法，提升學生解決問題的能力。解決問題的過程是一個復雜的心理過程，解決問題的能力也是一種整體的能力。“專家的知識是條件化的，它包括對有用的情境的具體要求……專家不但獲得知識，而且能熟練提取與具體任務相關的知識。”策略的理解與習得，是有情境指向的，需要基于策略的整體，致力思路與方法聯結因素之間的協調與聯系，讓學生對策略有整體的認知。只有將策略置于學生已有的方法結構體系中，才能提升學生解決問題的能力。

一、著眼整體，瞻前顧后認識策略

“任何解題者都會積累起一定的解題策略，盡管他本人未必自覺地意識到這一點。”教材編排的解決問題策略的教學，是基于學生已有的數學學習經驗，旨在引導學生將一些無意識的、不自覺狀態下所運用的解決問題的方法，轉化為具有較強目的性的解題活動。因此，策略教學在一定程度上講是對學生原有方法的一種提煉或再認識，是對原有的具有個性化方法的進一步系統認識和擴展。在教學某一策略時，需要讓學生對這一策略有一個整體性的認識。整體的認識可以幫助學生從策略的本質上去把握策略，而不是簡單地模仿。

從數學問題解決的基本過程把握策略。有學者研究表明，數學問題解決心理過程具有多步化歸、多層結構、多元表征、多種背景、知識豐富等特點。六年級上冊教材編排的是《假設的策略》。何謂假設？波利亞在他的“解題表”中提出了解決問題的四個步驟：第一，你必須弄清問題；第二，找出已知數與未知數之間的聯系，找不出直接的聯系，你可能不得不考慮輔助問題。你應該最終得出一個求解的計劃；第三，實現你的計劃；第四，驗算所得到的解。縱觀“解題表”，假設的策略是“擬定計劃”中的一步，即找出已知數與未知數之間的聯系。如果找不出直接聯系，就考慮一個輔助問題。輔助問題是解題方向，是“好念頭”。從本質上講，假設的策略應該是“好念頭”與實現這一“好念頭”的操作方法聯合起來的一個完整過程。即不僅提出一個目標狀態（一個未知量），也包含實現假設的方法（替換），實質是化歸思想。

從教學編排的整體看策略。從學生經驗上追溯，學生有著一些零散的假設策略的經驗，但對策略的價值沒有很深的體驗，經驗中的假設是假設之后就直接解決問題。如估算就是把接近整十數、整百數看成整十數、整百數，轉化成另一個算式的過程。除法中的試商，不是整十的看成整十數試商，轉化成除數是整十數的除法。往之后的學習前瞻，六年級下學期繼續學習假設的策略，用假設法解決雞兔同籠問題。因此，本課的教學要讓學生對假設有一個系統的整理和整體的認識，經歷完整的“假設——替換——解決問題”全過程，不僅知道為什么要假設，而且能有實現假設的方法，這也是教材在改編時為什么例題沒變，而將原來的替換改成了假設的原因。替換是實現假設的方法，假設的內涵更加豐富。

在教學中可從學生的經驗引入，喚起學生假設的意識。

1.估算：302×19≈，你是怎么估算的？

2.豎式計算192÷39，你是如何試商的？解決這些問題運用了哪種策略？

在學生應用假設解決問題之后引導學生進行反思：解決今天的問題，為什么要進行假設？通過什么方法實現假設想法的？僅有假設能解決問題嗎？

學生經驗中的假設認知是表面的，而在解決問題之后對假設策略的反思，則會對假設有進一步的認識。再如，畫圖的策略，學生經驗中的示意圖用得比較多，而抽象的線段圖則相對少一些，在教學時要引導學生體會畫圖在整理條件使數量關系直觀化的共同本質。策略教學要從整體上對策略有高位的把握，就是從戰略的高度，從思想方法的高度，從學生長遠發展的高度去看某一課的教學，這樣才能掌握知識。

二、著力過程，關注全局與本質

解決問題是一種復雜的心理活動。影響問題解決的因素可以分為內部因素與外部因素。內部因素包括知識基礎、解題策略、元認知、信念、動機等。而實際上，這些內部因素之間也是相互影響、相互滲透的。如解題策略的形成有賴于知識基礎，而動機、信念、元認知水平等深層次的因素也影響參與策略的水平。因此，策略的教學要充分整合各因素之間的相互影響，構建完善的策略系統及各子系統。目前的大多數教學只關心正確地運用策略，而對策略系統中的各因素的整合程度關注不夠。

1.監控反思全過程，提升元認知水平。

很多解題能力欠缺的學生，是因為不能很好地掌控解題計劃，對自己解題過程中的行為沒有清醒的認識，不能在解題過程中恰當地評估解題策略及自己的思路與目標之間的差距。元認知可以幫助解題者監控和調整自己的認知過程，評估不同的解題思路，理解各種解題策略。元認知對數學問題解決的影響，主要涉及以下三個方面的元認知成分：一是個體對自己認知特點的認識；二是個體的自我調節程序，包括對認知過程的監督和即時做出決策；三是個體對認知過程的反思和評價。元認知是策略水平的重要因素，促進對策略系統的形成，而策略的教學過程也是形成元認知的過程。

如在《假設的策略》的教學中，假設本就是思路，是一種方向，解題時需要解題者對這一方向進行監控。首先在出示例題后，引發思路：960毫升果汁倒入兩種杯子，你有什么想法？要是能把這兩種杯子變成同一種杯子，該多好啊！你們有這種想法嗎？在學生擬定計劃之后，接著在實現假設的過程中讓學生對思考過程進行監控：我們把這種想法記錄下來：我想假設960 毫升果汁全部倒入（ ）杯。請你借助這些關系圖，在作業紙上畫一畫，你是如何實現你的假設的？最后交流反思：通過什么方法實現假設想法的？從哪里看出實現了假設？在教學中，需要讓學生對解題的計劃可視化，也可將一些中間問題記錄下來，從而引發學生對目標的關注，緊盯目標，隨時調整思路。對過程的反思，是元認知培養的重要策略。研究表明，一個成熟的解題者，就是在過程中不斷通過自我反省，從而獲得對于自己所積累的解題策略的自覺認識，并用明確的語言對此進行刻畫。

2.思想方法統攝全局，提升策略水平。

策略與方法的上位概念是數學思想。數學思想對策略具有統領全局的作用。

以《假設的策略》教學為例。假設實質上是化歸，替換實質是消元，等量代換是實施化歸策略的重要手段與過程。把兩個未知量通過消元轉化為只有一個未知量的問題，是解決多元方程組的基本思想。在此過程中，利用數量關系進行推理，是學生思維發展的過程。策略的能力體現在對替換的目的、依據、方法要有清晰的把握上。

在用兩種方法完成假設目標之后，形成板書（如下表），引導學生進行比較：

小杯 大杯 總量 未知量 數量關系假設前： 6 2 960 2 個 復雜假設全小杯 6+3×2 960 1 個 簡單假設全大杯 6÷3+2 960 1 個 簡單

解決這個問題，為什么用假設的策略？兩種方法從哪里看出實現了假設？假設前兩個未知量，而假設后一個未知量，數量關系由復雜變簡單。無論是假設全倒進大杯或是小杯，有什么共同的地方？都是把“兩個未知量”看成“一個未知量”，假設后杯子的數量變了，但總容量是不變的。通過對策略的深度追問及反思，使學生對策略的理解由其包含的事實性內容及其表述形式，轉向其“深層結構”——策略內在的數學結構，對策略的價值有了深刻的認識。

元認知關注全局，對絕大多數學生而言，假設策略的掌握并不難，困難的是“辨認有效使用假設策略的條件”和“從幾條策略中選擇特殊的策略”。思想方法關注本質，對策略具有整體的統領作用。

三、著重關聯，形成策略系統

在解決同類問題時，將解決該類型問題所用的知識、方法和手段，聯結成一種較為固定的模式，其聯結方式就成為思路、方法。到一定程度時，模式就演化為一種代表一類客體的概括性的內部表征——原型。新手不能形成原型，只能解答與例題沒有變化的題目。策略的教學，就是要以思維把握思路、方法之間的聯系，促進原型表征的形成。

在《假設的策略》教學中，首先出示一個不完全題目：一瓶果汁300 毫升，倒入兩個杯子里，正好倒滿，你知道每個杯子的容量是多少？引發平均分的原型。當出示“大杯容量比小杯容量多30 毫升”時，沖突引發假設：如果倒入的是同一種杯子，該多好啊！你們有這種想法嗎？其實，這種想法就是一種解題的策略——假設。例題的原型是平均分，而要形成新的原型，即如例題含有“兩個未知量”及“兩個未知量之間關系原型”，需要對方法、思路的本質有所理解。對于兩個未知量的問題，實踐證明，有的學生擅長列方程解答，方程解法也特別容易與中學接軌。在本課的教學中，方程解法該處于何地位？僅是將設未知數中的“設”理解為假設這樣字面上的聯系嗎？顯然不是，暗含著的消元的思想是相通的。在教學中，此時展開交流，利用線段圖展示等量代換的過程。學生結合線段圖，能不能列出方程？比較：兩個未知量，為什么列方程時只假設了一個字母表示未知數？把另一個未知量替換了。雖然用的方法不一樣，但想法是一樣的，兩個未知量轉化為一個未知量。溝通聯系，使學生對假設策略適用的情境與實施方法容易建立起原型。

不同領域往往有不同的解題策略。一個良好的解題策略的形成取決于三個因素：知識結構，信息加工方式和非智力因素。知識背景不同，同樣的問題也會有不同的策略，即使是使用同樣的策略，其表現形式、層次等也有差異。此時，需要尊重差異，學習并不是讓學生被動接受哪一種方式，而是讓學生看到各種形式、層次之間的差異與相同之處，產生聯系，生成結構。再如，畫圖的策略，每個學生所畫的圖都帶有很強的個性特征，關鍵在于讓學生對自己的圖有清晰的表達，不同圖的比較，關鍵在于對數量關系的清晰表達。再如列表，橫向與縱向，雖然不同，但一一對應，內在思維是一致的。關聯，就是生成策略的“知識包”，促進學生知識結構生成的同時，協調其信息加工方式與非智力因素。